精品解析：河南省信阳市淮滨县2024-2025学年下学期开学入学学情调研测试八年级数学试卷

河南省信阳市淮滨县2024-2025学年度（下） 开学入学学情调研测试八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 6. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 7. 有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 8. 甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独完成时间比乙工程队单独完成时间少用6天．若两个工程队同时进行工作4天后，再由乙工程队单独完成，那么乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同．则甲工程队单独完成这项工程所需的时间是（ ） A. 30 B. 28 C. 18 D. 12 9. 如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与 均为等腰三角形，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 或 10. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，则长方形的面积是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含的三角板的一条直角边重合，则的度数为_____． 13. 小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为________． 14. 如图，已知三角形纸片，，，，点是边的中点，点在边上，将沿翻折压平，使点恰好落在线段上，则等于________． 15. 如图，等腰 的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为____________. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算：（1）； （2）． 17. 如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果，，小明利用直尺（无刻度）和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作的平分线，交与点D． （2）作_________的垂直平分线（选择正确选项并完成作图）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 （3）根据以上信息请判断： 点D在直线上吗？_______（填“在”或“不在”） 理由：_______________________________． 18. 随着市场逐渐扩大，某物流公司拟实行快递分拣自动化，可供选择的分拣流水线有A、B两种，已知A型流水线每小时完成的工作量是B型流水线的1.5倍，据实验数据知完成18000件分拣，A型流水线单独完成分拣所需的时间比B型流水线少10小时． （1）求两种流水线每小时分别分拣快递多少件？ （2）若A型流水线工作1小时所需的维护费用为8元，B型流水线工作1小时所需的维护费用为6元，若该快递公司在两种流水线中选择其中的一种流水线单独完成分拣任务，则选择哪种流水线所需维护费用较小？请计算说明． 19. 对于正数x，规定，例如：，，，． （1）计算并填空：______，______， ______； （2）猜想：______，并证明你的结论． 20. 如图①是一个长为，宽为长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）观察图②，请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为_____________； （2）若m，n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值； （3）如图③，，分别表示边长为x，y的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． （4）如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形两块空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积． 21. 在边长为9的等边三角形中，点P是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若点Q是上一定点，，，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形？ 22. （教材中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______，求代数式的最小值为______； （2）若，当______时，y有最_____值（填“大”或“小”），这个值是______； （3）若，则_____， _____，若，则的值为______； （4）当a，b，c分别为的三边长，且满足时，判断的形状并说明理由． （5）已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． 23. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳市淮滨县2024-2025学年度（下） 开学入学学情调研测试八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 若分式值为0，则x的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得， 故选：A． 2. 芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为， 其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为 整数．确定的 值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的 绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，是 正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：， 将用科学记数法表示为， 故选：D． 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个非0的数，分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，的分子和分母同时乘上，该分式的值不变， 即 故选：C 4. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．依据合并同类项法则、积的乘方、乘法的分配律、同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 6. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法与积的乘方和有理数的混合运算，先根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可． 【详解】解：原式 故选：C． 7. 有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④， 满足为①④， 故选D． 8. 甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独完成时间比乙工程队单独完成时间少用6天．若两个工程队同时进行工作4天后，再由乙工程队单独完成，那么乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同．则甲工程队单独完成这项工程所需的时间是（ ） A. 30 B. 28 C. 18 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设甲工程队单独完成需要天，则乙工程队单独完成需要天，根据题意列出分式方程，并求解即可获得答案． 【详解】解：设甲工程队单独完成需要 天，则乙工程队单独完成需要天， 根据题意，可得， 整理可得， 解得（天）， 所以，甲工程队单独完成需要12天． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 9. 如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与 均为等腰三角形，则的度数为（ ）度． A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，，，，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，，， ∴，， 如图，当时，， ∵， ∴， 解得：， 此时； 如图，当时，则， ∵， ∴， 解得， 此时； 时，则， 由得，， 此方程无解， ∴不成立， 综上所述，或， 故选：． 10. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，则长方形的面积是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，设，根据题意，得到，，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴，即：长方形的面积是； 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含的三角板的一条直角边重合，则的度数为_____． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】两个直角三角板的内角分别为和，利用直角三角形两锐角互余，对顶角相等，三角形外角等于与其不相邻的两个内角的和即可求得． 【详解】解：如图 故答案为． 【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，对顶角相等，三角形外角等于与其不相邻的两个内角的和等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13. 小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，多加的一个外角即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个外角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个外角是的余数， 即为 故答案为：． 14. 如图，已知三角形纸片，，，，点是边的中点，点在边上，将沿翻折压平，使点恰好落在线段上，则等于________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】在题主要考查了折叠问题以及含角的直角三角形的性质，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．分两种情况进行讨论：点与点重合以及点与点重合，依据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质进行计算即可得到的长． 【详解】解：①如图所示，当点与点重合时，，，三点共线， ； ②如图所示，当点与点重合时，，，三点共线， ， ， 中，， 由折叠可得，， ，即； 综上所述，的长为3或4． 故答案为：3或4． 15. 如图，等腰 的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为____________. 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高．解题的关键在于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值． 连接，由于是等腰三角形，点D为边中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可解题． 【详解】解：连接，，如图所示．  ∵ 是等腰三角形，，点D为边的中点， ∴． ∵，， ∴，． ∵是的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为A． ∴． ∵， ∴的长为的最小值． ∴的周长的最小值为：． 故答案为：11． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算以及分式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果，，小明利用直尺（无刻度）和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作的平分线，交与点D． （2）作_________的垂直平分线（选择正确选项并完成作图）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 （3）根据以上信息请判断： 点D在直线上吗？_______（填“在”或“不在”） 理由：_______________________________． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析；A （3）在；理由：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴点D在直线上 【解析】 【分析】（1）用尺规作的平分线即可； （2）用尺规作线段的垂直平分线即可； （3）先证明，得出，再根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的的平分线； 【小问2详解】 解：如图，作线段的垂直平分线． 故答案为：A； 【小问3详解】 解：在；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点D在直线上． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本作图方法． 18. 随着市场逐渐扩大，某物流公司拟实行快递分拣自动化，可供选择的分拣流水线有A、B两种，已知A型流水线每小时完成的工作量是B型流水线的1.5倍，据实验数据知完成18000件分拣，A型流水线单独完成分拣所需的时间比B型流水线少10小时． （1）求两种流水线每小时分别分拣快递多少件？ （2）若A型流水线工作1小时所需的维护费用为8元，B型流水线工作1小时所需的维护费用为6元，若该快递公司在两种流水线中选择其中的一种流水线单独完成分拣任务，则选择哪种流水线所需维护费用较小？请计算说明． 【答案】（1）A型流水线每小时分拣快递900件，B型流水线每小时分拣快递600件 （2）A型流水线所需维护费用较小，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设B型流水线每小时分拣快递x件，则A型流水线每小时分拣快递件，列分式方程求解即可； （2）根据（1）中的结论，求出A、B流水线需要的时间即可求解． 【小问1详解】 解：设B型流水线每小时分拣快递x件，则A型流水线每小时分拣快递件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型流水线每小时分拣快递900件，B型流水线每小时分拣快递600件； 【小问2详解】 解：选择A型流水线所需维护费用较小，说明如下： A型流水线完成搬运任务所需维护费用为：（元）， B型流水线完成搬运任务所需维护费用为：（元）， ∵， ∴选择A型流水线所需维护费用较小． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题关键． 19. 对于正数x，规定，例如：，，，． （1）计算并填空：______，______， ______； （2）猜想：______，并证明你的结论． 【答案】（1）2，2，201； （2）2，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，分式的加减法以及数字的变化类，理解新定义的函数的意义，掌握分式加减法的计算法则以及数字所呈现的规律是解决问题的前提． （1）根据规定的计算公式计算即可； （2）分别计算，，根据分式的加减计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ，， ，， …， ，， ∴， ， ， ……， ， ∵ ∴ ． 故答案为：2；2；201 【小问2详解】 解：．证明如下； ∵， ， ∴． 故答案为：2 20. 如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）观察图②，请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为_____________； （2）若m，n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值； （3）如图③，，分别表示边长为x，y的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． （4）如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形两块空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积． 【答案】（1） （2） （3）8 （4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式． （1）由图象中小正方形面积大正方形面积长方形面积求解； （2）根据求解； （3）由求解； （4）设，，则，，根据完全平方公式，求得，即可解答． 【小问1详解】 解：由图可得： 故答案为： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：设，， 由题意可得，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴原有长方形用地的面积为． 21. 在边长为9的等边三角形中，点P是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若点Q是上一定点，，，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形？ 【答案】（1）3 （2）当时，为等边三角形． 【解析】 【分析】本题属动点问题，考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键. （1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【小问1详解】 解： 是等边三角形，， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ， 解得：， 当的值为3时，； 【小问2详解】 解：①当点在边上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：，解得：， 当时，为等边三角形． 22. （教材中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 例如：求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______，求代数式的最小值为______； （2）若，当______时，y有最_____值（填“大”或“小”），这个值是______； （3）若，则_____， _____，若，则的值为______； （4）当a，b，c分别为的三边长，且满足时，判断的形状并说明理由． （5）已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． 【答案】（1），3； （2）1，大，； （3），3，4； （4）是等腰三角形，理由见解析； （5） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解，凑成完全平方加一个数值的形式，根据非负性求解； （2）凑成完全平方加一个数值的形式，根据其非负性求解； （3）配成完全平方公式形式，根据其非负性求解； （4）配成三项完全平方式和形式，根据非负性确定值，再判断形状； （5）配成两项完全平方式和形式，根据非负性确定，再根据三角形三边关系求解． 【小问1详解】 解： ； ， ∵， ∴， ∴最小值是3； 故答案为：，3； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，y有最大值． 故答案为：1，大，； 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴， 解得． ∵， ∴， 解得． ∴， 故答案为：，3，4； 【小问4详解】 解：是等腰三角形．理由如下： ， ∴， ∴， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ∴， 得，． ∴是等腰三角形； 【小问5详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴， 解得． ∵c是中最长的边， ∴． 23. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 【答案】【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析 〖概念理解〗（1）见解析 〖性质探究〗（2）见解析 （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析 〖拓展应用〗（4）或 【解析】 【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论； （1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）利用证明，即可得出结论； （4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】解：〖教材呈现〗如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，， ∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗 （2）如图2，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． 〖拓展应用〗 （4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$