精品解析：2026年湖南省邵阳市邵东市初中学业水平考试模拟卷 数学

2026年湖南初中学业水平考试模拟卷 数学 温馨提示：本卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 2. 如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两不相等实数根 B. 有两相等实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 4. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且x≠3 D. 5. 将多项式x﹣x3因式分解正确的是（　　） A. x（x2﹣1） B. x（1﹣x2） C. x（x+1）（x﹣1） D. x（1+x）（1﹣x） 6. 已知二次函数的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数的图象上（　　） A. B. C. D. 7. 已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是( ) A. 平均数是8 B. 众数是8 C. 中位数是8 D. 方差是8 8. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝____________度． 12. 计算：______． 13. 如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是_____． 14. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 15. 如图，在四边形中，若，则添加一个条件________，能得到平行四边形（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）． 16. 已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题10分，第23，24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 求不等式组的正整数解. 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 20. 每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： ①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90． ②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数x 人数 5 a 5 2 1 等第 ③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④依据统计信息回答问题 （1）统计表中的　 　． （2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　 　． （3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？ 21. 某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元． (1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵（可以只买一种），总费用不超过230元，求可能的购买方案？ 22. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号） 23. 操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN. (1)如图1，求证：BE＝BF； (2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长； (3)类比探究：若DE＝a，CF＝b. ①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明； ②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程) 24. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南初中学业水平考试模拟卷 数学 温馨提示：本卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形即可得到答案. 【详解】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1， 所以主视图为： ， 故选B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两不相等实数根 B. 有两相等实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可. 【详解】， △=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8， ∵(k+1)2≥0， ∴(k+1)2+8>0， 即△>0， ∴方程有两个不相等实数根， 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 4. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且x≠3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行求解即可得. 【详解】由题意得：， 解得：x≥2且x≠3， 故选C. 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5. 将多项式x﹣x3因式分解正确的是（　　） A. x（x2﹣1） B. x（1﹣x2） C. x（x+1）（x﹣1） D. x（1+x）（1﹣x） 【答案】D 【解析】 【分析】直接提取公因式x，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】x﹣x3=x（1﹣x2） =x（1﹣x）（1+x）． 故选D． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 6. 已知二次函数的图象如图，则下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数的图象上（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：二次函数图象开口向上，二次项系数是正数，反比例函数图象位于第一、三象限，有可能位于反比例函数图象上的点必须位于第一或第三象限，位于第一、三象限的点的横纵坐标同号，C选项正确． 7. 已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是( ) A. 平均数是8 B. 众数是8 C. 中位数是8 D. 方差是8 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后进行判断即可. 【详解】由平均数的公式得平均数＝(5+8+8+9+10)÷5＝8， 方差＝[(5﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]＝2.8， 将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8， 5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8， 故选D． 【点睛】本题考查了对平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握相关的概念以及求解方法是解题的关键. 8. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 9. 如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交于点F，证明出，得到，，设，，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝____________度． 【答案】52 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠OED＝∠2，再根据∠O＝90°，∠1＝∠OED+∠O＝142°，即可求得答案. 【详解】∵AB∥CD， ∴∠OED＝∠2， ∵OA⊥OB， ∴∠O＝90°， ∵∠1＝∠OED+∠O＝142°， ∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°， 故答案为52． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解： ． 13. 如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是_____． 【答案】x=2 【解析】 【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解． 【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0）， ∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2， 故答案为x=2． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 14. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在四边形中，若，则添加一个条件________，能得到平行四边形（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）． 【答案】AB∥CD(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解本题． 【详解】解：∵在四边形中，已知， 结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”， 故添加AB∥CD可以得到平行四边形． 故答案为：AB∥CD． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，注意掌握相关的判定方法是解题的关键． 16. 已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点，然后计算这个点到直线y=x-4的距离即可． 【详解】解：当时，，即点在直线上， 因为点到直线的距离为：， 因为直线和平行， 所以这两条平行线之间的距离为． 故答案为． 【点睛】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力． 三、解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题10分，第23，24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 求不等式组的正整数解. 【答案】正整数解是1，2，3，4． 【解析】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组解集的确定方法得到解集，即可得到正整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤， 不等式组的解集是﹣2＜x≤， 不等式组的正整数解是1，2，3，4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【详解】解：原式， 当时，原式． 19. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论； （2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：证明：(1)连接OD， ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线CD是⊙O的切线； (2)连接BD， ∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20. 每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析： ①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90． ②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第： 分数x 人数 5 a 5 2 1 等第 ③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： ④依据统计信息回答问题 （1）统计表中的　 　． （2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为　 　． （3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？ 【答案】（1）7；（2）90°；（3）估计有100名师生需要参加团队心理辅导． 【解析】 【分析】（1）根据组人数以及百分比求出总人数，再求出即可． （2）根据圆心角百分比计算即可． （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）总人数（人），， 故答案为7． （2）所占的圆心角， 故答案为90°． （3）（人）， 答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导． 【点睛】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元． (1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵（可以只买一种），总费用不超过230元，求可能的购买方案？ 【答案】(1)购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2 x-40) 棵，根据购买两种树苗的总金额为9000元列方程进行求解即可； (2)设购买甲树苗y棵，乙树苗(10-y)棵，根据总费用不超过230元列不等式进行求解即可. 【详解】(1)设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗棵， 由题意可得，， ， ， ∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵； (2)设购买甲树苗y棵，乙树苗棵， 根据题意可得，， ， ， ∵y为自然数， ∴y=3、2、1、0，有四种购买方案， 购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵； 购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵； 购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵； 购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系、不等关系是解题的关键. 22. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm． 【解析】 【分析】（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可； （2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． 即OC的长度为12cm． （2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离， ∵OM∥AC，B′E⊥AC， ∴B′E⊥OD， ∵MN∥AC， ∴∠NOA=∠OAC=30°， ∵∠AOB=120°， ∴∠NOB=90°， ∵∠NOB′=120°， ∴∠BOB′=120°-90°=30°， ∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE， ∴BC∥B′E，四边形OCED为矩形， ∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm， 在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm， ∴ B′D= ， B′E=B′D+DE= ， 答：点到的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23. 操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN. (1)如图1，求证：BE＝BF； (2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长； (3)类比探究：若DE＝a，CF＝b. ①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明； ②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程) 【答案】(1)证明见解析；(2)四边形PMQN的周长为2；(3)①QN﹣QM＝，证明见解析；②QM﹣QN＝. 【解析】 【分析】(1)根据矩形的对边平行可得∠DEF＝∠EFB，根据翻折性质可得∠DEF＝∠BEF，由此可得∠BEF＝∠EFB，即可求得结论； (2)如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB，先求出AB的长，继而利用面积法求出PM+PN＝EH＝，再根据平行形的周长公式求解即可； (3)①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H，先求出EH＝AB＝，再根据面积法求得PM﹣PN＝EH＝，继而根据平行四边形的性质即可求得QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝， ②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝. 【详解】(1)如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB， 由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF； (2)如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB， ∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2， 在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝， ∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN， ∵BE＝BF， ∴PM+PN＝EH＝， ∵四边形PMQN是平行四边形， ∴四边形PMQN的周长＝2(PM+PN)＝2； (3)①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H， ∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝， ∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF， ∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝， ∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝， ②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝. 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，面积法等知识，综合性较强，有一定的难度，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键. 24. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【解析】 【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 【详解】解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1的函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $