专题04 正比例和反比例（单元讲义）-2024-2025学年北师大版数学六年级下册期中考前知识串讲培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（北师大版） 专题04 正比例和反比例 （导图+知识精讲+易错点拨+6大考点讲练+优选压轴题专练 共39题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大纲 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：正比例 2 知识点梳理02：反比例 3 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：正比例的易错知识点 3 易错知识点02：反比例的易错知识点 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01：变化的量 5 考点讲练02：正比例的意义及辨识 6 考点讲练03：正比例图像的认识 7 考点讲练04：正比例的应用 10 考点讲练05：反比例的意义及辨识 12 考点讲练06：反比例的应用 13 压轴专练 冲刺拔尖 14 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 考点讲练01：变化的量 【精讲题】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系。 【精练题01】（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 【精练题02】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）太原地铁是山西的一张“名片”，山西省首条地铁线路——太原地铁2号线南起西桥站，北至尖草坪站，全长23.65千米，总投资20864000000元。 (1)23.65是由( )个一，( )个十分之一和5个( )组成。 (2)横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )。 (3)把它画在比例尺是1∶500000的图上，长( )cm。 (4)地铁运行中有两个相关联的量，它们的关系如下图。这两个量可能是（    ）。 A．地铁从起点到终点运行的平均速度与运行时间 B．笑笑一行四人从起点到终点，购票的总价和张数 C．地铁中每个人的身高和他的年龄 D．地铁运行中，已走的路程和剩下的路程 【精练题03】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）星期日，淘气到公园荡秋千。秋千的高度变化情况可以用下图表示。 (1)淘气荡秋千的过程中，达到最高点的高度是( )m，最低点的高度是( )m。 (2)荡秋千的第一个起落过程中，( )秒～( )秒高度在升高，( )秒～( )秒高度在降低。 考点讲练02：正比例的意义及辨识 【精讲题】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）圆柱的底面积一定，则体积与高成正比例。( )（判断对错） 【精练题01】（23-24六年级下·广东深圳·期中）一个房间的铺地面积和用砖数量如下表，根据表格填空。 铺地面积/m2 1 2 3 4 用砖数量/块 15 30 45 60 (1)表中( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (2)第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是( )，比值是( )。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 【精练题02】（23-24六年级下·广东深圳·期中）下列选项中，两个量不成正比例的是（    ）。 A．圆锥的底面积一定，高和体积 B．一根铁丝，用去部分和剩下部分 C．单价一定，总价和数量 D．速度不变，路程和时间 【精练题03】（20-21六年级下·黑龙江大兴安岭地·期中）甲、乙两人骑自行车行驶的路程与时间的关系如图所示。 （1）甲骑自行车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 （2）如果甲、乙两人骑自行车从A、B两地同时出发，相向而行，那么经过5小时，甲骑自行车行了( )km，乙骑自行车行了( )km。 （3）从图上看，( )骑自行车行驶得快。 考点讲练03：正比例图像的认识 【精讲题】（19-20六年级下·辽宁·课后作业）王师傅每小时做30个零件，2小时、3小时……各做多少个？ （1）完成下表。 工作时间/时 1 2 3 4 5 … 工作总量/个 30 （2）工作时间与工作总量成正比例吗？ （3）根据表先在图中描出各点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，240）在这条直线上吗？这一点表示什么？ 【精练题01】（23-24六年级下·陕西榆林·期中）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，我国航天事业稳步上升，航天周边产品深受广大民众的喜爱。文体店李叔叔购进火箭模型 数量/个 0 1 2 3 4 5 … 总价/元 0 50 100 150 … （1）把表格填写完整。 （2）判断购进火箭模型的数量与总价是否成正比例，并说明理由。 （3）把购买火箭模型的数量和总价对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （4）购买12个火箭模型需要（    ）元；2000元最多可以购买（    ）个火箭模型。 【精练题02】（23-24六年级下·广东深圳·期中）下表是李老师在数学周购买奖品时记录的奖品数与总钱数的相关数据。 奖品数/个 50 100 150 200 250 … 总钱数/元 200 400 600 800 1000 … （1）奖品数和总钱数成（    ）比例。 （2）根据表中的数据，在图中描出相对应的点，再连接起来。 【精练题03】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）下面的图象反映的是美美和静静的睡眠情况。 （1）美美的睡眠时间和天数是否成正比例？静静的呢？为什么？ （2）美美和静静7天分别能睡多少时？ 考点讲练04：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·福建南平·期中）认真阅读材料，完成下面各题。 材料一：“水至清，尽美。从一勺，至千里。利人利物，时行时止。”出自唐代诗人刘禹锡的杂言诗《叹水别白二十二》。 材料二：据预测，2030年全国总需水量将达10000亿立方米，全国将缺水4000～4500亿立方米。也就是说，在今后30年中，水资源供水量要增加4000～4500亿立方米，完成这项任务非常艰巨。 材料三：下面是一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间的关系表。 时间（分） 0 5 10 15 20 25 … 水的体积（毫升） 0 15 30 45 … （1）把上表填写完整。 （2）根据表中数据，在下图中描出水的体积和时间对应的点，把它们连接起来。 （3）一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间成什么比例？说说你的理由。 （4）点（60，180）是这条直线上的点吗？这一点表示什么含义？ （5）根据以上材料和数据，你有什么想说的吗？ 【精练题01】（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）某造纸厂每时造纸2吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？ （1）把表格填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 … 造纸质量/吨 2 … （2）根据表中数据，在图中画出造纸时间和造纸质量对应的点，再把它们连起来。 （3）如果用x表示造纸时间，y表示造纸的质量，那么y＝___。 （4）根据图像判断，4小时造纸___吨？ 【精练题02】（22-23六年级下·陕西汉中·期中）某台机器的工作时间和耗电量如表所示。 时间/时 0 1 2 3 4 5 … 耗电量/千瓦时 0 20 40 60 80 100 … （1）这台机器的工作时间和耗电量成什么比例关系？为什么？ （2）在图中描出这台机器的工作时间和耗电量相应的点，再顺次连接。    （3） 如果这台机器的工作时间是4.5时，那么这台机器的耗电量是（    ）千瓦时。 【精练题03】（20-21六年级下·陕西咸阳·期中）一个工程队修路的时间与修路的米数的情况如下表。 修路的时间/天 0 l 2 3 4 5 … 修路的米数/米 0 60 120 300 … （1）将上面的表格填写完整。 （2）判断工程队修路的时间与修路的米数是否成正比例，并说明理由。 （3）根据表中数据，在下图中描出修路的时间和修路的米数所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （4）如果该工程队修路的时间为8天，那么修路的米数为 米。 考点讲练05：反比例的意义及辨识 【精讲题】（2024·山西吕梁·小升初真题）一间正方形教室，用面积为0.64m2的方砖铺地，正好需要100块；如果改用面积为0.25m2的方砖铺地，需要( )块。 【精练题01】（2024·山西吕梁·小升初真题）在括号里填上“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”。 (1)收入一定，支出与结余( )。 (2)全班人数一定，出勤人数和出勤率( ) (3)长方体的体积一定，底面积和高( )。 【精练题02】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）下面各种量中，成反比例关系的是（    ）。 A．一本书的页数一定，已读的页数和剩下的页数 B．跳高运动员跳的高度和他的身高 C．长方形的面积一定，它的长和宽 D．每千克大米的价格一定，大米的总价和数量 【精练题03】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 考点讲练06：反比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·甘肃白银·期中）青东小学一年级同学参加阳光体育大课间活动比赛，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站多少行？（用比例知识解） 【精练题01】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【精练题02】（23-24六年级下·广东深圳·期中）打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表。 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【精练题03】（19-20六年级下·江苏·单元测试）甲、乙是两个成反比例的量，当甲减少20%时，乙（    ）。 A．增加20% B．减少20% C．增加25% D．减少25% 1．（2024·广东清远·小升初真题）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和妈妈的年龄。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高。 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数。 D．读一本书，已经读了的页数与未读的页数。 2．（2024·陕西咸阳·小升初真题）下面说法不正确的是（    ）。 A．如果，那么x和y成反比例。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。 C．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥体积多。 3．（20-21六年级下·四川成都·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 4．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 (1)每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：( )。与成( )比例关系。 (2)如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装( )箱。 5．（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 6．（21-22六年级下·陕西榆林·期末）下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动( )周。 7．（2024·陕西咸阳·小升初真题）车轮直径一定，所行驶的路程和车轮转数成正比例。( )（判断对错） 8．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）长方形的长一定，长方形的面积和宽成正比例。( )（判断对错） 9．（2024·陕西商洛·小升初真题）果果的身高是1.6m。某天下午，果果站在学校操场旁，他的影长是2.4m。此时，他身旁的一棵小树影长是6m，这棵小树的高度是多少米？（用比例解） 10．（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）如图是两个互相啮（niè）合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ （2）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ （3）大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 11．（20-21五年级下·辽宁·单元测试）上午8点整。甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是8点几分？ 12．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）李明的爸爸在使用一种面粉机的过程中收集到下面一些数据。 小麦质量/千克 … 100 200 300 400 500 … 面粉质量/千克 … 70 140 210 280 350 … （1）把上表中的小麦质量和面粉质量所对应的点描在方格纸上，再顺次连结起来。 （2）观察上图，你发现了什么？ （3）王大爷家有800千克小麦，如果全部加工，能磨出多少千克面粉？ 13．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 14．（20-21六年级下·辽宁·期中）汽车行驶的时间和路程如下表，在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们依次连起来。 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160 240 320 400 480 15．（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）乘船的人数与所付船费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，40）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（北师大版） 专题04 正比例和反比例 （导图+知识精讲+易错点拨+6大考点讲练+优选压轴题专练 共39题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大纲 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：正比例 2 知识点梳理02：反比例 3 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：正比例的易错知识点 3 易错知识点02：反比例的易错知识点 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01：变化的量 5 考点讲练02：正比例的意义及辨识 8 考点讲练03：正比例图像的认识 10 考点讲练04：正比例的应用 16 考点讲练05：反比例的意义及辨识 22 考点讲练06：反比例的应用 24 压轴专练 冲刺拔尖 26 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 考点讲练01：变化的量 【精讲题】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系。 【答案】t＝n÷7＋3 【思路点拨】根据题目所给信息，需找出用字母n和t表示蟋蟀叫的次数与气温之间近似关系的式子，由题意可得：当时的气温＝蟋蟀1分叫的次数÷7＋3。 据此解答。 【规范解答】当时的气温＝蟋蟀1分叫的次数÷7＋3； 已知“n表示蟋蟀每分叫的次数，t表示当时的气温”，所以把前面等式中的“蟋蟀1分叫的次数”用n替换，“当时的气温”用t替换这样就得到了t＝n÷7＋3。 答：这个近似关系用式子表示为：t＝n÷7＋3。 【精练题01】（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 【答案】(1)1 (2)4 (3) 没有变化 有变化 【思路点拨】（1）竖轴表示速度，横轴表示时间，找到竖轴400米/分对应的时间即可； （2）观察横轴即可得出从解放路站到商场站共行驶的时间； （3）折线平缓无变化，表示速度不变；速度×时间＝路程，车辆行驶中，随着时间的变化，路程也在发生变化，据此分析。 【规范解答】（1）公共汽车速度从0提高到400米/分，用了1分。 （2）公共汽车从解放路站到商场站共行驶了4分。 （3）公共汽车从1分到3分，行驶的速度没有变化，行驶的路程有变化。 【精练题02】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）太原地铁是山西的一张“名片”，山西省首条地铁线路——太原地铁2号线南起西桥站，北至尖草坪站，全长23.65千米，总投资20864000000元。 (1)23.65是由( )个一，( )个十分之一和5个( )组成。 (2)横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )。 (3)把它画在比例尺是1∶500000的图上，长( )cm。 (4)地铁运行中有两个相关联的量，它们的关系如下图。这两个量可能是（    ）。 A．地铁从起点到终点运行的平均速度与运行时间 B．笑笑一行四人从起点到终点，购票的总价和张数 C．地铁中每个人的身高和他的年龄 D．地铁运行中，已走的路程和剩下的路程 【答案】(1) 23 6 0.01/百分之一 (2) 二百零八亿六千四百万 2086400万 209亿 (3)4.73 (4)B 【思路点拨】（1）每个数位上的数都有相对应的计数单位，个位的计数单位是个（一），十位的计数单位是十，十分位的计数单位是十分之一，百分位的计数单位是百分之一，每相邻两个计数单位之间的进率是10。据此解答。 （2）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。先读亿级，再读万级，最后读个级。每级内都先按照个级的读法来读，再在后面加一个“亿”（“万”）字。每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。把整万的数改写成用“万”做单位的数，要先分级，再将个级的四个0省略，换成“万”字。省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，也就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。据此解答。 （3）比例尺是图上距离和实际距离的比，图上距离等于实际距离（先换算成厘米）乘比例尺，据此计算。 （4）从图上看两个相关联的量随着一个量的增大，另一个量也增大。据此逐个选项分析。 【规范解答】（1）十位上是2，表示2个十（20个一）；个位上是3，表示3个一；十分位是6，表示6个十分之一（0.1）；百分位是5，表示5个百分之一（0.01）。故23.65是由23个一，6个十分之一和5个百分之一组成。 （2）横线上的数读作二百零八亿六千四百万，把它改写成用“万”作单位的数是2086400万，省略“亿”位后面的尾数约是209亿。 （3） （厘米） 故把它画在比例尺是1∶500000的图上，长4.73厘米。 （4）A．起点到终点距离一定，平均速度越大，运行时间越短，与图像不符； B．笑笑一行四人，票价是固定的，所以购买车票的张数增大，购票总价也增大，与图像符合； C．地铁中每个人的身高和他的年龄没有必然联系（不是相关联的量），与图像不符； D．地铁运行中，随着已走的路程的增大，剩下的路程是变小的，与图像不符。 故答案为：B 【精练题03】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）星期日，淘气到公园荡秋千。秋千的高度变化情况可以用下图表示。 (1)淘气荡秋千的过程中，达到最高点的高度是( )m，最低点的高度是( )m。 (2)荡秋千的第一个起落过程中，( )秒～( )秒高度在升高，( )秒～( )秒高度在降低。 【答案】(1) 3 0.5 (2) 0 6 6 12 【思路点拨】图中有两个起落过程中。最高点再曲线的最上面是3m，最低点是0.5m。荡秋千的第一个起落过程中时间是从0秒开始的，升到最高点对应的时间第6秒，下降开始的时间是第6秒，结束的时间是在第12秒。 【规范解答】（1）淘气荡秋千的过程中，达到最高点的高度是3 m，最低点的高度是0.5 m。 （2）荡秋千的第一个起落过程中，0秒～6高度在升高，6秒～12秒高度在降低。 考点讲练02：正比例的意义及辨识 【精讲题】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）圆柱的底面积一定，则体积与高成正比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析。 【规范解答】圆柱的体积÷高＝底面积，圆柱的底面积一定，则体积与高成正比例，原题说法正确。 故答案为：√ 【精练题01】（23-24六年级下·广东深圳·期中）一个房间的铺地面积和用砖数量如下表，根据表格填空。 铺地面积/m2 1 2 3 4 用砖数量/块 15 30 45 60 (1)表中( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (2)第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是( )，比值是( )。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 【答案】(1) 铺地面积 用砖数量 用砖数量 铺地面积 (2) 15∶1 15 (3) 用砖数量 用砖数量和铺地面积的比值 正 【思路点拨】（1）根据表格中的数量关系直接填空即可； （2）找出第四组中用砖数量与铺地面积的值，写出比化简并求比值即可； （3）比值是用砖数量与铺地面积的比值，表示用砖数量÷铺地面积，表示1平方米需要多少多少块砖；根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系；据此解答。 【规范解答】（1）表中铺地面积和用砖数量是相关联的量，用砖数量随着铺地面积的变化而变化。 （2）第四组中用砖数量∶铺地面积＝60∶4＝15∶1 60∶4＝60÷4＝15 第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是15∶1，比值是15。 （3）所求比值＝用砖数量÷铺地面积即所求比值所表示的意义是每平方米的用砖数量；用砖数量和铺地面积的比值是一定的，所以用砖数量和铺地面积成正比例。 【精练题02】（23-24六年级下·广东深圳·期中）下列选项中，两个量不成正比例的是（    ）。 A．圆锥的底面积一定，高和体积 B．一根铁丝，用去部分和剩下部分 C．单价一定，总价和数量 D．速度不变，路程和时间 【答案】B 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【规范解答】A．根据V锥＝Sh可知，3V÷h＝S（一定），商一定，则圆锥的高和体积成正比例； B．用去部分的长度＋剩下部分的长度＝铁丝的全长（一定），和一定，则用去部分和剩下部分不成比例； C．总价÷数量＝单价（一定），商一定，则总价和数量成正比例； D．路程÷时间＝速度（一定），商一定，则路程和时间成正比例。 故答案为：B 【精练题03】（20-21六年级下·黑龙江大兴安岭地·期中）甲、乙两人骑自行车行驶的路程与时间的关系如图所示。 （1）甲骑自行车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 （2）如果甲、乙两人骑自行车从A、B两地同时出发，相向而行，那么经过5小时，甲骑自行车行了( )km，乙骑自行车行了( )km。 （3）从图上看，( )骑自行车行驶得快。 【答案】 正 120 80 甲 【思路点拨】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；由图上可以看出，甲骑行的路程÷时间＝速度（一定），因此，甲骑自行车行驶的路程和时间正比例。 （2）由图上可以看出，乙骑自行车的速度＝路程÷时间，通过第（1）求得甲的骑行速度，甲乙骑自行车的路程＝速速×时间 （3）从图上看，甲和乙谁行驶得快，只要比较谁的图象斜率（倾斜程度）大，谁就行驶的快。 【规范解答】（1）甲骑自行车的速度： 72÷3＝24（千米）（一定），所以甲骑自行车行驶的路程和时间正比例； （2）乙骑自行车的速度： 48÷3＝16（千米） 经过5小时，甲骑自行车行了：24×5＝120（千米）；甲骑自行车行了：16×5＝80（千米） （3）从图上可以看出：甲的斜率（倾斜程度）大，所以甲骑自行车行驶得快。 【考点评析】此题主要考查正比例的意义，以及路程、速度、和时间的关系。 考点讲练03：正比例图像的认识 【精讲题】（19-20六年级下·辽宁·课后作业）王师傅每小时做30个零件，2小时、3小时……各做多少个？ （1）完成下表。 工作时间/时 1 2 3 4 5 … 工作总量/个 30 （2）工作时间与工作总量成正比例吗？ （3）根据表先在图中描出各点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，240）在这条直线上吗？这一点表示什么？ 【答案】（1）60；90；120；150 （2）正比例 （3）见详解 （4）在；见详解 【思路点拨】（1）已知王师傅每小时做30个零件，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”，求出2小时、3小时……做的零件个数，据此填入表中。 （2）根据“＝工作效率”，发现工作效率一定，即比值一定，根据正比例的意义可知，工作时间与工作总量成正比例。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （3）结合统计表中的数据，先在图中描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，得出发现。 （4）根据用数对表示位置的方法可知，点（8，240）的第一个数字表示工作时间，第二个数字表示工作总量； 根据“＝工作效率”，如果工作效率与加工1小时、2小时、3小时……的工作效率相等，那么这个点就在这条直线上，再解释这个点的含义。 【规范解答】（1）30×2＝60（个） 30×3＝90（个） 30×4＝120（个） 30×5＝150（个） 如下表： 工作时间/时 1 2 3 4 5 … 工作总量/个 30 60 90 120 150 （2）＝＝＝＝＝…＝30（一定） 答：比值一定，工作时间与工作总量成正比例。 （3）如图： 我发现这些点在一条直线上。 （4）＝30 答：点（8，240）在这条直线上，这一点表示王师傅8小时加工了240个零件。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西榆林·期中）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，我国航天事业稳步上升，航天周边产品深受广大民众的喜爱。文体店李叔叔购进火箭模型 数量/个 0 1 2 3 4 5 … 总价/元 0 50 100 150 … （1）把表格填写完整。 （2）判断购进火箭模型的数量与总价是否成正比例，并说明理由。 （3）把购买火箭模型的数量和总价对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （4）购买12个火箭模型需要（    ）元；2000元最多可以购买（    ）个火箭模型。 【答案】（1）见详解 （2）购进火箭模型的数量与总价成正比例；原因见详解 （3）见详解 （4）600；40 【思路点拨】（1）根据单价＝总价÷数量；求出单位：50÷1＝50元，再根据单价×数量，即可解答。 （2）判断两个相关联的量之间成正比例，就看这两个量是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例；据此解答。 （3）根据表中数量和总价所对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可。 （4）根据总价＝单价×数量，求出买12个火箭模型需要的钱数；根据数量＝总价÷单价，求出2000元最多可以购买火箭的数量。 【规范解答】（1）50÷1＝50（元） 50×4＝200（元） 50×5＝250（元） 数量/个 0 1 4 3 4 5 … 总价/元 0 50 100 150 200 250 … （2）购进火箭模型的数量与总价成正比例。 50÷1＝50 100÷2＝50 150÷3＝50 50∶1＝100∶2＝150∶3＝200∶4＝250∶5＝50（一定）， 因为总价∶数量＝单价（一定），数量和总价成正比例。 （3） （4）50×12＝600（元） 2000÷50＝40（个） 购买12个火箭模型需要600元；2000元最多可以购买40个火箭模型。 【精练题02】（23-24六年级下·广东深圳·期中）下表是李老师在数学周购买奖品时记录的奖品数与总钱数的相关数据。 奖品数/个 50 100 150 200 250 … 总钱数/元 200 400 600 800 1000 … （1）奖品数和总钱数成（    ）比例。 （2）根据表中的数据，在图中描出相对应的点，再连接起来。 【答案】（1）正 （2）见详解 【思路点拨】（1）两种相关量中相对应的两个数，如果商一定，就成正比例，如果积一定，就成反比例，据此解答即可； （2）据所给数据进行描点连线即可。 【规范解答】（1）总价÷数量＝单价，观察表中数据可知单价一定，也即总钱数和奖品数的商一定，所以总钱数和奖品数成正比例。 （2）如图所示： 【考点评析】本题考查正比例，解答本题的关键是掌握正比例的概念。 【精练题03】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）下面的图象反映的是美美和静静的睡眠情况。 （1）美美的睡眠时间和天数是否成正比例？静静的呢？为什么？ （2）美美和静静7天分别能睡多少时？ 【答案】（1）见详解； （2）70小时，56小时。 【思路点拨】（1）两个相关联的量，一个量随着另外一个量的变化而变化，且两个量的商是一个定值，则说明这两个量成正比例关系。美美的睡眠时间是随着天数的变化而变化的。将图形中美美的睡眠时间和天数相除。20÷2＝10、40÷4＝10、60÷6＝10、80÷8＝10，发现睡眠时间和天数的商是一定的。则美美的睡眠时间和天数成正比例。同理，静静的睡眠时间和天数相除。16÷2＝8、32÷4＝8、48÷6＝8、64÷8＝8、80÷10＝8。则静静的睡眠时间和天数成正比例。 （2）通过（1）问中可以得出美美睡眠时间和天数的比值是10，则7天的睡眠时间＝10×天数。静静睡眠时间和天数的比值是8，则7天的睡眠时间＝8×天数。 【规范解答】（1）美美的睡眠时间和天数成正比例，因为睡眠时间÷天数＝10（一定）； 静静的睡眠时间和天数成正比例，因为睡眠时间÷天数＝8（一定）。 （2）美美：20÷2＝10（小时）    10×7＝70（小时） 静静：16÷2＝8（小时）    8×7＝56（小时） 答：美美睡70小时，静静睡56小时。 考点讲练04：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·福建南平·期中）认真阅读材料，完成下面各题。 材料一：“水至清，尽美。从一勺，至千里。利人利物，时行时止。”出自唐代诗人刘禹锡的杂言诗《叹水别白二十二》。 材料二：据预测，2030年全国总需水量将达10000亿立方米，全国将缺水4000～4500亿立方米。也就是说，在今后30年中，水资源供水量要增加4000～4500亿立方米，完成这项任务非常艰巨。 材料三：下面是一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间的关系表。 时间（分） 0 5 10 15 20 25 … 水的体积（毫升） 0 15 30 45 … （1）把上表填写完整。 （2）根据表中数据，在下图中描出水的体积和时间对应的点，把它们连接起来。 （3）一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间成什么比例？说说你的理由。 （4）点（60，180）是这条直线上的点吗？这一点表示什么含义？ （5）根据以上材料和数据，你有什么想说的吗？ 【答案】（1）60；75 （2）见详解 （3）正比例；见详解 （4）是；见详解 （5）见详解 【思路点拨】（1）根据统计表中已知的数据，用流出水的体积除以时间，求出水龙头每分钟流出水的体积；再用每分钟流出水的体积分别乘20、25，即可求出20分钟、25分钟水龙头流出水的体积，并将统计表补充完整。 （2）根据表中数据，先在图中描出各点，再把它们连接起来。 （3）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （4）根据用数对表示位置的方法可知，点（60，180）中的60表示时间，180表示水龙头流出水的体积，用流出水的体积除以时间，求出每分钟流出水的体积，如果与前面数据所求出的每分钟流出水的体积相等，那么点（60，180）是这条直线上的点，并解释其含义。 （5）根据以上材料和数据，从“节约用水”的角度出发，写出想说的话，合理即可。 【规范解答】（1）水龙头每分钟流出水的体积：15÷5＝3（毫升） 3×20＝60（毫升） 3×25＝75（毫升） 如下表： 时间（分） 0 5 10 15 20 25 … 水的体积（毫升） 0 15 30 45 60 75 … （2）如图： （3）＝＝＝＝＝…＝3（一定） 答：一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间成正比例，因为流出水的体积和时间的比值一定。 （4）水龙头每分钟流出水的体积：180÷60＝3（毫升） 答：点（60，180）是这条直线上的点，这一点表示60分钟流出180毫升的水。 （5）根据以上材料和数据，我想说，节约用水，从我做起；关好水龙头，珍惜每一滴水。（答案不唯一） 【精练题01】（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）某造纸厂每时造纸2吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？ （1）把表格填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 … 造纸质量/吨 2 … （2）根据表中数据，在图中画出造纸时间和造纸质量对应的点，再把它们连起来。 （3）如果用x表示造纸时间，y表示造纸的质量，那么y＝___。 （4）根据图像判断，4小时造纸___吨？ 【答案】（1）4，6； （2）见详解； （3）2x； （4）8 【思路点拨】（1）根据每小时造纸（2÷1）吨，然后根据工作效率×工作时间＝工作总量分别求出2小时、3小时、4小时造纸的吨数填表即可； （2）根据统计表中的数据，从横坐标向上找到对应的量，点上点，然后连起来.； （3）工作效率×工作时间＝工作总量，如果用x表示造纸时间，y表示造纸的质量，那么y＝工作效率×工作时间，工作效率是固定的（2÷1），已知时间为x，由此各得y＝2x。 （4）根据图象利用正比例的性质求解。 【规范解答】每小时造纸：2÷1＝2（吨） 2×2＝4（吨） 3×2＝6（吨） （1）把表格填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 … 造纸质量/吨 2 4 6 … （2）如图：    （3）如果用x表示造纸时间，y表示造纸的质量，那么y＝2x。 （4）2×4＝8（吨） 根据图像判断，4小时造纸8吨。 【考点评析】本题先画出统计图，然后根据这两种量中相对应的两个数的比值一定，来判断它们的比例关系。 【精练题02】（22-23六年级下·陕西汉中·期中）某台机器的工作时间和耗电量如表所示。 时间/时 0 1 2 3 4 5 … 耗电量/千瓦时 0 20 40 60 80 100 … （1）这台机器的工作时间和耗电量成什么比例关系？为什么？ （2）在图中描出这台机器的工作时间和耗电量相应的点，再顺次连接。    （3）如果这台机器的工作时间是4.5时，那么这台机器的耗电量是（    ）千瓦时。 【答案】（1）正比例关系；因为耗电量和工作时间的比值一定；（2）见详解；（3）90 【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据题意可知，耗电量÷工作时间＝每小时的耗电量（一定），这台机器的工作时间和耗电量成正比例关系。 （2）根据表格描出各点，再依次连接即可。 （3）根据每小时的耗电量×工作时间＝耗电量，用4.5×20即可求出这台机器的耗电量。 【规范解答】（1）20÷1＝20（千瓦时） 40÷2＝20（千瓦时） 60÷3＝20（千瓦时） 80÷4＝20（千瓦时） 100÷5＝20（千瓦时） 这台机器的工作时间和耗电量成正比例关系；因为耗电量和工作时间的比值一定。 （2）如图：    （3）4.5×20＝90（千瓦时） 如果这台机器的工作时间是4.5时，那么这台机器的耗电量是90千瓦时。 【考点评析】本题考查了正比例的意义和应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 【精练题03】（20-21六年级下·陕西咸阳·期中）一个工程队修路的时间与修路的米数的情况如下表。 修路的时间/天 0 l 2 3 4 5 … 修路的米数/米 0 60 120 300 … （1）将上面的表格填写完整。 （2）判断工程队修路的时间与修路的米数是否成正比例，并说明理由。 （3）根据表中数据，在下图中描出修路的时间和修路的米数所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （4）如果该工程队修路的时间为8天，那么修路的米数为 米。 【答案】（1）180，240； （2）成正比例，见详解； （3）见详解； （4）480 【思路点拨】（1）根据已给的数据计算出每天修的米数，然后根据题意进行计算出3、4天共修的米数即可； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （3）根据表格中的数据描点连线即可； （4）可以根据1天修60米，进行乘法计算得到，或者将图中直线继续延长到8天。 【规范解答】（1） 修路的时间/天 0 l 2 3 4 5 … 修路的米数/m 0 60 120 180 240 300 … （2）这个工程队修路的时间与修路的米数成正比例。 因为60∶1＝120∶2＝180∶3＝240∶4＝300∶5＝60（一定），比值一定，所以工程队修路的时间与修路的米数成正比例。 （3）如图所示： （4）60×8＝480（米） 如果该工程队修路的时间为8天，那么修路的米数为480米。 【考点评析】本题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法、画正比例图像的方法以及正比例的应用。 考点讲练05：反比例的意义及辨识 【精讲题】（2024·山西吕梁·小升初真题）一间正方形教室，用面积为0.64m2的方砖铺地，正好需要100块；如果改用面积为0.25m2的方砖铺地，需要( )块。 【答案】256 【思路点拨】根据题意可知，每块方砖的面积×方砖的块数＝这间正方形教室的面积（一定），积一定，则每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】解：设如果改用面积为0.25m2的方砖铺地，需要块。 0.25＝0.64×100 0.25＝64 ＝64÷0.25 ＝256 如果改用面积为0.25m2的方砖铺地，需要256块。 【精练题01】（2024·山西吕梁·小升初真题）在括号里填上“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”。 (1)收入一定，支出与结余( )。 (2)全班人数一定，出勤人数和出勤率( ) (3)长方体的体积一定，底面积和高( )。 【答案】(1)不成比例 (2)成正比例 (3)成反比例 【思路点拨】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【规范解答】（1）支出＋结余＝收入（一定） 和一定，则支出与结余不成比例。 （2）出勤人数÷出勤率＝全班人数（一定） 商一定，则出勤人数和出勤率成正比例。 （3）底面积×高＝长方体的体积（一定） 乘积一定，则底面积和高成反比例。 【精练题02】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）下面各种量中，成反比例关系的是（    ）。 A．一本书的页数一定，已读的页数和剩下的页数 B．跳高运动员跳的高度和他的身高 C．长方形的面积一定，它的长和宽 D．每千克大米的价格一定，大米的总价和数量 【答案】C 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系；不满足正、反比例的意义的不成比例；据此解答。 【规范解答】A．已读的页数＋剩下的页数＝一本书的页数，和一定，所以一本书的页数一定，已读的页数和剩下的页数不成比例； B．跳高运动员跳的高度和他的身高的比值或乘积均不一定，所以跳高运动员跳的高度和他的身高不成比例； C．长×宽＝长方形的面积，长方形的面积一定也就是长和宽的乘积一定，所以长方形的面积一定，它的长和宽成反比例关系； D．大米的总价÷数量＝每千克大米的价格，每千克大米的价格一定也就是大米的总价与数量的比值一定，所以每千克大米的价格一定，大米的总价和数量成正比例关系。 故答案为：C 【精练题03】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 【答案】（1）40；30； （2）成反比例，原因见详解 （3）20辆 【思路点拨】（1）一共有360吨救灾物资，根据数量关系：车辆的载重量×所需车辆的数量＝360，得出所需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 （2）从（1）中可知车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），乘积一定，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）从（2）可知，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。则需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 【规范解答】（1）360÷9＝40（吨） 360÷12＝30（吨） （2）因为所需车辆的数量是随着车辆的载重量的增加而减少的，车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），所以车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）360÷18＝20（辆） 答：一共需要20辆卡车。 考点讲练06：反比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·甘肃白银·期中）青东小学一年级同学参加阳光体育大课间活动比赛，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站多少行？（用比例知识解） 【答案】15行 【思路点拨】总人数固定时，每行人数与行数成反比例。设每行站24人时可站行，根据反比例的定义可知等量关系式：每行24人×行数＝每行20人×18，据此列方程并求解。 【规范解答】解：设每行站24人时可站行。 答：可以站15行。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】85圈 【思路点拨】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】解：设小齿轮每分钟转圈。 24＝34×60 24＝2040 ＝2040÷24 ＝85 答：小齿轮每分钟转85圈。 【精练题02】（23-24六年级下·广东深圳·期中）打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表。 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】（1）反比例；原因见详解 （2）20分 【思路点拨】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）由（1）可知，每分打字个数和所需时间成反比例关系。设如果每分打150个字，打完这篇稿子需要x分，则150x＝60×50，解出方程即可。 【规范解答】（1）答：每分打字个数和所需时间成反比例关系。因为120×25＝100×30＝75×40＝60×50＝3000（一定），乘积一定，则每分打字个数和所需时间成反比例关系。 （2）解：设打完这篇稿子需要x分。 150x＝60×50 150x＝3000 x＝3000÷150 x＝20 答：打完这篇稿子需要20分。 【精练题03】（19-20六年级下·江苏·单元测试）甲、乙是两个成反比例的量，当甲减少20%时，乙（    ）。 A．增加20% B．减少20% C．增加25% D．减少25% 【答案】C 【思路点拨】甲和乙是两个成反比例的量，那么它们的乘积一定，即符合xy＝k（一定），当甲减少20%时，可知乙一定是增加了，又（1－20%）x＝x，由于k一定，所以这里的y得变为y，进而确定乙是增加了25%； 【规范解答】1－20%＝，1÷＝ （5－4）÷4＝25% 故答案为：C 【考点评析】此题考查正反比例意义的运用，解题时要明确成正比例的两个量是比值一定，成反比例的两个量是乘积一定。 1．（2024·广东清远·小升初真题）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．小明的年龄和妈妈的年龄。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高。 C．班级的出勤率一定，出勤人数和总人数。 D．读一本书，已经读了的页数与未读的页数。 【答案】B 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。逐项分析。 【规范解答】A.妈妈的年龄与小明的年龄差一定，所以小明的年龄和妈妈的年龄不成比例，不符合题意； B．平行四边形的底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以平行四边形的底和高成反比例，符合题意； C．出勤人数÷总人数＝出勤率（一定），商一定，所以出勤人数和总人数成正比例，不符合题意； D．已经读了的页数＋未读的页数＝这本书的总页数（一定），和一定，所以已经读了的页数与未读的页数不成比例，不符合题意。 故答案为：B 2．（2024·陕西咸阳·小升初真题）下面说法不正确的是（    ）。 A．如果，那么x和y成反比例。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。 C．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥体积多。 【答案】C 【思路点拨】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例。 根据倒数的意义与比例的基本性质作答，即乘积是1的两个数互为倒数；在比例里两个外项的积等于两个内项的积。 因为圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作单位“1”，圆柱的体积则是3，根据求一个数比另一个数多（或少）几分之几的计算方法，用“（大数－小数）÷单位1的量”，则为（3－1）÷1＝2倍；得出结论。 【规范解答】A．如果，那么xy＝8，乘积一定，所以x和y成反比例。正确。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。正确。 C．（3－1）÷1＝2因此圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多2倍。所以本选项说法错误。 故答案为：C 3．（20-21六年级下·四川成都·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 【答案】C 【思路点拨】根据正、反比例的概念进行逐题判断，符合正、反比例概念的即成正比例或反比例。据此解答。 【规范解答】A.当两个数的商一定时，那么这两个数就成正比例。差一定时，被减数和减数是减法关系。不符合正比例的概念。故说法不正确。 B．因为总价＝单价×数量，当总价一定时，单位和数量成反比例，故说法不正确。 C．因为圆柱体积＝底面积×高，当圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例。故本题说法正确。 D． 因为铺地面积＝边长×边长×需要的块数，所以每块方砖的面积与需要的块数成反比例，而不是边长与所需的方块数量成反比例。 本题的说法是错误的。 故答案为：C 【考点评析】掌握正、反比例的概念是解答本题的关键。 4．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 (1)每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：( )。与成( )比例关系。 (2)如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装( )箱。 【答案】(1) ＝300 反 (2)20 【思路点拨】（1）结合表格中的数据发现：每箱核桃的质量×装的箱数＝核桃的总质量（一定），乘积一定，则每箱核桃的质量与装的箱数成反比例关系，用含字母的式子表示数量关系。 （2）已知每箱核桃的质量是15千克，用核桃的总质量除以每箱核桃的质量，即是这批核桃的箱数。 【规范解答】（1）4×75＝300（千克） 5×60＝300（千克） 6×50＝300（千克） 10×30＝300（千克） ＝300（一定），乘积一定，则与成反比例关系。 填空如下： 每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：（＝300）。与成（反）比例关系。 （2）300÷15＝20（箱） 如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装（20）箱。 5．（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 【答案】(1)1 (2)4 (3) 没有变化 有变化 【思路点拨】（1）竖轴表示速度，横轴表示时间，找到竖轴400米/分对应的时间即可； （2）观察横轴即可得出从解放路站到商场站共行驶的时间； （3）折线平缓无变化，表示速度不变；速度×时间＝路程，车辆行驶中，随着时间的变化，路程也在发生变化，据此分析。 【规范解答】（1）公共汽车速度从0提高到400米/分，用了1分。 （2）公共汽车从解放路站到商场站共行驶了4分。 （3）公共汽车从1分到3分，行驶的速度没有变化，行驶的路程有变化。 6．（21-22六年级下·陕西榆林·期末）下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动( )周。 【答案】1000 【思路点拨】因为两个是相互交合的齿轮，即转动齿数相等，所以转动的周数和每周齿数成反比，由此列出比例解决问题。 【规范解答】3dm＝30cm 解：设小齿轮要转动x周。 100×3.14×2×30＝3.14×2×3×x 100×2×30＝2×3×x 100×30＝3×x 3000＝3x x＝1000 【考点评析】答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，另外还要注意单位的统一。 7．（2024·陕西咸阳·小升初真题）车轮直径一定，所行驶的路程和车轮转数成正比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】因为直径一定，π是定值，所以π×直径＝周长，周长一定，即路程÷转数＝周长（一定），所以，所行路程和车轮转数成正比例。 故答案为：√ 8．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）长方形的长一定，长方形的面积和宽成正比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路点拨】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【规范解答】由长方形的面积＝长×宽可知，长方形的面积÷宽＝长方形的长（一定），商一定，则长方形的面积和宽成正比例。 原题说法正确。 故答案为：√ 9．（2024·陕西商洛·小升初真题）果果的身高是1.6m。某天下午，果果站在学校操场旁，他的影长是2.4m。此时，他身旁的一棵小树影长是6m，这棵小树的高度是多少米？（用比例解） 【答案】4米 【思路点拨】根据在同一时间、同一地点，物体的高度和它的影长的比值是一定的，即物体的高度和影长成正比例关系。我们可以设小树的高度为x米，然后列出比例式进行求解。 【规范解答】解：设这棵小树的高度是x米。 1.6∶2.4＝x∶6 2.4x＝9.6 2.4x÷2.4＝9.6÷2.4 x＝4 答：这棵小树的高度是4米。 10．（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）如图是两个互相啮（niè）合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ （2）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ （3）大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 【答案】（1）小齿轮；小齿轮 （2）反比例关系 （3）150圈 【思路点拨】（1）根据“它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的”，可知小齿轮转得更快，转的圈数也多。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 （3）根据上一题可知，每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】（1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，小齿轮转得更快，小齿轮转的圈数多。 （2）每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，所以每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （3）解：设小齿轮每分转圈。 24＝90×40 24＝3600 ＝3600÷24 ＝150 答：小齿轮每分转150圈。 11．（20-21五年级下·辽宁·单元测试）上午8点整。甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是8点几分？ 【答案】8点5分 【思路点拨】路程一定，速度和时间成反比例关系；相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程，那么甲走20分钟的路程乙用了10分钟，可知乙的速度是甲提速前的2倍，而甲后来走了10分钟，则是提速前的3倍，也就相当于走了原来速度的30分钟的路程；而乙是甲原来速度的2倍，甲后来走的10分钟，相当于乙走30÷2＝15分钟从8：20向前推算15分钟就是8点05分出发。 【规范解答】8时20分－8时＝20分钟 8时30分－8时20分＝10分钟 甲原来走20分钟的路程乙用了10分钟，那么乙的速度相当于原来甲的2倍； 甲提速后走10分钟的路程相当于原来10×3＝30分钟的路程； 乙的速度相当于原来甲的2倍；那么相遇时乙需要的时间就是 30÷2＝15（分钟） 8时20分－15分钟＝8时05分 答：乙从B地出发时是8点5分。 【考点评析】解决本题抓住“相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程”这一关系，根据速度的变化，得出时间的变化，从而得解。 12．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）李明的爸爸在使用一种面粉机的过程中收集到下面一些数据。 小麦质量/千克 … 100 200 300 400 500 … 面粉质量/千克 … 70 140 210 280 350 … （1）把上表中的小麦质量和面粉质量所对应的点描在方格纸上，再顺次连结起来。 （2）观察上图，你发现了什么？ （3）王大爷家有800千克小麦，如果全部加工，能磨出多少千克面粉？ 【答案】（1） （2）小麦质量和面粉质量成正比例。 （3）560千克 【思路点拨】根据题意描点画图，然后根据图形判断小麦质量和面粉质量之间的比例关系，然后根据比例的定义得到两者成正比例，然后根据正比例的性质计算出800千克小麦，能磨出的面粉质量。 【规范解答】（1）利用表格中的数据，描点作图。 （2）图形成直线，所以面粉质量和小麦质量成正比例。 （3）由题意可得小麦质量和面粉质量的比值一定，等于 。 800÷=800× =560千克 【考点评析】本题主要考查正比例的数形结合，利用图形判断两个量之间的比例关系。当图形成一条直线时，两者成正比例。两个量成正比例，则比值一定，再把结论带入表格中进行验证。 13．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）20升 【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例关系，如果是乘积一定，就成反比例关系； （2）根据统计表，在统计图中找到对应点，然后按顺序连起来即可； （3）可先用到达B城时的里程数减去出发时的里程数求出汽车行驶的路程，再根据比例关系求解即可。 【规范解答】（1）16∶2＝8 24∶3＝8 32∶4＝8 48∶6＝8 80∶10＝8 行驶的路程∶耗油量＝8（一定），所以表中的耗油量与行驶的路程成正比例关系。 （2）作图如下： （3）530－370＝160（千米） 解：设这辆汽车从A城到B城耗油x升。 16x＝320 x＝320÷16 x＝20 答：这辆汽车从A城到B城耗油20升。 14．（20-21六年级下·辽宁·期中）汽车行驶的时间和路程如下表，在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们依次连起来。 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160 240 320 400 480 【答案】见详解 【思路点拨】根据表格中时间和路程的对应关系，找出相应的点，然后把它们按顺序连起来即可。 【规范解答】画图如下： 【考点评析】此题考查了正比例的意义，即相关联的两种量，如果它们的比值一定，那么这两种量成正比例关系。 15．（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）乘船的人数与所付船费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，40）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【答案】（1）见详解 （2）成正比例 （3）描点见详解：发现这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系 （4）在；当人数是8人时，船费是40元 【思路点拨】（1）根据表格中的数据，船费与乘船人数之间的关系是每增加1人，船费增加5元。据此补充表格； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此判断； （3）根据表格中的数据描点、连线，结合连接后的图像写出发现； （4）根据（3）的直线进行判断，看点（8，40）是否在直线上，如果在直线上，这点表示当人数是8人时，船费是40元。 【规范解答】（1） 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 20 25 30 35 … （2）5∶1＝10∶2＝15∶3＝20∶4＝25∶5…＝5（一定），即船费∶人数=单价（一定），比值一定，所以所付船费与乘船人数成正比例； （3）如图： 发现：这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系； （4）点（8，40）在这条直线上，表示当人数是8人时，船费是40元。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$