第02讲 复数的几何意义（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第02讲 复数的几何意义 课程标准 学习目标 1．理解复数的几何意义； 2．掌握实轴、虚轴、模等概念，以及用向量的模来表示复数的模的方法； 3．理解共轭复数的含义及性质. 1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2．掌握实轴、虚轴、模等概念； 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 知识点01 复数的几何意义 1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面。 2、实轴与虚轴：在复平面内，轴上的点对应的都是实数，因此轴称为实轴；轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称轴为虚轴。 3、复数的几何意义——与点对应：每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C中一一对应的数与复平面内的点是一一对应的，即复数，这是复数的一种几何意义。 4、复数的几何意义——与向量对应：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系：实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数． 【即学即练1】 （24-25高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出复数的实部、虚部可得答案. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：B. 知识点02 共轭复数 1、共轭复数的定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数； 2、共轭复数的代数表示：复数的共轭复数用表示，因此，当时，有. 3、互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上。 【即学即练2】（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 【答案】/ 【分析】利用共轭复数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 知识点03 复数的模 1、模的定义与表示：一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值）.复数的模用表示，因此。当时，. 2、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部. 【即学即练3】（24-25高一上·上海·课后作业）复数z满足，它的几何意义是 ． 【答案】复数z表示的点到点的距离为1 【分析】令，则由可得，即的几何意义为复数z表示的点到点的距离为1. 【详解】令，复数z表示的点为， 则， 又复数z满足， 所以， 则表示点到的距离为1， 即复数z表示的点到点的距离为1. 题型01 复数的坐标表示 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为复数对应的点为， 所以点A关于虚轴的对称点为， 所以对应的复数为. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 【变式2】（23-24高二下·四川达州·期中）已知复数，则复数在复平面内所对应的点Z位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】由复数的几何意义得复数对应的点的坐标，可求所在象限. 【详解】复数在复平面内所对应的点，位于第四象限. 故选：D. 【变式3】（（23-24高一下·北京通州·期末）复平面内点所对应复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由复数的几何意义即可得到点对应的复数，从而得到结果. 【详解】复平面内点所对应复数为，其虚部为. 故选：B 【变式4】（23-24高一下·天津宝坻·阶段练习）已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义即可得答案. 【详解】复数在复平面对应的点为. 故答案为：. 题型02 实轴、虚轴上点对应的复数 【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 【变式2】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 【答案】B 【分析】由复平面和复数的概念逐项判断. 【详解】A.由复平面知：实轴上的点对应的复数为实数,故正确； B.由复平面知：虚轴上的点除原点外，其余的点对应的复数为纯虚数，故错误； C.由复数的概念知：表示实数的点都在实轴上，故正确； D.由复数的概念知：表示纯虚数的点都在虚轴上，故正确； 故选：B 【变式3】在复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点在实轴上,则实数m的值为 A． B．3 C．或3 D．1 【答案】B 【解析】结合复数对应点在实轴上的条件以及对数的知识，求得的值. 【详解】因为在复平面内,复数z所对应的点在实轴上,所以,解得或.又,所以. 故选：B 【变式4】（24-25高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 题型03 根据复数对应点的特征求参数 【典例3】（2024·四川成都·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义得出对应不等式即可得结果. 【详解】复数，其对应的点在第二象限， 则，解得． 故选：A 【变式1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【详解】根据题意得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解. 【详解】由已知复平面内表示复数的点位于四象限， 则，即， 即， 故选：B. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知，，，为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】复数的几何意义、不等式的性质可得，即可求解. 【详解】由题意知，复数的实部与虚部应同号，所以， 即，所以． 故选：C． 【变式4】（2024·云南昆明·一模）复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】首先得到复数在复平面内对应的点的坐标，即可得到方程，解得即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得. 故选：A 题型04 共轭复数 【典例4】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由共轭复数，及复数几何意义可得答案. 【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据共轭复数和复数虚部概念即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为1. 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数定义以及复数的虚部概念可直接得解. 【详解】由题，所以的共轭复数的虚部为. 故选：C. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数z在复平面内对应的点为，则（    ） A．z的虚部为 B． C． D．的虚部为1 【答案】D 【分析】由题意可得复数，然后逐个分析判断. 【详解】因为复数z在复平面内对应的点为，所以. 对于A，复数z的虚部为，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，的虚部为1，故D正确. 故选：D. 【变式4】（24-25高三上·浙江·期末）已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 【答案】B 【分析】由复数与复平面的关系得到对应点的位置，共轭复数与复数的关系得到，由的系数得到虚部的值，由实部和虚部求得复数的模长，从而得解. 【详解】对应的点为，在第四象限，故A错误； ，故B正确； z的虚部是，故CD错误. 故选：B. 题型05 复数的模 【典例5】（23-24高一下·天津宝坻·阶段练习）已知复数的实部为-1，虚部为2，则（   ）. A．2 B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】根据复数的实部和虚部的定义，写出复数，再利用复数的模长公式计算. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 【变式1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 【变式2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等可得的值，计算即可得到. 【详解】根据复数相等可得，解得， ∴，， ∴. 故选：C. 【变式3】（24-25高三上·四川成都·期中）（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据复数模长公式求出答案. 【详解】. 故选：D 【变式4】（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案 【详解】因为，所以实部为2，虚部为3，，. 故选：B 题型06 与复数模有关的轨迹问题 【典例5】（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用表示以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内， 表示到点距离为1的所有复数对应的点， 即表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为， 最长距离为， 则的取值范围是. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 【变式2】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解. 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 【变式3】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的模的几何意义作出图形，将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决即可. 【详解】    如图，由复数的模的几何意义可知， 满足的点的轨迹是以点为圆心，半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域（含内外圆弧）. 而可理解为圆环区域内的点（含内外圆弧）到点的距离. 由点与圆的位置关系可知，当且仅当点在线段的延长线与大圆的交点处时，距离取得最大， 为，即的最大值为. 故选：A. 【变式4】（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可. 【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1， 即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义是点Z到点的距离． 如图所示，故． 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出复数的实部、虚部可得答案. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：B. 2．（23-24高一下·天津西青·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可. 【详解】复数与对应的向量分别是与， . 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为复数对应的点为， 所以点A关于虚轴的对称点为， 所以对应的复数为. 故选：C 4．（23-24高一下·广西桂林·期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由坐标判断象限即可. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限. 故选：B 5．（23-24高一下·北京大兴·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义可得，即可由共轭复数的定义求解. 【详解】由题意可得，故， 故选：A 6．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数，则（    ） A． B．7 C．5 D．25 【答案】C 【分析】利用复数的模的公式计算即可. 【详解】因为复数，所以. 故选：C. 7．（23-24高一下·广东肇庆·期末）欧拉公式（为自然对数的底，是虚数单位，）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由题意可得，可得结论. 【详解】由欧拉公式（为自然对数的底，是虚数单位，）， 可得， 所以在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 8．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案. 【详解】由于，所以对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点和点的距离， 其最小值为. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【详解】因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限， 故选：AB． 10．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 11．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误. 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）若复数满足，则 . 【答案】 【分析】根据复数模的计算公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13．（23-24高一下·全国·课堂例题）若复数，满足，则的值为 . 【答案】 【分析】根据复数的模的概念得，从而求的值. 【详解】因为，所以. 故答案为： 14．（14-25高一·全国·课后作业）设复数，则满足的复数在复平面内对应的点构成的平面图形的面积为 . 【答案】 【解析】首先利用复数的几何意义确定满足条件的复数在复平面内对应的点构成的平面几何图形，然后根据图形形状求其面积. 【详解】在复平面内，的几何意义为： 复数对应的动点到坐标原点的距离大于，不大于4， 因此动点构成的图形是由圆心为坐标原点， 半径分别为和4的两个同心圆构成的圆环（不包含半径为的圆的边界）， 故其面积为. 故答案为:. 【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题. 四、解答题 15．（23-24高一下·西藏拉萨·期中）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值或取值范围； (1)z为实数； (2)z为纯虚数； (3)z对应的点位于第四象限． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念可得，运算求解即可； （2）根据题意结合复数的相关概念可得，运算求解即可； （3）根据题意结合复数的相关概念可得，运算求解即可． 【详解】（1）若z为实数，则，解得． （2）若z为纯虚数，则，解得． （3）若z对应的点位于第四象限，则，解得． 16．（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 17．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，O是原点，向量对应的复数为． (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据复数的几何表示和对称性求解即可. 【详解】（1）设向量对应的复数为，则点的坐标为． 由题意得．若点A与点关于实轴对称， 则根据对称性可知，，．故． （2）设点对应的复数为，则点的坐标为， 由（1）得．若点与点关于虚轴对称， 则根据对称性可知，，．故． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【答案】(1)， (2)是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【分析】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【详解】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 复数的几何意义 课程标准 学习目标 1．理解复数的几何意义； 2．掌握实轴、虚轴、模等概念，以及用向量的模来表示复数的模的方法； 3．理解共轭复数的含义及性质. 1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2．掌握实轴、虚轴、模等概念； 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 知识点01 复数的几何意义 1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面。 2、实轴与虚轴：在复平面内，轴上的点对应的都是实数，因此轴称为实轴；轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称轴为虚轴。 3、复数的几何意义——与点对应：每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C中一一对应的数与复平面内的点是一一对应的，即复数，这是复数的一种几何意义。 4、复数的几何意义——与向量对应：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系：实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数． 【即学即练1】 （24-25高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 知识点02 共轭复数 1、共轭复数的定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数； 2、共轭复数的代数表示：复数的共轭复数用表示，因此，当时，有. 3、互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上。 【即学即练2】（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 知识点03 复数的模 1、模的定义与表示：一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值）.复数的模用表示，因此。当时，. 2、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部. 【即学即练3】（24-25高一上·上海·课后作业）复数z满足，它的几何意义是 ． 题型01 复数的坐标表示 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24高二下·四川达州·期中）已知复数，则复数在复平面内所对应的点Z位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式3】（（23-24高一下·北京通州·期末）复平面内点所对应复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·天津宝坻·阶段练习）已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 题型02 实轴、虚轴上点对应的复数 【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【变式1】（24-25高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【变式2】（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 【变式3】在复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点在实轴上,则实数m的值为 A． B．3 C．或3 D．1 【变式4】（24-25高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 题型03 根据复数对应点的特征求参数 【典例3】（2024·四川成都·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知，，，为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·云南昆明·一模）复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A．1 B． C．2 D． 题型04 共轭复数 【典例4】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数z在复平面内对应的点为，则（    ） A．z的虚部为 B． C． D．的虚部为1 【变式4】（24-25高三上·浙江·期末）已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 题型05 复数的模 【典例5】（23-24高一下·天津宝坻·阶段练习）已知复数的实部为-1，虚部为2，则（   ）. A．2 B．5 C． D．4 【变式1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 【变式3】（24-25高三上·四川成都·期中）（    ） A．2 B． C．5 D． 【变式4】（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 题型06 与复数模有关的轨迹问题 【典例5】（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【变式2】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 一、单选题 1．（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津西青·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西桂林·期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高一下·北京大兴·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（     ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数，则（    ） A． B．7 C．5 D．25 7．（23-24高一下·广东肇庆·期末）欧拉公式（为自然对数的底，是虚数单位，）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 11．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 三、填空题 12．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）若复数满足，则 . 13．（23-24高一下·全国·课堂例题）若复数，满足，则的值为 . 14．（14-25高一·全国·课后作业）设复数，则满足的复数在复平面内对应的点构成的平面图形的面积为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·西藏拉萨·期中）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值或取值范围； (1)z为实数； (2)z为纯虚数； (3)z对应的点位于第四象限． 16．（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 17．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，O是原点，向量对应的复数为． (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$