信息必刷卷01（武汉专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（武汉专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A D D A D A B D 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11． 12． 13． 14． 143 15． ①③④ 16． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 在同一条数轴上表示不等式组的解集： 18．（8分） 【答案】(1) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 19．（8分） 【答案】（1）见解析；（2）18°；（3）750人 【详解】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人）， C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人）， 补全的条形统计图，如图所示；    （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×＝18°， 故答案为：18°； （3）2500×30%＝750（人）， 答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人． 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）作直径，连接 ，    ， 又， ， ∴于， 与相切． （2）如图，连接    ， ， ， ， 过作于， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ， 设， ， ∴，即， 解得， 即长为． 21．（8分） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解，如图，点E即为所求； 证明：网格中，AB是4×4网格的对角线， ∴∠ABC =45°， 由勾股定理可得：， 由作法可知：AE是一个网格对角线的2．5倍，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，点D即为所求； 证明：由作法知∶ PQ//CF，PQ= CF=， ∴四边形PCFQ是平行四边形， ∴FD//CE， ∴， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，点N即为所求； 证明：在网格中，由勾股定理得：， ∴； （4）解，如图，点M即为所求． 证明：在点P的下方取格点D、F，PD= 1，PF=3，QF=2，BD =3，连接CD，如上图， 则∠ACD=∠ABD =45°，， ∵DE/ /FQ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 22．（10分） 【答案】（1）；（2）点M到地面的距离为米；（3）； ； 【详解】解：（1）由题意可得：抛物线的顶点坐标为，而，， 设抛物线为，把代入： ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）∵抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米， ∴顶点坐标为， ∴设为， ∴把代入：， 解得：， ∴为：， 当时，， ∴点M到地面的距离为米； （3）∵点M的坐标为，， ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， ∴； 如图， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， 结合图象可得：当，的取值范围为：； 23．（10分） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图1，由旋转知，，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 过点H作交于点Z，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：过点B作交于点L，过点F作交于K， 设，， 由旋转可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∵点M为的中点， ∴， ∴，， 在中，， 在中， ， ∴； （3）（3）如图3，连接， 由折叠知，，， ∴点E是以点A为圆心，AB为半径的圆上的一段弧， ∴， ∴， 与的交点记作点N， ∴， ∵， ∴点A，S，B，D在同一个圆上， 即点S是等边的外接圆上的一段弧，即， ∵的外接圆的圆心在AB的中垂线上， ∵为等边三角形， ∴的中垂线过点D， 即点E在的中垂线和半径为的的交点时，最大，如图4， ∴， ∵点T为平面内一点，且， ∴点T在以点A为圆心，3为半径的圆上， 将绕点A逆时针旋转120°得到，连接，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 要最大，则最大， ∵， ∴点Q在上时，最大，最大为， 过点A作于V， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 24．（12分） 【答案】(1)，， (2) (3)直线一定结果定点，理由见解析 【详解】（1）解：当时，函数解析式为， 当时，，解得，， ∴，， ∵， ∴， （2）解：延长交x轴于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴， 设解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， ∴ （3）解：由题意知：平移后抛物线解析式为， ∵点P为直线上的一点， ∴设， 设过点P的直线为， ∴， ∴， ∴， 联立方程组， ∴， ∵过点P的直线，与抛物线只有一个公共点， ∴，即， ∴，， 则直线解析式为， 直线解析式为， 联立方程组， ∴， 设点E的横坐标为，则是的根， ∵过点P的直线与抛物线只有一个公共点， ∴有两个相等的实根， ∴， ∴， 同理设点F的横坐标为，， ∴，， ∴，是方程的两个实数根， ∴， ∴，即点E，F的坐标满足方程组， ∴点E、F是抛物线与直线的交点， ∵， ∴直线一定结果定点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（武汉专用） 考情速递 中考·新动向： 近年来，武汉市中考数学命题趋势呈现出从单纯考查知识向考查知识运用能力转变的特点。命题不再局限于课本基础知识的简单呈现，而是更加注重对学生数学思维和综合素养的考查。题目呈现方式愈发灵活多样，从以往直白的问题设置，转变为创设更具现实意义的情境来提出问题。例如，在函数相关题目中，不再单纯要求计算函数值，而是结合实际生活中的销售利润、行程规划、动态分析、模型建立等问题，让学生建立函数模型去解决，体现低起点、多层次、高落点的命题原则，旨在选拔出真正具备数学思维和应用能力的学生。 中考·新考法： 1.跨学科综合：武汉中考数学新考法注重跨学科综合。与物理结合，借运动、光学情境考查函数与几何；和化学关联，用实验数据考查统计与概率；同地理相连，以地图地形为背景考查几何图形应用。 2.知识融合：将几何与代数知识进行融合考查。比如在圆的相关题目中，结合一次函数、三角函数等知识，要求学生利用几何图形的性质建立代数关系求解问题，打破知识板块之间的壁垒，考查学生知识的综合运用能力。 3.非常规考点创新糅合：对于一些相对不那么高频的考点，如概率与统计中的抽样方法、数据分析等，会与其他领域知识进行创新性结合。像把抽样调查与实际生活中的市场调研、数据预测等结合，考查学生对新知识的学习和应用能力。 中考·新情境： 1.创新性：情境题目不断创新，不再是简单的行程、工程等传统问题情境。例如出现以科技前沿的无人机飞行轨迹规划、人工智能算法中的数据处理等为背景的数学问题，让学生运用数学知识解决新颖情境下的问题，激发学生创新思维。 2.实时性：紧密结合当下热点，如以武汉城市建设中的桥梁设计、地铁线路规划等为情境，考查几何图形的性质和计算，让学生感受到数学与生活的紧密联系，同时也体现了中考对时代热点的关注。 3.开放性：部分题目具有开放性特点，如在几何探究题中，给定一些条件，让学生自主探索图形可能存在的其他性质或结论，答案不唯一，鼓励学生从不同角度思考问题，培养学生的发散性思维。 命题·大预测： 预测1：新媒体新事物或数学文化的图标，例如第2题。 预测2：跨学科结合，例如第3题。 预测3：数学文化中的三视图，例如第5题。 预测4：新事物新新闻下的概率命题背景，例如第6题。 预测5：动点图象结合，例如第8题。 预测6：数字规律探索题，例如第10题。 预测7：时事热点的科学计数法命题背景，例如第12题。 预测8：人工智能下的解直角三角形及其应用命题背景，例如第14题。 预测9：几何最值，例如第16题，第23题。 预测10：二次函数的综合问题，例如第15题，第24题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．2025的相反数的绝对值的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A．随机 B．必然 C．不可能 D．确定 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）      A．   B．   C．   D．   6．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．已知点都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图1，四边形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到的中点时，的面积为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．8.6 9．如图，是过圆心的一条直线，A为圆上一点，过O作，交圆上于一点C，连接，与相切，与交于点E，已知，，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 10．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 2、 填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．计算的结果是 ． 12．人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为 ． 13．分式方程的解为 ． 14．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为 ．（参考数据：，，） 15．二次函数的图象经过点，，，与y轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于x的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填写序号）． 16．如图，在矩形中，，，E是对角线上一个动点，F、H为边上的动点，连、交于G点，若，则的最小值为 ． 3、 解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．（8分）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 19．（8分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：    （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　　； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 20．（8分）如图，是的外接圆，点在延长线上，连接，满足．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求的长． 21．（8分）用无刻度直尺作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图1，点F为与网格的交点，在上作点D，使； (3)如图2，在上作点N，使， (4)如图2，在上作点Ｍ，使． 22．（10分）问题提出 学校准备开展外语小教室创意装饰比赛活动，李俊同学对本班小教室进行了装饰．如图1所示，他在小教室的两墙，之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，均为3米，，之间的水平距离为8米，彩带最低点离地面1.4米． （1）建立模型如图2，求抛物线彩带的解析式（不要求写自变量的取值范围）； 解决问题 （2）为了使彩带的造型美观，李俊把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，李俊通过适当调整M的位置，使点M的坐标为，且抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，则________（用含m的式子表示），当时，m的取值范围是________． 23．（10分）如图，菱形，，点E为平面内一点，连接． (1)如图1，点E在的延长线上，将绕点A顺时针旋转60°得，交延长线于点G，连接交延长线于点H，若，，求的长； (2)如图2，点E在的延长线上，将绕点A逆时针旋转60°得，连接，点M为的中点，连接，，证明：； (3)如图3，将沿翻折得（），连交于点S，点T为平面内一点，当取得最大值时，连接，，若，求的最大值． 24．（12分）抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．    (1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点D是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度： (3)如图2，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（武汉专用） 考情速递 中考·新动向： 近年来，武汉市中考数学命题趋势呈现出从单纯考查知识向考查知识运用能力转变的特点。命题不再局限于课本基础知识的简单呈现，而是更加注重对学生数学思维和综合素养的考查。题目呈现方式愈发灵活多样，从以往直白的问题设置，转变为创设更具现实意义的情境来提出问题。例如，在函数相关题目中，不再单纯要求计算函数值，而是结合实际生活中的销售利润、行程规划、动态分析、模型建立等问题，让学生建立函数模型去解决，体现低起点、多层次、高落点的命题原则，旨在选拔出真正具备数学思维和应用能力的学生。 中考·新考法： 1.跨学科综合：武汉中考数学新考法注重跨学科综合。与物理结合，借运动、光学情境考查函数与几何；和化学关联，用实验数据考查统计与概率；同地理相连，以地图地形为背景考查几何图形应用。 2.知识融合：将几何与代数知识进行融合考查。比如在圆的相关题目中，结合一次函数、三角函数等知识，要求学生利用几何图形的性质建立代数关系求解问题，打破知识板块之间的壁垒，考查学生知识的综合运用能力。 3.非常规考点创新糅合：对于一些相对不那么高频的考点，如概率与统计中的抽样方法、数据分析等，会与其他领域知识进行创新性结合。像把抽样调查与实际生活中的市场调研、数据预测等结合，考查学生对新知识的学习和应用能力。 中考·新情境： 1.创新性：情境题目不断创新，不再是简单的行程、工程等传统问题情境。例如出现以科技前沿的无人机飞行轨迹规划、人工智能算法中的数据处理等为背景的数学问题，让学生运用数学知识解决新颖情境下的问题，激发学生创新思维。 2.实时性：紧密结合当下热点，如以武汉城市建设中的桥梁设计、地铁线路规划等为情境，考查几何图形的性质和计算，让学生感受到数学与生活的紧密联系，同时也体现了中考对时代热点的关注。 3.开放性：部分题目具有开放性特点，如在几何探究题中，给定一些条件，让学生自主探索图形可能存在的其他性质或结论，答案不唯一，鼓励学生从不同角度思考问题，培养学生的发散性思维。 命题·大预测： 预测1：新媒体新事物或数学文化的图标，例如第2题。 预测2：跨学科结合，例如第3题。 预测3：数学文化中的三视图，例如第5题。 预测4：新事物新新闻下的概率命题背景，例如第6题。 预测5：动点图象结合，例如第8题。 预测6：数字规律探索题，例如第10题。 预测7：时事热点的科学计数法命题背景，例如第12题。 预测8：人工智能下的解直角三角形及其应用命题背景，例如第14题。 预测9：几何最值，例如第16题，第23题。 预测10：二次函数的综合问题，例如第15题，第24题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．2025的相反数的绝对值的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数、绝对值、倒数，熟练掌握相反数、绝对值、倒数的定义是解题的关键．根据定义即可得到答案． 【详解】解：根据相反数的定义，所以2025的相反数是，相反数的绝对值是2025 ，相反数的绝对值的倒数是，故选C． 2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 3．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A．随机 B．必然 C．不可能 D．确定 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，解题的关键是掌握相关的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：由题可知， 将酚酞试剂滴入溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸四种溶液中溶液，变红色是随机事件． 故选：A． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，单项式乘以单项式，积的乘方．据此相关运算法则进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即    故选：D． 6．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是， 故选：A． 7．已知点都在反比例函数的图象上，且，下列正确的选项是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据已知条件判断点所在象限，得到横坐标的正负，进而判断的正负，逐项判断即可． 【详解】解：点都在反比例函数的图象上，且， 若，则，点C在第三象限，点A，B在第一象限， ， ，故A选项错误，不合题意； 若，则，点C，B在第三象限，点A在第一象限， ， ，故B选项错误，不合题意； 若，则，点C在第二象限，点A，B在第四象限， ， ，故C选项错误，不合题意； 若，则，点C，B在第二象限，点A在第四象限， ， ，故D选项正确，符合题意； 故选D． 8．如图1，四边形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到的中点时，的面积为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．8.6 【答案】A 【分析】首先结合图形和函数图象判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可． 【详解】解：根据题意得：四边形是梯形， 当点从运动到处需要2秒，则，面积为4， 则， 根据图象可得当点运动到点时，面积为10， 则，则运动时间为5秒， ， 设当时，函数解析式为， ， 解得， 当时，函数解析式为， 当运动到中点时时间， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键． 9．如图，是过圆心的一条直线，A为圆上一点，过O作，交圆上于一点C，连接，与相切，与交于点E，已知，，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理．连接，设，，由切线的定义得，用勾股定理解，根据列方程求出x值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， 设，， ， ， ，， 与相切， ， 在中，， ， 整理，得：， 解得，（舍）， ， 故选B． 10．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 如果一个数是杨梅数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是杨梅数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”， 此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”． ，， 64是第46个“杨梅数”， 65是第47个“杨梅数”． 故选∶D． 2、 填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法表示方法，进行解答． 【详解】解：142亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 13．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， ， ， 检验：当时，． 是原分式方程的解． 14．近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为 ．（参考数据：，，） 【答案】143 【分析】过点分别 作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别 作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故答案为：143． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 15．二次函数的图象经过点，，，与y轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于x的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】先根据题意画出大致的图象，再令，可知，判断①；再根据抛物线与x的交点坐标可知对称轴的范围，即可判断②；根据三个点的横坐标，即可判断纵坐标之间的关系；最后根据抛物线与的交点情况判断即可． 【详解】∵抛物线与y轴正半轴相交，与x轴交点在y轴两侧， ∴抛物线开口向下， ∴当时，，所以①正确． ∵抛物线经过，，， ∴抛物线对称轴在与之间， ∴. ∵， ∴， 即，②错误． ∵，，， ∴点距离对称轴最远，点距离对称轴最近， ∴，③正确． 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，观察图像并从图像中获取信息是解题的关键． 16．如图，在矩形中，，，E是对角线上一个动点，F、H为边上的动点，连、交于G点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据正切求出，即可得到，然后证明，得到，即点在以为直径的半圆O上移动，然后作点关于的对称点点M，连接，则当G和H在上时，的最小，过点M作于点N，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆O上移动， 作点关于的对称点点M，连接，则当G和H在上时，的最小，过点M作于点N， 则，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，确定点G的运动路线是解题的关键． 3、 解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 在同一条数轴上表示不等式组的解集： 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集等，不等式组解集的取法为：同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小无解． 18．（8分）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 19．（8分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：    （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　　； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 【答案】（1）见解析；（2）18°；（3）750人 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数； （3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 【详解】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人）， C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人）， 补全的条形统计图，如图所示；    （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×＝18°， 故答案为：18°； （3）2500×30%＝750（人）， 答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．（8分）如图，是的外接圆，点在延长线上，连接，满足．    (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作直径，连接证明即可； （2）连接过作于，分别求出，设，再证明，利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）作直径，连接 ，    ， 又， ， ∴于， 与相切． （2）如图，连接    ， ， ， ， 过作于， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ， 设， ， ∴，即， 解得， 即长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 21．（8分）用无刻度直尺作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图1，点F为与网格的交点，在上作点D，使； (3)如图2，在上作点N，使， (4)如图2，在上作点Ｍ，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）作一个网格的对角线MN交AB于点E，连接CE，则点E即为所求； （2）取（1）中CE交一格点P，过点P作PQ平行CF（1×2网格对角线），且，连接FQ交AB于点D，则点D即为所求； （3）网格中，由勾股定理可得：，可得，则点N即为所求； （4）取格点P、Q，连接PQ（2×3网格的对角线）交点B所在的水平网格线于点E，连接CE交AB于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解，如图，点E即为所求； 证明：网格中，AB是4×4网格的对角线， ∴∠ABC =45°， 由勾股定理可得：， 由作法可知：AE是一个网格对角线的2．5倍，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，点D即为所求； 证明：由作法知∶ PQ//CF，PQ= CF=， ∴四边形PCFQ是平行四边形， ∴FD//CE， ∴， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，点N即为所求； 证明：在网格中，由勾股定理得：， ∴； （4）解，如图，点M即为所求． 证明：在点P的下方取格点D、F，PD= 1，PF=3，QF=2，BD =3，连接CD，如上图， 则∠ACD=∠ABD =45°，， ∵DE/ /FQ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 【点睛】本题主要考查了网格作图、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题． 22．（10分）问题提出 学校准备开展外语小教室创意装饰比赛活动，李俊同学对本班小教室进行了装饰．如图1所示，他在小教室的两墙，之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，均为3米，，之间的水平距离为8米，彩带最低点离地面1.4米． （1）建立模型如图2，求抛物线彩带的解析式（不要求写自变量的取值范围）； 解决问题 （2）为了使彩带的造型美观，李俊把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，李俊通过适当调整M的位置，使点M的坐标为，且抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，则________（用含m的式子表示），当时，m的取值范围是________． 【答案】（1）；（2）点M到地面的距离为米；（3）； ； 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）先判定抛物线的顶点坐标为，而，，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）先判定抛物线的顶点坐标为，设为，再利用待定系数法求解即可； （3）先求解抛物线的对称轴为直线，设抛物线为：，把代入可得：，整理可得答案； 如图，当时，，求解，（舍去），当时，，求解：，（舍去），再结合函数图象可得答案． 【详解】解：（1）由题意可得：抛物线的顶点坐标为，而，， 设抛物线为，把代入： ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）∵抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米， ∴顶点坐标为， ∴设为， ∴把代入：， 解得：， ∴为：， 当时，， ∴点M到地面的距离为米； （3）∵点M的坐标为，， ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， ∴； 如图， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， 结合图象可得：当，的取值范围为：； 23．（10分）如图，菱形，，点E为平面内一点，连接． (1)如图1，点E在的延长线上，将绕点A顺时针旋转60°得，交延长线于点G，连接交延长线于点H，若，，求的长； (2)如图2，点E在的延长线上，将绕点A逆时针旋转60°得，连接，点M为的中点，连接，，证明：； (3)如图3，将沿翻折得（），连交于点S，点T为平面内一点，当取得最大值时，连接，，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转知，，，得出为等边三角形，求出，过点H作交于点Z，则，得出，得出，，进而可求出答案； （2）过点B作交于点L，过点F作交于K，设，，由旋转可知，是等边三角形，得出，在中，，，得出，再求出，，再根据勾股定理求解即可； （3）连接，由折叠知，，，得出点E是以点A为圆心，AB为半径的圆上的一段弧，与的交点记作点N，得出 点A，S，B，D在同一个圆上， 即点S是等边的外接圆上的一段弧，即，得出点E在的中垂线和半径为的的交点时，最大，将绕点A逆时针旋转120°得到，连接，，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，由旋转知，，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 过点H作交于点Z，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：过点B作交于点L，过点F作交于K， 设，， 由旋转可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∵点M为的中点， ∴， ∴，， 在中，， 在中， ， ∴； （3）（3）如图3，连接， 由折叠知，，， ∴点E是以点A为圆心，AB为半径的圆上的一段弧， ∴， ∴， 与的交点记作点N， ∴， ∵， ∴点A，S，B，D在同一个圆上， 即点S是等边的外接圆上的一段弧，即， ∵的外接圆的圆心在AB的中垂线上， ∵为等边三角形， ∴的中垂线过点D， 即点E在的中垂线和半径为的的交点时，最大，如图4， ∴， ∵点T为平面内一点，且， ∴点T在以点A为圆心，3为半径的圆上， 将绕点A逆时针旋转120°得到，连接，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 要最大，则最大， ∵， ∴点Q在上时，最大，最大为， 过点A作于V， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，． 24．（12分）抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．    (1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点D是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度： (3)如图2，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)直线一定结果定点，理由见解析 【分析】（1）把代入函数解析式，令，求出x的值，可求A、B的坐标，把解析式化为顶点式可求C的坐标； （2）延长交x轴于点E，先求出顶点，根据等边对等角得出，设，利用两点间距离公式可得，解得，利用待定系数法求解析式为，联立方程组求出点D的坐标，最后再利用两点间距离公式求解即可； （3）由题意知，设过点P的直线为，与抛物线解析式联立方程组，利用过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，得出a与p的关系式，则直线解析式为，直线解析式为，分别与抛物线解析式联立，设点E的横坐标为，则是的根，利用根与系数的关系可求，同理可求，则，是方程的两个实数根，方程变形为，于是得到，点E、F是抛物线与直线的交点，则结论可得． 【详解】（1）解：当时，函数解析式为， 当时，，解得，， ∴，， ∵， ∴， （2）解：延长交x轴于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴， 设解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， ∴ （3）解：由题意知：平移后抛物线解析式为， ∵点P为直线上的一点， ∴设， 设过点P的直线为， ∴， ∴， ∴， 联立方程组， ∴， ∵过点P的直线，与抛物线只有一个公共点， ∴，即， ∴，， 则直线解析式为， 直线解析式为， 联立方程组， ∴， 设点E的横坐标为，则是的根， ∵过点P的直线与抛物线只有一个公共点， ∴有两个相等的实根， ∴， ∴， 同理设点F的横坐标为，， ∴，， ∴，是方程的两个实数根， ∴， ∴，即点E，F的坐标满足方程组， ∴点E、F是抛物线与直线的交点， ∵， ∴直线一定结果定点． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括求二次函数与坐标轴交点问题，特殊图形及一次函数与抛物线交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$