第01讲 正弦定理（3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第01讲 正弦定理 课程标准 学习目标 1．结合实例，了解已知两边和夹角的三角形的面积公式的推理过程，掌握三角形面积公式的应用； 2．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形； 3．探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题。 1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养； 2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养。 知识点01 三角形的面积公式 1、三角形面积公式：在中，三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为S，则，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 2、其他面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） 【即学即练1】（23-24高一下·黑龙江·期末）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式代入计算可得结果. 【详解】由三角形面积公式可得. 故选：B 知识点02 正弦定理 1、正弦定理的描述 （1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等； （2）符号语言：（2为外接圆直径） 【解读】正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中，若内角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，则 （1），，； （2）； （3）（比例性质）； （4），，（可以实现边到角的转化）； （5），，（可以实现角到边的转化）。 3、三角形中的隐含条件 在中，已知内角，，所对的边分别为，，. （1），，，；. （2）（大边对大角）；. （3），；； （4）若三角形为锐角三角形， 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 知识点03 解三角形 1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。 2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 3、利用正弦定理解三角形的类型 （1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解； （2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。 【即学即练3】（24-25高二上·辽宁朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 题型01 正弦定理解三角形 【典例1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理得到值，再根据得到，即可求解． 【详解】，，， 又，且， ，则角的值为． 故选：B. 【变式1】（24-25高一·山东临沂·期末）记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由正弦定理，得. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求. 【详解】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 【变式3】（24-25高一下·天津·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，解得. 故选：A. 题型02 判断三角形解的个数 【典例2】（2025高一·全国·课堂练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断. 【详解】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 【变式1】（24-25高二上·陕西西安·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（    ） A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 【答案】B 【解析】由正弦定理可得，进而判断解的情况. 【详解】因为，，， 所以由正弦定理可得，，所以或， 当时，，满足题意； 当时，，不能构成三角形，舍去. 综上，，即三角形的解只有一个. 故选：B． 【变式2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案. 【详解】如图，过点作，垂足为,则.    若有两解，所以，则，即，得. 故选：B 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 【变式4】（23-24高一下·江苏扬州·期末）（多选）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 【变式5】（23-24高一下·上海·月考）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 题型03 三角形面积问题 【典例3】（23-24高一下·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】∵，∴， 由三角形的面积公式可知，的面积为. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·河南濮阳·期末）在中，，，，，则 A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式可得，进而可得解. 【详解】在中，，，, ，可得，所以， 所以 【变式2】（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课前预习）在中，，，，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理、三角形内角和求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 而，所以，所以， 所以. 故答案为：. 【变式4】在中，，，则 . 【答案】或 【分析】先由三角形面积公式，得到，求出，即可得出结果. 【详解】因为在中，，， 所以，因此， 所以或. 故答案为或 【变式5】在中，，，，则的面积等于 . 【答案】或 【分析】根据正弦定理得到角的大小，进而得到角的大小，最后可求得面积． 【详解】在中，，，. 由正弦定理可得，得. ，，或. 当时，，； 当时，，. 故的面积是或． 故答案为：或. 题型04 求三角形外接圆半径 【典例4】在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为______． 【答案】1 【解析】如图，在中，设D为边的中点， 则，,所以, 故，而, 所以 ,则， 由于，故， 所以 ，设的外接圆的半径为R, 则. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换化简可得，再结合正弦定理可得外接圆半径. 【详解】由，则， 由正弦定理得， 所以，即， 解得， 所以，， 故选：B. 【变式2】在中，已知，则的外接圆半径为（　　） A．4 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】因为在中，已知， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得的外接圆半径为R．故选：C． 【变式3】（24-25高一下·河南郑州·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】根据正弦定理知， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 由正弦定理可得，解得，故选：B. 题型05 判断三角形的形状 【典例5】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得， 所以， 即，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以. 故选：C. 【变式3】（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理边角互化，三角函数两角差公式以及三角函数的诱导公式即可得到答案. 【详解】根据正弦定理边角互化若， 则， 又根据诱导公式可知， 将上式可变形为， 根据三角函数两角差公式可化简， 所以 三角形内角和，代入即可求得 所以是直角三角形. 故选：A 题型06 边角互化的应用 【典例6】（2025·四川南充·二模）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角，进而利用正弦定理得解. 【详解】由于三角形的内角和为，即：,已知，所以：， 代入到中，得到：， 展开并化简：,即， 整理得到：，即， 根据正弦定理：,即. 故选：D. 【变式1】（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A. 【变式2】（2024高二上·河南安阳·学业考试）在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设及三角形面积公式、余弦边角关系可得，即可求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以，则，而， 所以. 故选：D 【变式3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【详解】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B 【变式4】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 题型07 最值与范围问题 【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·安徽合肥·期末）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【答案】D 【分析】A：利用正弦定理和三角恒等变换即可判断；B：利用正弦定理边化角，结合A选项结论和三角恒等变换即可求出的三个内角，从而可判断其形状；C和D，根据是锐角三角形和选项A结论求出B的范围，利用函数单调性的方法可分别求两个式子的范围. 【详解】∵，由正弦定理可得， 在中，， 可得，而与不可能互补， ∴，即，∴A选项正确； 选项B中，，可得，由A选项可得， 则，在中，， 可得，则，∴，即为直角三角形，∴B选项正确； 选项C中，为锐角三角形中， ． 设， ∵为锐角三角形，∴，可得， ∴，即， 令，则函数单调递增， ，而，即． ∴，∴，∴C正确； 选项D中，∵为锐角三角形，由A选项可得， ∴，可得，∴， ∴． 设． 设在单调递减，∴， ∴D选项不正确： 故选：D． 【变式3】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【变式4】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边平方结合二倍角公式可得，由正弦定理将边转化为角可计算出，由为锐角三角形可得，结合正弦定理得，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，即， 所以， 所以，即， 所以或（舍去）， 则， 因为三角形为锐角三角形， 则，所以， 解得，所以， 因为 ， 所以的取值范围为. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理，得，解得， 故选：C. 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径. 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）在三角形中，，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 结合内角和定理，所以. 故选：B 5．（24-25高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得. 【详解】， 由正弦定理可得， 又在中， ， ， ， 在中，， ，且为的内角， ， 故选：C． 6．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 7．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）是斜边上一点，若，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合几何图形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解. 【详解】在中，令，由，则， ，， 在中，，由正弦定理，， 即，整理得， 即，因，则有，即的值是. 故选：D 8．（24-25高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理可得，由锐角三角形，可求得的范围. 【详解】由正弦定理得：，所以. 又锐角三角形中，，则，即. 所以，由于锐角三角形，所以， 解得. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】应用正弦定理有，进而求外接圆的面积判断A；应用正弦定理判断三角形个数判断B；由锐角三角形及诱导公式有、判断C；假设为钝角即可判断D. 【详解】因为，所以（为外接圆的半径）， 所以，故的外接圆的面积为，故A正确； 若，则，所以无解，故B错误； 若为锐角三角形，则，所以， 所以，同理， 所以，故C正确； 若为钝角，显然满足，但，不满足，故D错误. 故选：AC 10．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角得到，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整理式子得到，判断A选项；根据，即三角形形状得到关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式即可求最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D. 【详解】由正弦定理及，得， 即，， 整理得，又，， 所以，故，，A错误； 由，得，又为锐角三角形， 所以解得，B正确； （当且仅当，即时取等号），C正确； 由，得，由正弦定理得： 即， 所以 . 又，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 【答案】4 【分析】利用正弦定理，边角互化即可求解. 【详解】由正弦定理得， 则， 故答案为：4 13．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则当时， ；当时， 【答案】 1 【分析】利用正弦定理可得，进而代入求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得， 若，则； 若，则， 且，所以. 故答案为：1；. 14．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 .    【答案】 【分析】先利用三角形的面积公式求出的大小，再根据等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解. 【详解】因为中，，且的面积为， 所以，解得， 所以或， 当时，因为，所以， 又，所以，不符合题意； 当时，因为，所以， 又，所以在中，由正弦定理可得， 即. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）如图，在中，内角，的对边分别为，，，，过点作，交线段于点，且，． (1)求的大小； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件进行边角互化，化简可求出的大小. （2）由第（1）问的结论，可求出，由边相等可求出，正弦定理可求出结果. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得：， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）因为，所以， 由（1）知，，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理，得， 又因为， 所以， 即. 16．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，. (1)求； (2)若外接圆的半径为，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，得到，求出，求出，得到即可. （2）运用正弦定理进行边角互化，求出，再用和角公式计算，最后用正弦定理计算即可. 【详解】（1）因为，所以. 由正弦定理可知，所以，则. 因为，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以. （2）由正弦定理可知， 则，，. 由（1）可知，所以，所以. 由（1）可知，所以，所以. 因为，所以， 则， 故的周长为. 17．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知中的对边分别为． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可求得答案； （2）由求出的值，利用三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，故， 结合， 则， 而，故，则， 又，故； （2）因为，故，结合， 可得， 故的面积. 18．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合，即可求解； （2）由正弦定理结合辅助角公式得到，进而可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 19．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角性质及已知，即可确定角的大小； （2）由（1）为等边三角形，令，建立直角坐标系并确定相关点坐标，由及三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设，即， 所以，而，故， 又，则，故. （2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系， 则，，，故， 所以 ，当时取最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 正弦定理 课程标准 学习目标 1．结合实例，了解已知两边和夹角的三角形的面积公式的推理过程，掌握三角形面积公式的应用； 2．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形； 3．探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题。 1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养； 2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养。 知识点01 三角形的面积公式 1、三角形面积公式：在中，三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为S，则，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 2、其他面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） 【即学即练1】（23-24高一下·黑龙江·期末）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．3 知识点02 正弦定理 1、正弦定理的描述 （1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等； （2）符号语言：（2为外接圆直径） 【解读】正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中，若内角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，则 （1），，； （2）； （3）（比例性质）； （4），，（可以实现边到角的转化）； （5），，（可以实现角到边的转化）。 3、三角形中的隐含条件 在中，已知内角，，所对的边分别为，，. （1），，，；. （2）（大边对大角）；. （3），；； （4）若三角形为锐角三角形， 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 解三角形 1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。 2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 3、利用正弦定理解三角形的类型 （1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解； （2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。 【即学即练3】（24-25高二上·辽宁朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 题型01 正弦定理解三角形 【典例1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式1】（24-25高一·山东临沂·期末）记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·天津·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 判断三角形解的个数 【典例2】（2025高一·全国·课堂练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式1】（24-25高二上·陕西西安·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（    ） A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定 【变式2】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·江苏扬州·期末）（多选）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【变式5】（23-24高一下·上海·月考）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 题型03 三角形面积问题 【典例3】（23-24高一下·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 【变式1】（24-25高二上·河南濮阳·期末）在中，，，，，则 A．或 B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课前预习）在中，，，，则 . 【变式4】在中，，，则 . 【变式5】在中，，，，则的面积等于 . 题型04 求三角形外接圆半径 【典例4】在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为______． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，已知，则的外接圆半径为（　　） A．4 B．4 C． D． 【变式3】（24-25高一下·河南郑州·月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的外接圆半径为2.则（    ） A． B．2 C． D．4 题型05 判断三角形的形状 【典例5】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）的面积为，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形（非等边） B．直角三角形 C．正三角形 D．钝角三角形 【变式2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式3】（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型06 边角互化的应用 【典例6】（2025·四川南充·二模）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2024高二上·河南安阳·学业考试）在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（    ） A． B． C． D． 题型07 最值与范围问题 【典例7】（24-25高一上·全国·课后作业）在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·安徽合肥·期末）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，的最小值为1 【变式3】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）在三角形中，，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）是斜边上一点，若，则的值（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 10．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 11．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 12．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 13．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则当时， ；当时， 14．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 .    四、解答题 15．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）如图，在中，内角，的对边分别为，，，，过点作，交线段于点，且，． (1)求的大小； (2)求的长． 16．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，. (1)求； (2)若外接圆的半径为，求的周长. 17．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知中的对边分别为． (1)求； (2)求的面积． 18．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 19．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$