精品解析：河北省沧州市南皮县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期末质量监测 八年级数学（冀教版） 本试卷共6页．总分120分，考试时间90分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列我国古老的八卦符号中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 勾股定理的逆定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 4. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A B. 2 C. D. 3 6. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，小明按下列叙述作图（作图过程是正确的），则小明所作的是（ ） ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②连接，则即为所求 A. 平分线 B. 边上的高 C. 边上的中线 D. 边的垂直平分线 8. 老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（ ） A. ①不是等腰三角形 B. 只有②是直角三角形 C. ③是等边三角形 D. 只有④是直角三角形 9. 甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ） A. 3张 B. 2张 C. 1张 D. 0张 10. 嘉淇解方程的过程如下所示，下列判断正确的是（ ） 解：方程两边乘，得……第一步 整理，得……第二步 解得，所以原方程得解为……第三步 A. 第一步开始出错 B. 第二步开始出错 C. 第三步开始出错 D. 嘉淇解方程的过程正确 11. 如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 12. 如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13 若，则_______． 14. 计算：_______． 15. 如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为____________． 16. 在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为_______． 三、解答题（本大题共6个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 18. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中是的立方根． 19. 如图，将一块等腰直角三角板直角顶点置于直线上，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是． （1）求证：； （2）已知是的中点．当时，求的长． 20. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方向上，点在点的正东方向上，，且点到点的距离相等，米，米． （1）求两点之间的距离； （2）嘉淇准备从西门跑步到东门去见小明，因之间的道路整修不能通行，嘉淇决定选择一条较短线路，请通过计算说明嘉淇应选择路线，还是路线？ 21. 创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①甲组完成该任务需要____________天，乙组完成该任务需要____________天；（均用含x的式子表示） ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小． 即要比较代数式A，B的大小，只要算的值． 若，则；若，则，若，则． 22. 【问题情境】如图，在中，，是的中点，点分别在边上，连接． 【特例解答】（1）若，求的度数； （2）若，求证：点在线段垂直平分线上； 【拓展探究】（3）若与全等（点与点是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）的基础上，，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时点到的距离；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末质量监测 八年级数学（冀教版） 本试卷共6页．总分120分，考试时间90分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2的平方根为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【详解】解：2的平方根是， 故选：D． 2. 下列我国古老的八卦符号中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 3. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 勾股定理的逆定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 4. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 5. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 由得，进而可得，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 6. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴，实数的估值，对各选项的无理数进行估值，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴点P表示的数可能是． 故选：B 7. 如图，在中，，小明按下列叙述作图（作图过程是正确的），则小明所作的是（ ） ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②连接，则即所求 A. 的平分线 B. 边上的高 C. 边上的中线 D. 边的垂直平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图方法及性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线的作图方法即可得到答案 【详解】解：根据小明的作图步骤可知，小明所作的是边的垂直平分线， 故选：D． 8. 老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（ ） A. ①不是等腰三角形 B. 只有②是直角三角形 C. ③是等边三角形 D. 只有④是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理判定直角三角形．根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：图①中，另一个角为，因此该三角形中有两个角相等，该三角形是等腰三角形； 图②中，另一个角为，因此该三角形是直角三角形； 图③中，有两条边相等，又有一个内角是，从此该三角形是等边三角形； 图④中，因为，所以该三角形是直角三角形． 综上，判断正确的是C选项． 故选：C 9. 甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ） A. 3张 B. 2张 C. 1张 D. 0张 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，是有理数； ，不是有理数；，是有理数； 综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有张， 故选：B． 10. 嘉淇解方程的过程如下所示，下列判断正确的是（ ） 解：方程两边乘，得……第一步 整理，得……第二步 解得，所以原方程得解为……第三步 A. 第一步开始出错 B. 第二步开始出错 C. 第三步开始出错 D. 嘉淇解方程的过程正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤得第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有检验；熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：根据分式方程的解题过程可知：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的解进行检验． 故选：C． 11. 如图，M，N分别是边，上点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据角平分线的判定可以直接判定平分，判断A不符合题意；根据三角形全等的判定和性质可以直接判断B、D不符合题意，C选项无法判断平分． 【详解】解：A．根据，，，利用角平分线的判定可知平分，故A不符合题意； B．∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故B不符合题意； C．，，不能判定平分，故C符合题意； D．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故D不符合题意； 故选：C． 12. 如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，，， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值， ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故选B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】题考查了二次根式的运算，利用法则合并同类二次根式是解题关键． 合并同类二次根式即可． 【详解】解：由得， ． 故答案为：2． 14. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查异分母的分式的加减，根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 15. 如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，先证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：24． 16. 在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质求出最大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰直角三角形的腰长为，即中等正方形的边长为，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为，即最小正方形的边长为，计算即可得到答案． 【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为， ， ， 所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为， ， ， 中等正方形的边长为， 同理可得中等等腰直角三角形腰长为，最小正方形的边长为， 图③中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求立方根，算术平方根，再计算加减即可； （2）先根据完全平方公式计算、化简二次根式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 按要求完成下列各小题． （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中是的立方根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，立方根的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）两边都乘以，化整式方程求解，然后检验； （2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后根据立方根的意义求出x的值代入计算． 【小问1详解】 解： 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： ． ∵是的立方根， ∴， ∴原式． 19. 如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是． （1）求证：； （2）已知是的中点．当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据余角的性质证明，根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得，由是的中点求出，进而可求的长． 【小问1详解】 证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴． ∵是的中点，， ∴，即的长为8． 20. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方向上，点在点的正东方向上，，且点到点的距离相等，米，米． （1）求两点之间的距离； （2）嘉淇准备从西门跑步到东门去见小明，因之间的道路整修不能通行，嘉淇决定选择一条较短线路，请通过计算说明嘉淇应选择路线，还是路线？ 【答案】（1）两点之间的距离为400米 （2）应选择路线，见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意可知，利用勾股定理即可算答案； （2）由题意可知，，再利用勾股定理计算出和长度，从而得到两种线路的长度，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在点的正南方向上，点在点的正东方向上， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 即两点之间的距离为400米； 【小问2详解】 解：∵点到点的距离相等， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得， ∴． 即路线的长为米． ∵，即路线的长为800米． ∵， ∴应选择路线． 21. 创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． （1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； （2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①甲组完成该任务需要____________天，乙组完成该任务需要____________天；（均用含x的式子表示） ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小． 即要比较代数式A，B的大小，只要算的值． 若，则；若，则，若，则． 【答案】（1） （2）， 嘉淇的说法正确 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减的实际应用（作差法），列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，由题意得，解方程即可求出的值，切记：勿忘检验； （2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法，可得，再结合，即可得出其符号，进而说明嘉淇的说法是否正确． 【小问1详解】 解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值是； 【小问2详解】 解：①甲组每天植树棵，乙组每天植树棵， 甲组完成棵任务需要天，乙组完成棵任务需要天， 故答案为：，； ② ， ， ， ， 即：， ， 甲组完成任务所用的时间更少， 嘉淇的说法正确． 22. 【问题情境】如图，在中，，是的中点，点分别在边上，连接． 【特例解答】（1）若，求的度数； （2）若，求证：点在线段的垂直平分线上； 【拓展探究】（3）若与全等（点与点是对应点），且的周长为14，，求的长度； （4）在（2）的基础上，，试判断与是否存在关于直线成轴对称的情况，若存在，直接写出此时点到的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或；（4）存在，点到的距离为 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可． （2）证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出点F在线段的垂直平分线上． （3）先求出边长，由线段中点得出，然后分两种情况当时和，然后利用全等三角形的性质求解即可． （4）根据全等三角形的性质得出，根据成轴对称的图形的性质得出，进一步证明是等边三角形，是等边三角形，则可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）证明：连接，． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点F在线段的垂直平分线上； （3）∵的周长为14，，， ∴． 又∵D是的中点， ∴． 当时，，， ∴． 当时，； 综上分析可知：或； （4）存在； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴， 在中，根据勾股定理可得， 即点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理，轴对称的性质，以及三角形内角和定理等知识，掌握这些知识解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$