第四单元 正比例和反比例-2024-2025学年北师大版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第四单元 正比例和反比例 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 2．（2分）（2024春•通道县期中）下列和成正比例关系的是　　 A． B． C． 3．（2分）（2024•锦江区模拟）一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次，又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，现在杯中牛奶与豆浆之比是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2023秋•龙泉驿区期末）平行四边形外有一点，连接平行四边形后形成了两个三角形（如图阴影部分），这两个三角形的面积之和与原来平行四边形的面积之比是　　 A． B． C．无法确定 5．（2分）鸡兔同笼，已知共有15个头，50只脚，那么鸡与兔的头数比是　　 A． B． C． D． 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分15分） 6．（2分）（2024•兰山区）两个圆的半径之比是，它们的周长比是 　　，面积比是 　　． 7．（1分）（2024•嘉定区模拟）一本书一共有64页，已经看了全书的，未看的和已看的页数比为　　． 8．（2分）（2024•岚山区）如果，当一定时， 和成　 　比例．当一定时，和成　 　比例． 9．（2分）（2024•磁县）两个同心圆（如图），已知的比是，那么这两个圆（从小到大）的周长之比是 　　，面积之比是 　　。 10．（2分）（2024春•庐江县校级期中）将10克盐放到90克水中，盐与水的比是 　　，水与盐水的比是 　　。 11．（2分）（2024春•平原县期中）圆的周长和半径成　　比例，圆的面积和它的半径成　　比例． 12．（2分）（2024春•迁安市期中）如果与的积是12，那么和成 　　比例；如果，且，均不为0，那么和成 　　比例。 13．（2分）大圆与小圆的直径比是，大圆与小圆的周长之比是 　　；大圆与小圆的面积之比是 　　。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2023秋•莘县校级期末）从家到学校，小兰用了10分钟，小明用了12分钟，小兰和小明的速度比是　 　（判断对错） 15．（2分）（2023秋•唐河县期末）甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是．　 　．（判断对错） 16．（2分）（2024•绥中县）比例尺一定，两地的实际距离和图上距离成正比例． 　　（判断正误） 17．（2分）（2024春•通道县期中）如果一定），那么和成正比例。 　　（判断对错） 18．（2分）（2018秋•沾化区期末）妈妈和小丽今年的年龄比是，3年后她们的年龄比会发生变化．　　（判断对错） 四．联系生活，解决问题（共5小题，满分24分） 19．（4分）（2024秋•山亭区期末）大齿轮有120个齿，每分转25转；小齿轮有30个齿，每分转100转。 （1）写出大齿轮和小齿轮齿数的比，并求出比值。 （2）写出大齿轮和小齿轮每分转数的比，并求出比值。 20． （4分）（2024•九龙坡区）一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作；第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 21．（4分）（2024•鲅鱼圈区）买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 22．（6分）（2023秋•丰润区期末）请根据下面的信息，寻找合适的量，写出至少2个比。 今年小明12岁，爸爸38岁，爸爸一年的工资是66000元，妈妈每月的工资是5000元。 23．（6分）（2023春•大石桥市期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 所需地砖的数量块 300 150 100 60 30 （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量有什么关系？ （2）如果每块地砖的面积是，铺这一地面需要多少块地砖？ （3）铺这一地面用了200块地砖，所用的地砖每块面积是多大？ 五．动手动脑，实践操作（共1小题，满分4分） 24．（4分）（2023•兴平市）一种药水中药粉与水的质量如下表所示。 药粉克 0 1 2 3 4 5 水克 0 200 400 600 800 1000 （1）这种药水中水与药粉的质量成正比例吗？为什么？ （2）先根据上表描点，再顺次连接。 （3） 点在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 六．能力提升，突破自我（共7小题，满分37分） 25．（2分）（2023•六盘水）小东记录了某国产品牌电动汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程千米 100 120 130 140 150 耗电量度 15 18 19.5 21 22.5 观察上表数据，电动汽车行驶路程与耗电量成 　　比例；当行驶300公里时，电动汽车消耗了 　　度电。 26．（6分）（2023春•通道县期中）一辆汽车行驶的时间和路程如表。 时间时 1 2 3 4 5 6 路程千米 80 160 240 320 400 480 （1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。说一说这个比值表示什么。 （2）汽车行驶的路程与时间成正比例关系还是反比例关系？为什么？ （3）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行200千米大约需要多少时间。 27．（5分）（2024•河北）一个机器人分拣邮包的时间和数量如下表： 分拣时间小时 1 2 3 4 5 6 分拣数量件 150 300 450 600 750 900 （1）表中变化的量是分拣 　　和分拣 　　。 （2）4小时分拣 　　件邮包；分拣1950件邮包需要 　　小时。 （3）表中的两种量成 　　比例关系。 28．（6分）（2024•杭州）周叔叔一家去自驾游，从地途径地，到达地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间 1 2 3 4 路程 80 160 240 320 耗油量 10 20 30 40 二氧化碳排放 13.2 26.4 39.6 52.8 ①观察如表，　　和 　　成 　　比例。 ②第一天，从地出发时，汽车油箱里有汽油，要去距离的地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从地去地，行了3小时，发现正好行了全程的，照这样的速度，到达地还需要多少小时？ 29．（4分）（2022•长兴县）如图，长方形的长边正好可摆4个相同的大圆；还可正好摆若干个小圆。已知大圆直径与小圆直径之比是。 （1）大圆直径与小圆直径之比是，下面结论中，不正确的是 　　。 ．大圆直径是小圆直径的 ．大圆面积与小圆面积之比是 ．小圆直径比大圆直径少 ．小圆面积是大圆面积的 （2）选择信息，请解决“长边正好可摆几个小圆？”这个问题。 30．（8分）（2020春•峄城区期末）一列火车每小时行驶200千米． （1）把下表填写完整． 时间小时 1 2 3 4 5 路程千米 200 　　 　　 　　 　　 （2）根据表中数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再把点按顺序连起来． （3）时间和路程成正比例吗？为什么？ （4）利用图象估计一下，2.5小时行多少千米？行360千米需要多少小时？ 31．（6分）（2021•蒙阴县）某运输队在为灾区抢运120吨救灾物资．如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表，请把表格填写完整． 载重量吨 2.5 4 5 10 数量辆 48 30 （1）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （2）如果用载重量6吨的卡车来运，一共需要多少辆？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学六年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第四单元 正比例和反比例 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 【思路点拨】两种相关联的量，如果比值一定，就成正比例关系，如果乘积一定，就成反比例关系； （1）订同一份杂志时，钱数和份数的比值一定，据此分析； （2）正方形的面积边长边长，即正方形的面积与它的边长的比值不一定，据此分析； （3）圆的面积直径直径，由此判断； （4）三角形的底高面积，由此判断。 【规范解答】解：（1）订杂志的钱数份数每份的钱数，订同一份杂志时，每份的钱数不变，则订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系； （2）正方形的面积边长边长，因此正方形的面积和它的边长不成正比例关系； （3）圆的面积和它的直径不成反比例关系； （4）三角形的底高面积，则三角形的面积一定时，它的底和高成反比例关系。 综上所述，正确的是（1）（4），共2个。 故选：。 【考点评析】本题考查的是正比例和反比例的应用。 2．（2分）（2024春•通道县期中）下列和成正比例关系的是　　 A． B． C． 【思路点拨】两个相关联的量，若它们的比值一定，则这两个量成正比例关系，据此逐一分析各项即可。 【规范解答】解：．因为，所以，和的差一定，不是比值一定，所以和不成正比例关系； ．因为，则和的和一定，不是比值一定，所以和不成正比例关系； ．因为，所以，和的比值一定，所以和成正比例关系。 故选：。 【考点评析】本题考查的是辨识成正比例的量与成反比例的量的应用。 3．（2分）（2024•锦江区模拟）一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次，又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，现在杯中牛奶与豆浆之比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】假设这杯纯牛奶的重量是30克，第一次喝了，则喝了10克，然后加入10克豆浆，第二次喝了，这时喝了30克的的，根据一个乘分数的意义，求出第二次喝了的纯牛奶的重量，进而求出杯中剩下的纯牛奶的重量；第二次喝了，喝了：克，则添加了6克的豆浆，但第二次有喝掉的豆浆，喝掉的豆浆是：，应把喝掉的减去，进而求出两次添加的豆浆的重量；继而求出现在杯中牛奶与豆浆之比． 【规范解答】解：假设这杯纯牛奶的重量是30克，则： ； 答：现在杯中牛奶与豆浆之比是； 故选：． 【考点评析】此题考查了比的意义，明确第二次喝掉的纯牛奶的重量是30克的的，而不是30的；此题也可以这样想：第一次喝掉，还剩，加满搅匀，再喝，其中喝掉牛奶是，这时杯中还剩牛奶为，加满水搅匀，豆浆占，牛奶与豆浆的比为． 4．（2分）（2023秋•龙泉驿区期末）平行四边形外有一点，连接平行四边形后形成了两个三角形（如图阴影部分），这两个三角形的面积之和与原来平行四边形的面积之比是　　 A． B． C．无法确定 【思路点拨】依据题意结合图示可知，两个三角形的底等于平行四边形的底，两个三角形的高的和等于平行四边形的高，利用三角形的面积底高，则两个三角形的面积和等于平行四边形的底乘高除以2，利用平行四边形的面积底高，找出面积比是多少。 【规范解答】解：由分析可知，两个三角形的面积之和与原来平行四边形的面积之比为：。 故选：。 【考点评析】本题考查的是三角形、平行四边形的面积公式以及比的应用。 5．（2分）鸡兔同笼，已知共有15个头，50只脚，那么鸡与兔的头数比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】一只鸡有两只脚，一只兔有四只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，由于已知共有15个头，那么就有15只动物，那么我们假设15只全是鸡，那么一共有30只脚，50只脚比30只脚多了20只脚，用20只脚除以一只兔比一只鸡多的脚数，就可以求出兔的数目，进而求得鸡的只数，据此解答。 【规范解答】解： （只 （只 故选：。 【考点评析】本题考查鸡兔同笼的知识，在会求鸡与兔的只数的前提下，能计算比值。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分15分） 6．（2分）（2024•兰山区）两个圆的半径之比是，它们的周长比是 　　，面积比是 　　． 【思路点拨】设大圆的半径为，小圆的半径为，根据“圆的周长”分别求出大圆和小圆的周长，进而求比即可； 根据“圆的面积”分别求出大圆的面积和小圆的面积，进而根据题意求比即可． 【规范解答】解：设大圆的半径为，小圆的半径为， ， ， ， ； ， ， ， ， ； 答：大圆周长和小圆周长的比是，大圆和小圆的面积比是； 故答案为：，． 【考点评析】解答此题应明确：两个圆的半径比，即周长的比，面积比是半径的平方的比；用到的知识点：（1）比的意义；（2）圆的周长计算方法；（3）圆的面积计算方法． 7．（1分）（2024•嘉定区模拟）一本书一共有64页，已经看了全书的，未看的和已看的页数比为　　． 【思路点拨】把这本书的总页数看作单位“1”，已经看了全书的，未看的占，未看的页数和已看的页数的比是：，然后根据比的基本性质化简即可． 【规范解答】解：， ， ； 故答案为：． 【考点评析】本题主要找准单位“1”，求出未看的页数是全书的几分之几，然后根据比的基本性质化简． 8．（2分）（2024•岚山区）如果，当一定时， 和成　反　比例．当一定时，和成　 　比例． 【思路点拨】根据正比例的意义和反比例的意义：即看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；进行解答即可． 【规范解答】解：如果，当一定时，即：（一定），则和成反比例； 当一定，即：（一定），则和成正比例； 故答案为：反，正． 【考点评析】解答此题的关键是：看两种相关联量是比值一定还是乘积一定，如乘积一定，则两种量成反比例；如比值一定，则两种量成正比例；进行解答即可． 9．（2分）（2024•磁县）两个同心圆（如图），已知的比是，那么这两个圆（从小到大）的周长之比是 　　，面积之比是 　　。 【思路点拨】依据题意中的比，计算出两个圆的半径比，然后利用圆的周长，面积公式分别去计算即可。 【规范解答】解：由题意得，两个圆的半径比为： 这两个圆的周长比是，面积之比是。 故答案为：；。 【考点评析】本题考查的是比以及圆的周长、面积公式的应用。 10．（2分）（2024春•庐江县校级期中）将10克盐放到90克水中，盐与水的比是 　　，水与盐水的比是 　　。 【思路点拨】依据题意可知，计算盐与水的比，水与盐水的比，分别计算即可。 【规范解答】解：盐与水的比是：，水与盐水的比是。 故答案为：，。 【考点评析】本题考查的是比的应用。 11．（2分）（2024春•平原县期中）圆的周长和半径成　正　比例，圆的面积和它的半径成　　比例． 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：因为圆的周长半径（一定），所以圆的周长与圆的半径成正比例； 因为圆的面积，所以圆的面积与半径不成比例； 故答案为：正，不成． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 12．（2分）（2024春•迁安市期中）如果与的积是12，那么和成 　反　比例；如果，且，均不为0，那么和成 　　比例。 【思路点拨】看两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例，结合题意去解答。 【规范解答】解：如果与的积是12，那么和成反比例；如果，且，均不为0，那么和成正比例。 故答案为：反，正。 【考点评析】本题考查的是辨识成正比例的量与成反比例的量的应用。 13．（2分）大圆与小圆的直径比是，大圆与小圆的周长之比是 　　；大圆与小圆的面积之比是 　　。 【思路点拨】解答本题根据大圆和小圆的半径比是；再根据圆的周长，圆的面积，可知周长的比等于半径的比，面积的比等于半径比的平方，则大圆和小圆的周长比是，面积的比是，据此即可解题。 【规范解答】解：根据周长的比等于半径的比，面积的比等于半径比的平方可知： 大圆和小圆的周长比是，面积的比是。 故选：，。 【考点评析】本题考查的是学生对于圆的周长与面积的计算公式的知识的掌握；解答本题的关键是要求学生熟知：圆的周长，圆的面积，能牢固掌握此知识，即可解答本题。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2023秋•莘县校级期末）从家到学校，小兰用了10分钟，小明用了12分钟，小兰和小明的速度比是　　（判断对错） 【思路点拨】把从家到学校的路程看作单位“1”，根据“路程时间速度”分别求出小明和小兰的速度，进而根据题意求比即可判断． 【规范解答】解： 答：小兰和小明的速度比是． 所以原题说法错误． 故答案为：． 【考点评析】解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）路程、时间和速度三者之间的关系． 15．（2分）（2023秋•唐河县期末）甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是．　　．（判断对错） 【思路点拨】由“甲数的等于乙数的”，得出甲数乙数，再逆用比例的基本性质，写成比例的形式，再化简即可． 【规范解答】解：甲数乙数 甲数：乙数 甲数：乙数 故答案为：． 【考点评析】关键是灵活利用比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）与比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以一个数除外）比值不变），解决问题． 16．（2分）（2024•绥中县）比例尺一定，两地的实际距离和图上距离成正比例． 　　（判断正误） 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：因为图上距离实际距离比例尺（一定）， 所以比例尺一定，两地的实际距离和图上距离成正比例； 故答案为：． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 17．（2分）（2024春•通道县期中）如果一定），那么和成正比例。 　　（判断对错） 【思路点拨】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【规范解答】解：如果，一定，则一定，即、的乘积一定，那么和成反比例。原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是辨识成正比例的量与成反比例的量的应用。 18．（2分）（2018秋•沾化区期末）妈妈和小丽今年的年龄比是，3年后她们的年龄比会发生变化．　　（判断对错） 【思路点拨】根据题意可知，把妈妈和小丽的年龄看作5和1，3年后她们的年龄是，，再根据比的意义写出她们的比，看看有没有变化再判断． 【规范解答】解： 3年后他们的年龄比会发生变化，所以原题说法正确． 故答案为：． 【考点评析】此题考查比的意义，关键是根据两个人年龄的关系，分别表示出5年后她们的年龄，再根据比的意义解答． 四．联系生活，解决问题（共5小题，满分24分） 19．（4分）（2024秋•山亭区期末）大齿轮有120个齿，每分转25转；小齿轮有30个齿，每分转100转。 （1）写出大齿轮和小齿轮齿数的比，并求出比值。 （2）写出大齿轮和小齿轮每分转数的比，并求出比值。 【思路点拨】根据比的意义写出比并化简为最简整数比即可，求比值，即用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数。据此解答。 【规范解答】解：（1） 答：大齿轮和小齿轮齿数的比是，比值是4。 （2） 答：大齿轮和小齿轮每分转数的比是，比值是0.25。 【考点评析】本题考查了比的意义以及求比值的应用。 20．（4分）（2024•九龙坡区）一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作；第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 【思路点拨】根据题意，把第二次溢出水量看作1份，第一次溢出水量是3份，第三次溢出水量是6份。据此结合放入球的顺序，计算三个球体积的比即可。 【规范解答】解：把第二次溢出水量看作1份，第一次溢出水量是3份，第三次溢出水量是6份。 因为第一次溢出水量是3，则小球的体积是3； 中球的体积是； 大球的体积是。 所以小、中、大三球的体积比。 答：小、中、大三球的体积比。 【考点评析】解答本题的关键是注意大球的体积不是三次溢出水量的和。 21．（4分）（2024•鲅鱼圈区）买笔记本的数量和总价的关系如表： 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 6 （1）将表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）数量和总价之间成 　正　比例。 （4）如果买9本笔记本，需要 　　元钱，19.5元能买 　　本笔记本。 【思路点拨】（1）根据表格中的数据规律，相对应数的商相等填表即可； （2）根据表格中的数据描点画图即可； （3）根据两个数量相对应的数的商一定，再根据正比例的意义可进行判断； （4）利用单价一定，总价与数量成正比例解答即可。 【规范解答】解：（1） 数量（本 1 2 3 4 5 6 7 总价（元 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 （2）； （3），，， 所以数量和总价之间成正比例； （4）设需要元。 设可以买本。 所以如果买9本笔记本，需要13.5元钱，19.5元能买13本笔记本。 故答案为：（1）4.5；7.5；9；10.5；（3）正；（4）13.5；13。 【考点评析】本题考查的是正反比例的相关知识，关键是看这两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例；会运用正反比例知识解决问题。 22．（6分）（2023秋•丰润区期末）请根据下面的信息，寻找合适的量，写出至少2个比。 今年小明12岁，爸爸38岁，爸爸一年的工资是66000元，妈妈每月的工资是5000元。 【思路点拨】根据小明和爸爸的年龄可写出小明和爸爸的年龄之比，根据爸爸一年的工资和妈妈一个月的工资可写出爸爸平均一个月的工资和妈妈一个月的工资之比。 【规范解答】解：小明和爸爸的年龄之比 爸爸平均一个月的工资和妈妈一个月的工资之比。 【考点评析】本题考查了比的意义的应用。 23．（6分）（2023春•大石桥市期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 所需地砖的数量块 300 150 100 60 30 （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量有什么关系？ （2）如果每块地砖的面积是，铺这一地面需要多少块地砖？ （3）铺这一地面用了200块地砖，所用的地砖每块面积是多大？ 【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）用总面积除以每块地砖的面积即可； （3）用总面积除以总块数即可。 【规范解答】解：（1） 答：每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 （2）（块 答：铺这一地面需要75块地砖。 （3）（平方米） 答：所用的地砖每块面积是0.15平方米。 【考点评析】熟练掌握正比例和反比例的判定，是解答此题的关键。 五．动手动脑，实践操作（共1小题，满分4分） 24．（4分）（2023•兴平市）一种药水中药粉与水的质量如下表所示。 药粉克 0 1 2 3 4 5 水克 0 200 400 600 800 1000 （1）这种药水中水与药粉的质量成正比例吗？为什么？ （2）先根据上表描点，再顺次连接。 （3）点在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例； （2）根据数对描点，顺次连接即可； （3）如果比值不变，就在这条直线上。 【规范解答】解：（1）因为 所以这种药水中水与药粉的质量成正比例。 （2） （3）在；表示6克药粉兑1200克水。 【考点评析】熟练掌握正比例关系的定义，是解答此题的关键。 六．能力提升，突破自我（共7小题，满分37分） 25．（2分）（2023•六盘水）小东记录了某国产品牌电动汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程千米 100 120 130 140 150 耗电量度 15 18 19.5 21 22.5 观察上表数据，电动汽车行驶路程与耗电量成 　正　比例；当行驶300公里时，电动汽车消耗了 　　度电。 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系；用行驶的千米数乘每千米的耗电量，就是电动汽车消耗的电量。 【规范解答】解：（千米度） （千米度） （千米度） （千米度） （千米度） 每千米的耗电量一定，电动汽车行驶路程与耗电量成正比例。 1公里千米，300公里千米。 （度 答：当行驶300公里时，电动汽车消耗了45度电。 故答案为：正，45。 【考点评析】此题考查了辨别正比例和反比例等知识，要求学生掌握。 26．（6分）（2023春•通道县期中）一辆汽车行驶的时间和路程如表。 时间时 1 2 3 4 5 6 路程千米 80 160 240 320 400 480 （1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。说一说这个比值表示什么。 （2）汽车行驶的路程与时间成正比例关系还是反比例关系？为什么？ （3）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行200千米大约需要多少时间。 【思路点拨】（1）写出时间和路程的比，并求出比值，然后比较比值的大小，根据数量关系判断比值表示的意义； （2）判断表格中的两个量的商一定还是积一定，如果商一定就成正比例，如果积一定就成反比例，否则不成比例； （3）估计表格中的数据，在横轴表示时间，竖轴表示路程的图中先描出对应的点，然后画出图像即可。 【规范解答】解：（1） 比值都是80，比值相等，所以比值表示速度。 （2）汽车行驶的路程与时间成正比例关系。速度路程时间，速度一定，所以汽车行驶的路程与时间成正比例关系。 （3），由图可知，一个小格代表40千米，那么200千米的时候对应的时间点就是2小时和3小时之间的2.5小时。 【考点评析】本题重点考查学生由表格获取信息能力及利用描点法画图能力，难点为正比例关系的判断。 27．（5分）（2024•河北）一个机器人分拣邮包的时间和数量如下表： 分拣时间小时 1 2 3 4 5 6 分拣数量件 150 300 450 600 750 900 （1）表中变化的量是分拣 　时间　和分拣 　　。 （2）4小时分拣 　　件邮包；分拣1950件邮包需要 　　小时。 （3）表中的两种量成 　　比例关系。 【思路点拨】（1）（2）依据表中数据可知，分拣数量随着分拣时间的增加而增加，分拣数量每小时分拣数量分拣时间，由此解答本题； （3）分拣数量分拣时间每小时分拣数量，由此判断表中两种量的数量关系。 【规范解答】解：（1）表中变化的量是分拣时间和分拣数量。 （2）4小时分拣600件邮包；（小时），分拣1950件邮包需要13小时。 （3）分拣数量分拣时间每小时分拣数量，每小时分拣数量一定，表中的两种量成正比例关系。 故答案为：（1）时间，数量；（2）600，13；（3）正。 【考点评析】本题考查的是正比例的应用。 28．（6分）（2024•杭州）周叔叔一家去自驾游，从地途径地，到达地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间 1 2 3 4 路程 80 160 240 320 耗油量 10 20 30 40 二氧化碳排放 13.2 26.4 39.6 52.8 ①观察如表，　路程　和 　　成 　　比例。 ②第一天，从地出发时，汽车油箱里有汽油，要去距离的地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从地去地，行了3小时，发现正好行了全程的，照这样的速度，到达地还需要多少小时？ 【思路点拨】①观察表格可知，路程和时间成正比例，行驶路程和耗油量成正比例； ②根据表格中数据可知，行驶1千米耗油的数量是0.125升；然后用400乘行驶1千米耗油量，求出行驶400千米耗油量，再与45升比较即可； ③设路程为 ，行驶完全程还需要小时，运用路程和时间成正比例关系，列式计算。 【规范解答】解：①观察表格可知，，比值是80，所以路程和时间成正比例（答案不唯一）。 ② （升 ，所以途中需要加油。 答：途中需要加油。 ③设路程为 ，行驶完全程还需要小时。 答：到达地还需要1小时。 故答案为：路程；时间；正。（答案不唯一） 【考点评析】此题考查主要正比例的意义及应用。 29．（4分）（2022•长兴县）如图，长方形的长边正好可摆4个相同的大圆；还可正好摆若干个小圆。已知大圆直径与小圆直径之比是。 （1）大圆直径与小圆直径之比是，下面结论中，不正确的是 　　。 ．大圆直径是小圆直径的 ．大圆面积与小圆面积之比是 ．小圆直径比大圆直径少 ．小圆面积是大圆面积的 （2）选择信息，请解决“长边正好可摆几个小圆？”这个问题。 【思路点拨】（1）两数相除又叫两个数的比，将比转化成分数即可；根据直径比的前后项分别平方以后的比是面积比，进行分析；大圆和小圆直径差大圆直径小圆直径比大圆直径少百分之几；直接用选项中的小圆面积对应份数大圆面积对应份数即可。 （2）先求出小圆的直径，再用长方形的长除以直径即可。 【规范解答】解：（1）．，所以大圆直径是小圆直径的，故本选项说法正确； ．，所以大圆面积与小圆面积之比是，故本选项说法正确； ．，所以小圆直径比大圆直径少，故本选项说法不正确； ．，所以小圆面积是大圆面积的，故本选项说法正确。 （2）小圆的直径为：（厘米） （个 答：长边正好可摆5个小圆。 故答案为：。 【考点评析】关键是理解比的意义，熟悉圆的特征。 30．（8分）（2020春•峄城区期末）一列火车每小时行驶200千米． （1）把下表填写完整． 时间小时 1 2 3 4 5 路程千米 200 　400　 　　 　　 　　 （2）根据表中数据，在如图中描出时间和路程所对应的点，再把点按顺序连起来． （3）时间和路程成正比例吗？为什么？ （4）利用图象估计一下，2.5小时行多少千米？行360千米需要多少小时？ 【思路点拨】（1）根据速度时间路程，列式计算； （2）根据统计表中的数据，先在图中描出时间和路程所对应的点，再把它们按顺序连起来即可； （3）因为火车行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例； （4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时． 【规范解答】解：（1）（千米），（千米），（千米），（千米） 时间小时 1 2 3 4 5 路程千米 200 400 600 800 1000 （2）根据数据连线后如图： （3）时间和路程成正比例；因为汽车在公路上行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例． （4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出火车2.5小时行500千米；行驶360千米用1.8小时； 答：2.5小时行驶500千米．行驶360千米用1.8小时． 【考点评析】此题考查根据统计表中的信息，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据观察图象得出2.5小时行多少千米和行360千米需要多少小时． 31．（6分）（2021•蒙阴县）某运输队在为灾区抢运120吨救灾物资．如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表，请把表格填写完整． 载重量吨 2.5 4 5 10 数量辆 48 30 （1）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （2）如果用载重量6吨的卡车来运，一共需要多少辆？ 【思路点拨】，得出：运用车辆的载重量所需车辆的数量总重量，则用总重量分别除以5，10求出各用的辆数．填写统计表． （1）由统计表中的数量可以看出，车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定，所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例． （2）运用总重量除以6就是运用卡车的量数． 【规范解答】解： （辆 （辆 载重量吨 2.5 4 5 10 数量辆 48 30 24 12 （1）因为（吨 （吨 因为车辆的载重量与所需车辆的数量的乘积一定， 所以车辆的载重量与所需车辆的数量成反比例． （2） （辆 答：用载重量6吨的卡车来运，一共需要20辆． 【考点评析】本题考查了学生正反比例的判断情况，能运用统计表提供的信息解决问题．同时考查了学生理解分析问题的能 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$