第03讲 正弦定理与余弦定理的应用（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第03讲 正弦定理与余弦定理的应用 课程标准 学习目标 1．结合实例，理解测量不便到达的两点之间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测量高度方面的应用； 2．掌握数学建模的应用，理解正、余弦定理在测量距离与角度等方面的应用 1．会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，理清利用解斜三角形可解决的各类应用问题及基本图形和基本等量关系； 2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。 知识点01 实际测量中的有关名词、术语 1、基线 （1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 （2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。 2、仰角与俯角： （1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 5、坡角与坡度（坡比）： （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数； （2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。 【即学即练1】 （24-25高一下·江西赣州·期中）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为30n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距 n mile． 知识点02 正弦定理和余弦定理的应用 1、测量距离与高度问题的常见类型 （1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类. 两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点间都不可达 （2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示． 2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 3、解三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 题型01 距离测量问题 【典例1】（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3】（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式4】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 ． 题型02 高度测量问题 【典例2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（    ） A．80米 B．100米 C．112米 D．120米 【变式1】（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【变式2】（24-25高一下·河北·阶段练习）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）       A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 题型03 角度测量问题 【典例3】（24-235高一·河南商丘·阶段练习）位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（    ） A．西偏南15° B．西偏南30° C．南偏西45° D．南偏西65° 【变式1】（多选）（24-25高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追起渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处． (1)求渔船甲的速度； (2)求的值； (3)求角． 题型04 实际生活中的综合应用 【典例4】（24-25高一·浙江·期末）在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 【变式1】（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 【变式2】（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【变式3】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【变式4】（23-24高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 2．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（   ） A．80米 B．100米 C．112米 D．120米 3．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 5．（21-22高一·全国·课后作业）如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 6．（23-24高一下·浙江·期中）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 8．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 二、多选题 9．（23-24高一下·四川乐山·期末）据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（    ） A．把两只佛脚底部看作两点，分别测量佛顶的仰角和的距离 B．在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为 C．高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角 D．在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角 10．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 11．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一下·福建福州·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为 海里. 13．（24-25高一上·上海·单元测试）台风中心从A地以每小时20千米的速度向北偏东30°方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东30千米处，B城市处于危险区内的时间共有 小时. 14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）甲船在岛的正南方向处，千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自岛出发以6千米/小时的速度向北偏东的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 小时. 四、解答题 15．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 17．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 18．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 19．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 正弦定理与余弦定理的应用 课程标准 学习目标 1．结合实例，理解测量不便到达的两点之间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测量高度方面的应用； 2．掌握数学建模的应用，理解正、余弦定理在测量距离与角度等方面的应用 1．会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，理清利用解斜三角形可解决的各类应用问题及基本图形和基本等量关系； 2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。 知识点01 实际测量中的有关名词、术语 1、基线 （1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 （2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。 2、仰角与俯角： （1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 5、坡角与坡度（坡比）： （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数； （2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。 【即学即练1】 （24-25高一下·江西赣州·期中）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为30n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距 n mile． 【答案】 【分析】利用正弦定理即可求出结果. 【详解】由题意得， ，，， 由正弦定理， 即，解得． 故答案为：． 知识点02 正弦定理和余弦定理的应用 1、测量距离与高度问题的常见类型 （1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类. 两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点间都不可达 （2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示． 2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 3、解三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，则A，B两点间的距离为 米． 【答案】 【分析】求出，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意， 由正弦定理得， 故，故A，B两点间的距离为． 故答案为：. 题型01 距离测量问题 【典例1】（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦定理，余弦定理结合三角形内角和定理判断每个方案都可以求解距离即可. 【详解】对于①，利用内角和定理先求出， 再利用正弦定理解出； 对于②，直接利用余弦定理即可解出； 对于③，先利用内角和定理求出， 再利用正弦定理解出，故A正确. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】利用正弦定理求出，再求出边上的高即可. 【详解】在中，由，得， ， 由正弦定理得，即， 因此边上的高为， 所以该河流的宽度是米. 故选：A 【变式3】（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得. 【详解】因为，可得是等边三角形，千米. 记直线与直线的交点为， 所以为的中点，所以为等腰三角形， ， 又， 所以千米， 故选：A. 【变式4】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔的距离为 ． 【答案】海里 【分析】在中利用正弦定理计算可得. 【详解】依题意在中，，，， 由正弦定理有，即，解得（海里）． 故答案为：海里 题型02 高度测量问题 【典例2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（    ） A．80米 B．100米 C．112米 D．120米 【答案】B 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 【变式1】（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. 【变式2】（24-25高一下·河北·阶段练习）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（    ）（参考数据：）       A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 【变式3】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 题型03 角度测量问题 【典例3】（24-235高一·河南商丘·阶段练习）位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（    ） A．西偏南15° B．西偏南30° C．南偏西45° D．南偏西65° 【答案】A 【分析】运用正弦定理求出即可. 【详解】如图，    ，由正弦定理得， 解得．因为，所以，因为， 所以乙船航行的最佳方向为西偏南. 故选：A. 【变式1】（多选）（24-25高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 【答案】AB 【分析】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案. 【详解】画出示意图如图所示，由题意得，，， 所以，解得， 所以或． 当船在B处时，，所以； 当船在处时，，所以． 综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向． 故选：AB. 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏北 度方向行驶．（结果精确到整数） 【答案】 【分析】由题意，设经过小时，缉私艇在的延长线上拦截小船，由，求出，得到，，进而可求出结果； 【详解】为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应该在OB的延长线上与小船相遇， 设经过t小时，缉私艇在OB的延长线上拦截小船， 此时，，， 则有，解得：或（舍）， 此时，， 因此，则， 即缉私艇应向西偏北37°的方向行驶． 故答案为：37 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追起渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处． (1)求渔船甲的速度； (2)求的值； (3)求角． 【答案】(1)14海里/小时； (2)； (3). 【分析】（1）由余弦定理求得BC长，即可求得速度； （2）由正弦定理即可求； （3）由反三角函数求值即可. 【详解】（1）由题意，，，，， 由余弦定理得，∴. ∴渔船甲的速度为海里/小时. （2）由正弦定理得，，即 （3）由题意得，，由得. 题型04 实际生活中的综合应用 【典例4】（24-25高一·浙江·期末）在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 【答案】（1），正西方向；（2）东偏北，分钟． 【分析】（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位； （2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间． 【详解】 解：（1）由题意可知，，， 在中，由余弦定理得：， ， 由正弦定理得：， 即， 解得：， ， 船在船的正西方向． （2）由（1）知，， 设分钟后缉私艇在处追上走私船， 则，， 在中，由正弦定理得：， 解得：， ， 是等腰三角形，    缉私艇沿东偏北方向行驶分钟才能最快追上走私船． 【变式1】（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 【答案】15 【分析】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间. 【详解】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时， 则，， ∴在中，已知,, ， 由余弦定理得， ，即， 由正弦定理得， 则， ， ∴为东西走向，， 在中，由正弦定理得， 则，且为锐角， ∴， 即，∴小时，即分钟. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 【变式3】（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 【变式4】（23-24高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【答案】D 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 2．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（   ） A．80米 B．100米 C．112米 D．120米 【答案】B 【分析】设，则有，，在中用余弦定理求解. 【详解】设，由，，，， 知，． 在中，因，米， 由余弦定理，得，解得米． 故选：B． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可. 【详解】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得． 故选：B． 4．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果. 【详解】连接,如图: 由已知条件得:, 因为甲船的速度是每小时海里, 所以, 则是等边三角形, 所以, 因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处, 所以, 则, 即, 所以乙船航行的速度是海里/小时, 即乙船每小时航行海里. 故选:D. 5．（21-22高一·全国·课后作业）如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】D 【分析】根据题意求出各角的度数，确定，故灯塔A在灯塔B的南偏西方向上. 【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形， 所以，又， 所以，所以， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上． 故选：D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 则. 故选：C. 7．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 8．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得. 【详解】因为， 可得是等边三角形，则千米. 记直线与直线的交点为， 所以,为的中点， 所以为等腰三角形， 所以千米. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·四川乐山·期末）据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（    ） A．把两只佛脚底部看作两点，分别测量佛顶的仰角和的距离 B．在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为 C．高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角 D．在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角 【答案】BCD 【分析】根据各选项的描述，结合正余弦定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可. 【详解】对于A：如果两点与佛像底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确． 对于B： 在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为,佛像高度为, 在中，, 在中，， 所以，即，佛像高度，故B正确； 对于C：如下图， 在中由正弦定理求，则佛像的高，故C正确； 对于D：如下图， 在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角， 在直角三角形中用来表示,在中由余弦定理就可以计算出佛像高度，故D正确； 故选：BCD. 10．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【分析】根据三角形的边角关系可得是正三角形，进而根据余弦定理可得，进而可求解速度，即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD. 【详解】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 11．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在中由正弦定理得求出可判断BA；求出，由正弦定理求出可判断C；在中，由正弦定理求出可判断D． 【详解】在中，，， ，由正弦定理得，， 即，所以，，故B正确； 且，故A错误； 故， 在中，，， 由正弦定理得，， 所以，故C错误； 对于D，在中，，， ，代入， 所以，故D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用正弦定理解三角形. 三、填空题 12．（23-24高一下·福建福州·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为 海里. 【答案】 【分析】根据给定信息作出图形，在中用正弦定理求，在中用余弦定理计算作答. 【详解】如图所示，，，，，，    在中，，， 由正弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 即灯塔与处之间的距离为海里. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·单元测试）台风中心从A地以每小时20千米的速度向北偏东30°方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东30千米处，B城市处于危险区内的时间共有 小时. 【答案】1.5 【分析】运用余弦定理，结合二次不等式解题即可. 【详解】解析：设t小时后，台风中心移动到点C，如图.    由题意：，，，由余弦定理可得. 若受到台风影响，则，即共影响1.5个小时. 故答案为：1.5. 14．（23-24高一下·安徽合肥·期中）甲船在岛的正南方向处，千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自岛出发以6千米/小时的速度向北偏东的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 小时. 【答案】 【分析】设经过小时距离最近,分别表示出甲乙距离岛的距离,由余弦定理表示出两船的距离,根据二次函数求最值的方法得到答案. 【详解】设经过小时两船之间的距离为千米,甲船由点到达点，乙船由点到达点， 则，.    由余弦定理可得， 当时，最小, 则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为小时. 故答案为:. 四、解答题 15．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 【答案】(1) (2)15km 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【详解】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2），,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 16．（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，） 【答案】 【分析】在中利用正弦定理求出，再在中利用锐角三角函数求出，即可得解. 【详解】依题意可得，， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 在中，，即， 所以， 所以山高． 17．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 【答案】安全；理由见解析. 【分析】过点作，计算出即可得出结论. 【详解】过点作，垂足为.如图所示： 根据题意可知，， ， 且 故, , ， 故，即这轮船继续向正东方向航行安全. 18．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得； （2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果. 【详解】（1）由题可知在中：，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 19．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 【答案】(1)300米； (2)为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【分析】（1）根据已知有，即可求的高度； （2）由，根据已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，确定取值条件即可得结论. 【详解】（1）由题设， 所以米； （2）设米，则，， 由，则 ， 当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$