精品解析：福建省龙岩市第二中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

龙岩二中2024—2025学年第二学期第一次质量监测八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 2. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 3. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行,同旁内角互补 B. 若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 如果那么 4. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 与最简二次根式是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 11 6. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对 8. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 9. ，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，，，为中点，长为1的线段（点在点的下方）在直线上移动，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，是的中位线，若，则的长为________． 12. 若，满足，则_______． 13. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 14. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为_____． 15. 在中，，，，则的取值范围是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. （1）求度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积. 20. 新考法．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）_______解法是错误的，错误的原因是_______； （2）求代数式的值，其中． 21. 已知：如图，，且，，，求证：． 22. 图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中画出等腰直角三角形，使点N在格点上，且； （2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形面积等于（1）中等腰直角三角形面积的4倍． 23. 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE//AB，BE=AF． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积． 24. （1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得________，∴________，∴________； （2）尝试应用：若为实数，且，化简： （3）拓展创新：已知，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，，，C为上一动点，D为的中点． （1）直接写出点的坐标：A（______，______），B（______，______）； （2）如图1，连接，若，求的长； （3）如图2，过点A，C作，，垂足为E，M．当点C在上运动时，问与有什么数量关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩二中2024—2025学年第二学期第一次质量监测八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是6， 故选：． 2. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 3. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行,同旁内角互补 B. 若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C. 对顶角相等 D. 如果那么 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立； B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立； C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立； D、逆命题是如果，那么，成立， 故选C． 点睛：本题考查的是逆命题 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式问题，掌握最简二次根式的定义以及性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意， 选项B：，故不符合题意， 选项C：，故不符合题意， 选项D：是最简二次根式，符合题意， 故选：D 5. 与最简二次根式是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5， 此时这个三角形的周长=3+4+5=12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=， 此时这个三角形的周长=3+4+=7+． 故选C 8. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，利用勾股定理正确得出的长是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故弧与数轴的交点P表示的数为：． 故选：B． 9. ，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定，由非负数的性质可得且，即得且，根据勾股定理的逆定理及等腰三角形的定义即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴的形状为等腰直角三角形， 故选：D． 10. 如图，，，为中点，长为1的线段（点在点的下方）在直线上移动，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于，在的延长线上，取点，使得，连接．，此时的值最小． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于，在的延长线上，取点，使得，连接．，此时的值最小． ，， 四边形是平行四边形， ， ，关于对称， ， ， ， 此时的值最小，最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造特殊四边形解决最短问题，属于中考常考题型． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，是的中位线，若，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握定理内容是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故答案为：． 12. 若，满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 14. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为， 故答案为：15． 15. 在中，，，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，掌握平行四边形的性质以及三角形的三边关系是解题的关键． 根据平行四边形的性质求得，再根据三角形三边关系即可求得的范围． 【详解】解：记交于点O，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 【详解】解：由图形可知，， ， ， , 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周． ∴顶点到原点的距离， ∵， ∴顶点的恰好在x轴的正半轴上， ∴顶点的恰好在第一象限角平分线上， ∴顶点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握乘法公式以及二次根式的运算法则是关键． （1）先计算二次根式乘法，化简二次根式，再合并即可； （2）平方差公式和完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】－4 【解析】 【分析】先将代数式因式分解，再代入求值． 【详解】 故代数式的值为． 【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算． 19. 如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. （1）求的度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积. 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可； （2）利用三角形的面积解题即可． 【小问1详解】 因为，米，米， 所以（米）， 因为米，米， 所以， 所以是直角三角形，． 【小问2详解】 图中阴影部分的面积（平方米）． 20. 新考法．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）_______的解法是错误的，错误的原因是_______； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）小亮；未能正确运用二次根式的性质 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）． 【小问2详解】 解：， ， 则 ． 当时，原式． 21. 已知：如图，，且，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．三角形全等的判定方法有：；全等三角形对应边相等，对应角相等．根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，根据平行线的性质得出，根据证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∴． 22. 图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中画出等腰直角三角形，使点N在格点上，且； （2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形的面积等于（1）中等腰直角三角形面积的4倍． 【答案】（1）见解析 （2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，从而可得，结合网格特点找出点即可得； （2）先求出正方形的边长为，再结合网格特点和勾股定理画图即可得． 小问1详解】 解：如图，等腰直角三角形即为所求． 【小问2详解】 解：（1）中等腰直角三角形的面积为， 则正方形的面积为，它的边长为， 如图，正方形即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理与网格特点的结合是解题关键． 23. 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE//AB，BE=AF． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）已知BD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠DBE；再由DE∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠BDE，所有∠DBE=∠BDE，根据等腰三角形的性质可得BE=DE；再由BE=AF，可得AF=DE；根据一组对边平行且相等的四边形即可判定四边形ADEF是平行四边形； （2）过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案． 【详解】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBE， ∵DE∥AB， ∴∠ABD=∠BDE， ∴∠DBE=∠BDE， ∴BE=DE； ∵BE=AF， ∴AF=DE； ∴四边形ADEF是平行四边形； （2）过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H， ∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠EBD=30°， ∴DG=BD=×4=2， ∵BE=DE， ∴BH=DH=2， ∴BE=， ∴DE=， ∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=． 24. （1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得________，∴________，∴________； （2）尝试应用：若为实数，且，化简： （3）拓展创新：已知，求的值． 【答案】（1）2022，2023，；（2）1；（3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解． 详解】解：（1）由，得：， ∴， ∴； 故答案为：2022，2023， （2）由，得， ∴， ∴原式； （3）由，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，，，C为上一动点，D为的中点． （1）直接写出点的坐标：A（______，______），B（______，______）； （2）如图1，连接，若，求的长； （3）如图2，过点A，C作，，垂足为E，M．当点C在上运动时，问与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3），详见解析 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的非负性可得，即可求解； （2）过点O作，垂足为，证明，可得，再由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，即可求解； （3）过点作的垂线，交的延长线于点，先证明，可得，再证得，可得，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：过点O作，垂足． 由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵，，， ∴，． ∴； 【小问3详解】 解：．理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$