专题01 圆柱和圆锥（单元讲义）-2024-2025学年北师大版数学六年级下册期中考前知识串讲培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（北师大版） 专题01 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+11大考点讲练+优选压轴题专练 共43题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大纲 2 知识精讲 复习回顾 3 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 3 知识点02：圆柱的表面积 3 知识点03：圆柱的体积 3 知识点04：圆锥的体积 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：圆柱的基本特征 4 易错知识点02：圆柱的侧面积 4 易错知识点03：圆柱的表面积 5 易错知识点04：圆柱的体积 5 易错知识点05：圆锥的基本特征 5 易错知识点06：圆锥的体积 5 易错知识点07：圆锥的高的测量 5 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 5 易错知识点09：实际问题的求解 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01：圆柱的特征 6 考点讲练02：圆锥的特征 6 考点讲练03：圆柱的展开图 7 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 7 考点讲练05：关于圆柱的应用题 8 考点讲练06：圆柱的体积 9 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 10 考点讲练08：圆锥的体积 11 考点讲练09：关于圆锥的应用题 12 考点讲练10：组合图形的体积 13 考点讲练11：探索某些实物体积的测量方法 14 压轴专练 拔尖冲刺 14 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱 圆柱的易错知识点 易错知识点01：圆柱的基本特征 易错点：混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面，是两个大小相同的圆；侧面是一个曲面。 圆柱的高：两个底面间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高且长度相等。 易错知识点02：圆柱的侧面积 公式：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh（C为底面周长，d为底面直径，r为底面半径，h为高）。 易错点：计算时不注意单位统一，或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。 易错知识点03：圆柱的表面积 公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²（S侧为侧面积，S底为底面积）。 易错点：忽视圆柱体的实际应用情况，如计算无盖水桶的表面积时，只计算一个底面和侧面的面积之和。 易错知识点04：圆柱的体积 公式：V=Sh或V=πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算过程中，容易混淆底面积和高，导致计算结果错误。 圆锥的易错知识点 易错知识点05：圆锥的基本特征 易错点：混淆圆锥的底面与侧面，以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面，是一个圆；侧面是一个曲面；圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错知识点06：圆锥的体积 公式：V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算圆锥体积时，容易忘记乘以(1/3)，导致计算结果错误。 易错知识点07：圆锥的高的测量 方法：把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东西（如木板），并与底面平行，测量这两个平面间的距离，即为圆锥的高。 易错点：测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定，导致测量结果不准确。 综合应用中的易错点 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 易错点：只有在等底等高的条件下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍，圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件，容易导致错误判断。 易错知识点09：实际问题的求解 易错点：在解决实际问题时，容易忽视题目中的实际情况，如计算圆柱形物体的表面积时，需要根据物体的具体形状（如是否有盖、是否空心等）来确定计算哪些面的面积。 考点讲练01：圆柱的特征 【精讲题】（2024春•岳阳期中）如图所示，一个圆柱形蛋糕盒的底面半径是，高是。用彩带包扎这个蛋糕盒，至少需要彩带 　　。（打结处长 【精练题01】（2024春•确山县期中）一个长方体的纸盒，里面恰好可以装下6瓶饮料（如图所示）。则这个纸盒的长为 　　，宽为 　　，高为 　　。 【精练题02】（2024春•临平区期中）一个圆柱形蛋糕盒（如图）。盒侧面和上面用纸板做成，如果用彩带捆扎，打结处用去彩带30厘米，一共需要彩带 　厘米。 考点讲练02：圆锥的特征 【精讲题】（2024春•灵宝市期中）粽子是由粽叶包裹糯米蒸制而成的食品，是中华民族传统节庆食物之一。如图所示是外形类似圆锥的粽子，该粽子有 　　条高，高是 　　厘米，底面周长是 　　厘米。 【精练题01】（2024春•邵阳期中）圆柱 　之间的距离叫作圆柱的高，圆锥 　　到 　　的距离是圆锥的高：圆柱有 　　条高，圆锥有 　　条高。 【精练题02】（2024春•雨花区校级期中）下列关于圆柱圆锥的说法正确的是　　 A．圆柱的高是两底圆心之间的距离，所以圆柱只有一条高。 B．将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加6个底面。 C．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高。 D．我们没有学习圆锥的表面积是因为圆锥没有表面积。 考点讲练03：圆柱的展开图 【精讲题】（2024春•历城区期中）一个圆柱，它的侧面展开图是一个边长为的正方形，这个圆柱的底面半径是　　。 A．18.84 B．6 C．4.71 D．3 【精练题01】（2024春•东莞市期中）如图是小萌制作的圆柱展开图，这个圆柱的高是　　 A． B． C． D． 【精练题02】（2021春•三江县期中）要制作一个无盖圆柱形水桶，有下图几种型号的外皮可供搭配选择。 （1）我选择的材料是 　　和 　　。（填序号） （2）用你选择的材料制作的水桶，需要用多少铁皮？ 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 【精讲题】（2021春•京山市期中）把一个圆柱沿底面直径切成大小一样的两部分，表面积比原来增加了400平方厘米，这个圆柱的侧面积是 　　平方厘米。 【精练题01】（2024春•瑞安市期中）树干刷石灰水可以有效防止病虫害。张叔叔准备给一棵树干近似圆柱形，底面直径2分米的树，刷15分米高的石灰水来预防病虫害。那么，刷石灰水部分的面积是 　　。 【精练题02】（2024春•东海县期中）如图，把一个底面半径是的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆柱的高是　　。 A． B．10 C． D．5 考点讲练05：关于圆柱的应用题 【精讲题】（2024春•二七区期中）一个圆柱形水池，底面直径为20米，深2米。在水池的底部铺上瓷砖，在水池的四周抹上水泥。 （1）铺瓷砖的面积是多少平方米？ （2）抹水泥的面积是多少平方米？ （3）现在水池里水深15分米，如果每立方米的水重约1吨，水池里的水有多少吨？ 【精练题01】（2024春•沛县期中）一张长方形铁皮，按照下图剪下阴影部分，制成一个圆柱状的油漆桶，求它的容积． 【精练题02】（2024春•惠民县期中）一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.4米，每分钟滚动15周。 （1）这台压路机每分钟压过的路面是多少平方米？ （2）一条路长150米，宽8米（示意图如图用这台压路机工作，10分钟后能压完这条路面吗？请把你的思考过程写在下面。 （3）结合题目中的信息，请你提出一个数学问题。（不用解答）问题：　 　。 （4）对于第（3）小题让你提出问题，你觉得有难度吗？　　。 非常困难 比较困难 不确定 比较容易 非常容易 你的理由是：　　。 考点讲练06：圆柱的体积 【精讲题】（2024春•历城区校级期中）一个瓶子里装有一些水，把瓶盖拧紧倒置放平（如图），根据图中的数据可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的　　 A． B． C． D． 【精练题01】（2024春•瑞安市期中）甲容器中水深6.28厘米，现将甲容器中的水倒入底面直径是10厘米的圆柱形乙容器中，这时乙容器中的水深　　厘米。 A．2 B．6 C．8 D．10 【精练题02】（2021春•德州期中）如图，把一个圆柱的侧面沿着它的一条高展开，可以得到一个边长的正方形。（提示：是一个无限不循环小数，我们通常计算时使用的是它保留两位小数的近似数3.14。 （1）这个圆柱的体积是多少立方厘米？ （2）如图，把这个圆柱转化成一个近似的长方体。 ①长方体的长　 　，长方体的宽　　，长方体的体积　　。 ②长方体的表面积比圆柱的表面积增加了多少平方厘米？（列式解答） 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 【精讲题】（2024春•高淳区期中）如图（单位：厘米），在一块长方形铁皮中剪如图中涂色部分，围成的圆柱体积是 　 　立方厘米。 【精练题01】（2024春•汶上县期中）用一块长宽的长方形铁皮，配上一块直径　　的圆形铁皮可以做成一个容积最大的水桶。（不计损耗，取 A．3 B．4 C．6 【精练题02】（2024春•方城县期中）李师傅准备用如图左边的长方形铁皮卷成一个圆柱形水桶的侧面，再从右边的铁皮中选一个作底面，可直接选用的底面有　　（接缝处忽略不计，无盖）（单位：厘米） A．①④ B．①③ C．②③ 考点讲练08：圆锥的体积 【精讲题】（2023春•巴州区期中）如图，甲圆柱容器是空的，乙长方体容器中水深，要将乙容器中的水全部倒入甲容器，这时水深 　　，如果倒入与这个圆柱底面积之比是的圆锥形容器中水面高 　　。 【精练题01】（2024春•高新区期中）下面四个立体图形，体积最大的是　　 A． B． C． D． 【精练题02】（2024春•云浮期中）如图所示，一个密闭的容器是由圆柱和圆锥组成的，圆柱和圆锥的高分别为、，容器内的液面高。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面的距离是____cm。　　 A．1 B．5 C．11 D．9 考点讲练09：关于圆锥的应用题 【精讲题】（2024春•金水区期中）近年来，我市不断推进道路改造工作，城市交通状况得到很大改善。 （1）道路改造所用的压路机前轮是圆柱形，轮宽，直径是。每分钟滚动10周，每分钟能压多少平方米的路面？ （2）如图是某段道路改造所用的圆锥形沙堆。用这些沙在宽的公路上铺厚的路面，能铺多少米？ 【精练题01】（2024春•利通区期中）一个圆锥形沙堆，底面直径是4米，高1米，如果每立方米沙约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（结果保留一位小数） 【精练题02】（2023春•镇平县期中）爷爷把收获的麦子堆成了一个底面积为，高的圆锥形，现准备把这堆小麦装入一个底面周长为，高为的圆柱形粮囤里。装完后，小麦距离粮囤口还有多少米？ 考点讲练10：组合图形的体积 【精讲题】（2024春•苏州期中）如图，容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱（如图所示）。若将这个容器倒立，则沙子的高度是 　　厘米。 【精练题01】（2024春•灌云县期中）如图，以直角梯形中边为轴，将梯形绕轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【精练题02】（2024春•福清市期中）长征二号遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。 （1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 考点讲练11：探索某些实物体积的测量方法 【精讲题】（2024春•成武县期中）一个圆柱形容器的底面直径是，把一块不规则的石块放入这个盛水的容器中（石块完全没入水中），水面上升了，这块石块的体积是　　。 A．78.5 B．628 C．157 【精练题01】（2024春•灵宝市期中）“等积变形”的数学思想方法是指图形或物体的形状改变，但是面积或体积不变。下面没有运用“等积变形”这一思想方法的是　　 A．排水法求正方体的体积 B．求两个不规则图形的面积之和 C．求阴影部分面积 【精练题02】（2024春•仓山区期中）一个圆柱形玻璃容器里装有水，水中浸没着一个底面直径为，高为的圆锥形铁块（如图），如果把铁块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 1．（2024·陕西商洛·小升初真题）如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2。原来这个物体的体积是（    ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 2．（2024·山西吕梁·小升初真题）将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了（    ）。 A．0.4m2 B．0.6m2 C．0.8m2 D．0.2m2 3．（19-20六年级下·辽宁·期中）一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 4．（21-22六年级下·广东揭阳·期末）把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 5．（2018·天津和平·小升初真题）有一个高6cm的圆柱，如果高增加2cm，表面积就增加62.8cm²，原来这个圆柱的体积是( )cm³。 6．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成的。 若用m表示一个小圆柱的侧面积，用s表示一个小圆柱的底面积。观察每幅图的表面积变化规律，那么第⑧幅图的表面积是( )。 7．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积。（单位：cm） 8．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 9．（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 10．（20-21六年级下·辽宁·期末）一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（北师大版） 专题01 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+11大考点讲练+优选压轴题专练 共43题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大纲 2 知识精讲 复习回顾 3 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 3 知识点02：圆柱的表面积 3 知识点03：圆柱的体积 3 知识点04：圆锥的体积 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：圆柱的基本特征 4 易错知识点02：圆柱的侧面积 4 易错知识点03：圆柱的表面积 5 易错知识点04：圆柱的体积 5 易错知识点05：圆锥的基本特征 5 易错知识点06：圆锥的体积 5 易错知识点07：圆锥的高的测量 5 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 5 易错知识点09：实际问题的求解 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练01：圆柱的特征 6 考点讲练02：圆锥的特征 7 考点讲练03：圆柱的展开图 8 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 10 考点讲练05：关于圆柱的应用题 11 考点讲练06：圆柱的体积 14 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 17 考点讲练08：圆锥的体积 19 考点讲练09：关于圆锥的应用题 21 考点讲练10：组合图形的体积 23 考点讲练11：探索某些实物体积的测量方法 25 压轴专练 拔尖冲刺 27 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱 圆柱的易错知识点 易错知识点01：圆柱的基本特征 易错点：混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面，是两个大小相同的圆；侧面是一个曲面。 圆柱的高：两个底面间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高且长度相等。 易错知识点02：圆柱的侧面积 公式：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh（C为底面周长，d为底面直径，r为底面半径，h为高）。 易错点：计算时不注意单位统一，或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。 易错知识点03：圆柱的表面积 公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²（S侧为侧面积，S底为底面积）。 易错点：忽视圆柱体的实际应用情况，如计算无盖水桶的表面积时，只计算一个底面和侧面的面积之和。 易错知识点04：圆柱的体积 公式：V=Sh或V=πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算过程中，容易混淆底面积和高，导致计算结果错误。 圆锥的易错知识点 易错知识点05：圆锥的基本特征 易错点：混淆圆锥的底面与侧面，以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面，是一个圆；侧面是一个曲面；圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错知识点06：圆锥的体积 公式：V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算圆锥体积时，容易忘记乘以(1/3)，导致计算结果错误。 易错知识点07：圆锥的高的测量 方法：把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东西（如木板），并与底面平行，测量这两个平面间的距离，即为圆锥的高。 易错点：测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定，导致测量结果不准确。 综合应用中的易错点 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 易错点：只有在等底等高的条件下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍，圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件，容易导致错误判断。 易错知识点09：实际问题的求解 易错点：在解决实际问题时，容易忽视题目中的实际情况，如计算圆柱形物体的表面积时，需要根据物体的具体形状（如是否有盖、是否空心等）来确定计算哪些面的面积。 考点讲练01：圆柱的特征 【精讲题】（2024春•岳阳期中）如图所示，一个圆柱形蛋糕盒的底面半径是，高是。用彩带包扎这个蛋糕盒，至少需要彩带 　160　。（打结处长 【思路点拨】通过观察图形可知，捆扎这个蛋糕盒需要的彩带等于这个圆柱底面直径的4倍加上高的4倍再加上打结用的20厘米，据此解答。 【规范解答】解： （厘米） 答：至少需要彩带160厘米。 故答案为：160。 【考点评析】本题考查了圆柱特征的认识，解答此题的关键是理解彩带的长度包括哪些长度。 【精练题01】（2024春•确山县期中）一个长方体的纸盒，里面恰好可以装下6瓶饮料（如图所示）。则这个纸盒的长为 　24　，宽为 　　，高为 　　。 【思路点拨】根据图示可知，长方体纸盒的长是3个圆柱的底面直径，高是圆柱的高，宽是2个圆柱的底面直径，据此计算解答。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） 答：这个纸盒的长为，宽为，高为。 故答案为：24，16，12。 【考点评析】本题考查了圆柱的特征及长方体与圆柱的关系。 【精练题02】（2024春•临平区期中）一个圆柱形蛋糕盒（如图）。盒侧面和上面用纸板做成，如果用彩带捆扎，打结处用去彩带30厘米，一共需要彩带 　290　厘米。 【思路点拨】捆扎这个盒子至少用彩带的长度是4个蛋糕盒底面直径和4个蛋糕盒高的和，再加上打结用去的绳长即可。 【规范解答】解： （厘米） 答：一共需要彩带290厘米。 故答案为：290。 【考点评析】计算需要彩带多少厘米时不要忘记加上打结处绳子的长度。 考点讲练02：圆锥的特征 【精讲题】（2024春•灵宝市期中）粽子是由粽叶包裹糯米蒸制而成的食品，是中华民族传统节庆食物之一。如图所示是外形类似圆锥的粽子，该粽子有 　1　条高，高是 　　厘米，底面周长是 　　厘米。 【思路点拨】根据圆锥的特征可知，圆锥只有1条高，观察题意可知，粽子的高度有9厘米，底面直径是6厘米，根据圆锥的底面周长公式：，用即可求出底面周长。据此解答。 【规范解答】解：（厘米） 答：该粽子有1条高，高是9厘米，底面周长是18.84厘米。 故答案为：1，9，18.84。 【考点评析】本题主要考查了圆锥的认识以及圆周长公式的应用，掌握圆锥的特征是解答本题的关键。 【精练题01】（2024春•邵阳期中）圆柱 　两个底面　之间的距离叫作圆柱的高，圆锥 　　到 　　的距离是圆锥的高：圆柱有 　　条高，圆锥有 　　条高。 【思路点拨】圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的，它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面；两个底面之间的距离是圆柱的高，圆柱有无数条高。圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面，底面圆心到顶点的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。 【规范解答】解：圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高，圆锥顶点到底面圆心的距离是圆锥的高：圆柱有无数条高，圆锥有一条高。 故答案为：两个底面，顶点，底面圆心，无数，一。 【考点评析】本题考查了圆柱和圆锥高的特征。 【精练题02】（2024春•雨花区校级期中）下列关于圆柱圆锥的说法正确的是　　 A．圆柱的高是两底圆心之间的距离，所以圆柱只有一条高。 B．将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加6个底面。 C．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高。 D．我们没有学习圆锥的表面积是因为圆锥没有表面积。 【思路点拨】．根据圆柱的高的含义：圆柱两个底面之间的距离，叫作圆柱的高； ．根据圆柱的切割特点可知：把圆柱锯成三段，切了次，表面积增加了个圆柱的底面积（横截面积）； ．一个直角三角形以一条直角边为轴旋转，会得到一个圆锥。圆锥只有一个底面，是一个圆形。圆锥的侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高； ．根据表面积的含义：立体图形的所有面的面积之和叫作表面积；据此解答。 【规范解答】解：．一个圆柱体有无数条高，选项说法错误； ． （面 将圆柱沿横截面平均分成三段，表面积增加4个底面，选项说法错误； ．以直角三角形一条直角边为轴旋转得到圆锥，这条直角边就是圆锥的高，选项说法正确； ．圆锥属于立体图形，即圆锥有表面积，选项说法错误。 故选：。 【考点评析】本题考查立体图形的认识。 考点讲练03：圆柱的展开图 【精讲题】（2024春•历城区期中）一个圆柱，它的侧面展开图是一个边长为的正方形，这个圆柱的底面半径是　　。 A．18.84 B．6 C．4.71 D．3 【思路点拨】根据圆柱侧面展开图的特征可知，当圆柱的侧面沿高展开是一个正方形时，这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：，那么，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （厘米） 答：这个圆柱的底面半径是3厘米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式及应用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2024春•东莞市期中）如图是小萌制作的圆柱展开图，这个圆柱的高是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】圆柱的侧面展开图中长方形的一条边为圆周长，设圆柱底面直径为，则根据图示可知，据此即可求出圆柱底面直径，而圆柱的高为，据此解答。 【规范解答】解：设圆柱底面直径为。则： 即 所以 即这个圆柱的高是8厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查了圆柱侧面展开图的应用。 【精练题02】（2021春•三江县期中）要制作一个无盖圆柱形水桶，有下图几种型号的外皮可供搭配选择。 （1）我选择的材料是 　①　和 　　。（填序号） （2）用你选择的材料制作的水桶，需要用多少铁皮？ 【思路点拨】（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长，据此解答即可； （2）用长方形的面积加圆的面积即可求解。 【规范解答】解：（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长， ⑤号周长是：（分米） 所以相配的是①和⑤能制作一个无盖圆柱形水桶。 （答案不唯一） （2）①和⑤需要的铁皮： （平方分米） 答：需要用28.26平方分米铁皮。 故答案为：①，⑤。（答案不唯一） 【考点评析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图与底面的关系及在实际生活中的应用。 考点讲练04：圆柱的侧面积和表面积 【精讲题】（2021春•京山市期中）把一个圆柱沿底面直径切成大小一样的两部分，表面积比原来增加了400平方厘米，这个圆柱的侧面积是 　628　平方厘米。 【思路点拨】把这个圆柱沿底面直径切成大小一样的两部分，表面积比原来增加了400平方厘米，表面积增加的两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，一个切面的面积是平方厘米，根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （平方厘米） 答：这个圆柱的侧面积是628平方厘米。 故答案为：628。 【考点评析】此题主要考查圆柱的表面积公式、侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2024春•瑞安市期中）树干刷石灰水可以有效防止病虫害。张叔叔准备给一棵树干近似圆柱形，底面直径2分米的树，刷15分米高的石灰水来预防病虫害。那么，刷石灰水部分的面积是 　94.2　。 【思路点拨】刷石灰水部分的面积，就是底面直径2分米，高15分米的圆柱形的侧面积。根据圆柱的侧面积底面周长高进行计算。 【规范解答】解： 答：刷石灰水部分的面积是。 故答案为：94.2。 【考点评析】本题考查了求圆柱形的侧面积的计算方法。 【精练题02】（2024春•东海县期中）如图，把一个底面半径是的圆柱，切拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比原来增加了，原来圆柱的高是　　。 A． B．10 C． D．5 【思路点拨】把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积增加的是左右两个长方形的面积，先利用增加的面积除以2求出一个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，利用面积除以半径求出高即可。 【规范解答】解： （厘米） 答：圆柱的高是。 故选：。 【考点评析】解答此题的关键是理解圆柱切拼成长方体后，它们之间的关系。结合题意分析解答即可。 考点讲练05：关于圆柱的应用题 【精讲题】（2024春•二七区期中）一个圆柱形水池，底面直径为20米，深2米。在水池的底部铺上瓷砖，在水池的四周抹上水泥。 （1）铺瓷砖的面积是多少平方米？ （2）抹水泥的面积是多少平方米？ （3）现在水池里水深15分米，如果每立方米的水重约1吨，水池里的水有多少吨？ 【思路点拨】对于（1），要求铺瓷砖的面积，就是求圆柱形水池的底面积，结合圆的面积公式进行计算即可解决问题； 对于（2），求抹水泥的面积，就是求圆柱形水池的侧面积，根据圆柱的侧面积底面周长高进行计算即可解决问题； 对于（3），先根据圆柱的体积公式求出水池中水的体积，再乘以每立方米的水的重量，由此列式计算即可求出水池中水的重量。 【规范解答】解：（1） （平方米） 答：铺瓷砖的面积是314平方米。 （2） （平方米） 答：抹水泥的面积是125.6平方米。 （3） （吨 答：水池里的水有471吨。 【考点评析】本题考查的是圆形面积、圆柱侧面积和圆柱体积计算公式的运用，熟记公式是解答本题的关键。 【精练题01】（2024春•沛县期中）一张长方形铁皮，按照下图剪下阴影部分，制成一个圆柱状的油漆桶，求它的容积． 【思路点拨】如图：设圆的直径是分米，大长方形的长是16.56分米，等于小长方形的长加上圆的直径，小长方形的宽等于两个等圆直径之和，也就是圆柱的高，小长方形是圆柱侧面展开图，所以长应等于圆周长，根据“大长方形的长等于圆的周长与直径的和”求出圆的直径，进而求出圆柱的高，由于没说铁皮厚度，所以油桶的容积就是圆柱体积，根据“圆柱的体积”进行解答即可． 【规范解答】解：设圆的直径为分米，则： ， ， ， 圆柱的容积： （立方分米）； 答：这个圆柱桶容积是100.48立方分米． 【考点评析】解答此题应明确：大长方形的长等于圆的周长与直径的和；据此求出底面半径和高，再根据圆柱的容积公式进行解答即可． 【精练题02】（2024春•惠民县期中）一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.4米，每分钟滚动15周。 （1）这台压路机每分钟压过的路面是多少平方米？ （2）一条路长150米，宽8米（示意图如图用这台压路机工作，10分钟后能压完这条路面吗？请把你的思考过程写在下面。 （3）结合题目中的信息，请你提出一个数学问题。（不用解答）问题：　这台压路机压完这条路需要几分钟？（结果保留一位小数）　。 （4）对于第（3）小题让你提出问题，你觉得有难度吗？　　。 非常困难 比较困难 不确定 比较容易 非常容易 你的理由是：　　。 【思路点拨】（1）依据题意可知，这台压路机每分钟压过的路面面积等于前轮的侧面积乘每分钟滚动的周数，由此解答本题； （2）依据（1）计算每分钟压路的面积，计算出10分钟压路面积，然后与路的面积进行比较，由此解答本题； （3）可以提问：这台压路机压完这条路需要几分钟？（结果保留一位小数）（答案不唯一） （4）依据自身学习情况去解答。（答案不唯一） 【规范解答】解：（1） （平方米） 答：这台压路机每分钟压过的路面是131.88平方米。 （2）（平方米） （平方米） ，所以10分钟能压完这条路。 （3）这台压路机压完这条路需要几分钟？（结果保留一位小数） （4）比较容易，因为题目中给出压路机前轮的相关数据以及路的长和宽等信息，根据这些信息可以很容易地联想到与压路时间、压路面积等相关的问题，这些问题都是基于已学的圆柱侧面积和长方形面积等知识，所以提出问题比较容易。（答案不唯一） 故答案为：这台压路机压完这条路需要几分钟？（结果保留一位小数）；，因为题目中给出压路机前轮的相关数据以及路的长和宽等信息，根据这些信息可以很容易地联想到与压路时间、压路面积等相关的问题，这些问题都是基于已学的圆柱侧面积和长方形面积等知识，所以提出问题比较容易。（答案不唯一） 【考点评析】本题考查的是圆柱的侧面积的应用。 考点讲练06：圆柱的体积 【精讲题】（2024春•历城区校级期中）一个瓶子里装有一些水，把瓶盖拧紧倒置放平（如图），根据图中的数据可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，瓶子容积可以看作是正放时水的体积倒放时无水部分圆柱的体积，这两部分合起来正好是一个圆柱，这部分圆柱的高包括两部分，水的高度无水圆柱的高度，底面积相同，可以求出水的高度占圆柱高度的几分之几，也就是瓶中水的体积占瓶子容积的几分之几。据此解答即可。 【规范解答】解： 答；瓶中水的体积占瓶子容积的。 故选：。 【考点评析】本题考查圆柱的体积。 【精练题01】（2024春•瑞安市期中）甲容器中水深6.28厘米，现将甲容器中的水倒入底面直径是10厘米的圆柱形乙容器中，这时乙容器中的水深　　厘米。 A．2 B．6 C．8 D．10 【思路点拨】利用长方体的体积公式求出水的体积，再除以圆柱形容器的底面积即可。 【规范解答】解：（立方厘米） （厘米） 答：这时乙容器中的水深8厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查了长方体和圆柱体体积公式的应用。 【精练题02】（2021春•德州期中）如图，把一个圆柱的侧面沿着它的一条高展开，可以得到一个边长的正方形。（提示：是一个无限不循环小数，我们通常计算时使用的是它保留两位小数的近似数3.14。 （1）这个圆柱的体积是多少立方厘米？ （2）如图，把这个圆柱转化成一个近似的长方体。 ①长方体的长　6.28厘米　，长方体的宽　　，长方体的体积　　。 ②长方体的表面积比圆柱的表面积增加了多少平方厘米？（列式解答） 【思路点拨】（1）圆柱的侧面积是正方形；说明这个圆柱的底面周长和高相等，都是12.56厘米，根据圆的周长公式：，求出圆的半径，再根据圆柱的体积公式：，代入求解即可； （2）①把圆柱切拼成长方体，这个长方体的长等于圆柱体的底面周长的一半，宽等于圆柱体的半径，高就是圆柱的高； ②把圆柱切拼成长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个以圆柱的高为长，底面半径为宽的长方形的面积，根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）圆柱底面的半径为： （厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是157.7536立方厘米。 （2）①长方体的长为：（厘米） 长方体的宽圆柱底面的半径：2厘米 长方体的体积圆柱的体积：157.7536立方厘米 ② （平方厘米） 答：长方体的表面积比圆柱的表面积增加了50.24平方厘米。 故答案为：6.28厘米，2厘米，157.7536立方厘米。 【考点评析】此题考查了圆柱侧面展开图的特征以及圆柱的底面积、底面周长公式的实际应用及利用长方体的体积公式推导圆柱的体积公式的方法。 考点讲练07：圆柱的侧面积、表面积和体积 【精讲题】（2024春•高淳区期中）如图（单位：厘米），在一块长方形铁皮中剪如图中涂色部分，围成的圆柱体积是 　100.48　立方厘米。 【思路点拨】通过观察图形可知，圆柱的底面周长与一条底面直径的和是16.56厘米，圆柱的高是底面直径是2倍，先求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：设圆柱的底面直径为厘米。 （立方厘米） 答：围成圆柱的体积是100.48立方厘米。 故答案为：100.48。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征及应用，圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2024春•汶上县期中）用一块长宽的长方形铁皮，配上一块直径　　的圆形铁皮可以做成一个容积最大的水桶。（不计损耗，取 A．3 B．4 C．6 【思路点拨】读题可知，长方形铁皮的长为底面周长，宽为高，也可以长方形铁皮的宽为底面周长，长为高；据此分别算出相应的容积，再比对得解。 【规范解答】解：底面积周长为，高为时的容积： 底面积周长为，高为时的容积： 容积最大时水桶的底面直径： 故选：。 【考点评析】本题考查了圆柱体积计算的应用问题。 【精练题02】（2024春•方城县期中）李师傅准备用如图左边的长方形铁皮卷成一个圆柱形水桶的侧面，再从右边的铁皮中选一个作底面，可直接选用的底面有　　（接缝处忽略不计，无盖）（单位：厘米） A．①④ B．①③ C．②③ 【思路点拨】根据侧面展开图和底面周长的关系，要选择合适的底面，则底面周长要等于长方形的长或宽，根据圆的底面周长公式：，求出各个选项的底面周长，再找出等于长方形长或宽的底面周长即可。 【规范解答】解：① （厘米） 答：该圆周长和长方形的长相等。 ②正方形不符合圆柱的底面特征； ③ （厘米） ④ （厘米） 答：该圆周长和长方形的宽相等；所以可以直接选用底面有①④。 故选：。 【考点评析】本题主要考查圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长。 考点讲练08：圆锥的体积 【精讲题】（2023春•巴州区期中）如图，甲圆柱容器是空的，乙长方体容器中水深，要将乙容器中的水全部倒入甲容器，这时水深 　8　，如果倒入与这个圆柱底面积之比是的圆锥形容器中水面高 　　。 【思路点拨】首先根据长方体的体积公式：，求出乙长方体容器中水的体积，然后用水的体积除以圆柱形容器的底面积即可求出水深；求如果倒入与这个圆柱底面积之比是的圆锥形容器中水面高，把这个圆柱底面积看作1，则圆锥形容器的底面积看作5，根据圆柱体积公式，用底面积乘高再除以圆锥形容器的底面积再除以即可解答。 【规范解答】解： （厘米） （厘米） 答：这时水深8厘米，如果倒入与这个圆柱底面积之比是的圆锥形容器中水面高。 故答案为：8，4.8。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式，圆柱的体积公式，圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【精练题01】（2024春•高新区期中）下面四个立体图形，体积最大的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆柱的体积公式、正方体的体积公式、长方体的体积公式、圆锥的体积公式，分别计算出各自的体积，再比较解答。 【规范解答】解：． ． ． ． 所以，圆锥的体积最大。 故选：。 【考点评析】此题考查了圆柱、圆锥、正方体和长方体的体积公式的运用。 【精练题02】（2024春•云浮期中）如图所示，一个密闭的容器是由圆柱和圆锥组成的，圆柱和圆锥的高分别为、，容器内的液面高。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面的距离是____cm。　　 A．1 B．5 C．11 D．9 【思路点拨】根据题意，可知圆柱与圆锥等底等高，说明圆柱内6厘米高的液体的体积是这个圆锥的体积的3倍。把圆柱内2厘米高的水倒入高6厘米的圆锥容器内即可装满，则圆柱内水还剩下厘米高的液体。 【规范解答】解： （厘米） 答：从圆锥的顶点到液面的高是11厘米。 故选：。 【考点评析】此题考查了圆锥的体积、圆柱的体积，要注意公式的运用。 考点讲练09：关于圆锥的应用题 【精讲题】（2024春•金水区期中）近年来，我市不断推进道路改造工作，城市交通状况得到很大改善。 （1）道路改造所用的压路机前轮是圆柱形，轮宽，直径是。每分钟滚动10周，每分钟能压多少平方米的路面？ （2）如图是某段道路改造所用的圆锥形沙堆。用这些沙在宽的公路上铺厚的路面，能铺多少米？ 【思路点拨】（1）根据“圆柱侧面积”求出圆柱形压路机前轮面积，然后乘滚动周数即可求解； （2）根据“圆锥体积”求出圆锥形沙堆的体积，再根据“长方体体积长宽高”，用圆锥形沙堆的体积除以路面宽和高乘积即是所求长度。 【规范解答】解：（1） （平方米） 答：每分钟能压94.2平方米的路面。 （2） （米 答：能铺31.4米。 【考点评析】本题考查了圆柱侧面积、圆锥体积以及长方体体积计算的应用。 【精练题01】（2024春•利通区期中）一个圆锥形沙堆，底面直径是4米，高1米，如果每立方米沙约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（结果保留一位小数） 【思路点拨】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式，求得体积，进一步再求沙堆的重量，问题得解． 【规范解答】解：沙堆的体积： ， ， ， （立方米）， 沙堆的重量：（吨； 答：这堆沙子重6.3吨． 【考点评析】此题主要考查圆锥的体积计算公式：，运用公式计算时不要漏乘，求出体积，再用体积数乘每立方米沙的重量，问题得解． 【精练题02】（2023春•镇平县期中）爷爷把收获的麦子堆成了一个底面积为，高的圆锥形，现准备把这堆小麦装入一个底面周长为，高为的圆柱形粮囤里。装完后，小麦距离粮囤口还有多少米？ 【思路点拨】根据圆锥的体积公式，求出圆锥形小麦的体积；再根据圆柱的体积公式的变形，求出囤里小麦的高度即可得解。 【规范解答】解： （米 （米 （米 答：小麦距离粮屯口还有1.3米。 【考点评析】此题主要考查了圆锥的体积公式与圆柱的体积公式的灵活运用。 考点讲练10：组合图形的体积 【精讲题】（2024春•苏州期中）如图，容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱（如图所示）。若将这个容器倒立，则沙子的高度是 　7　厘米。 【思路点拨】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此求出圆锥容器内的沙倒入圆柱容器中沙的高，然后再加上原来圆柱内沙的高度即可。 【规范解答】解： （厘米） 答：沙子的高度是7厘米。 故答案为：7。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 【精练题01】（2024春•灌云县期中）如图，以直角梯形中边为轴，将梯形绕轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是　　立方厘米。 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意结合图示可知，这个立体图形的体积等于底面半径是4厘米、高是4厘米的圆柱的体积，加上底面半径是4厘米，高是厘米的圆锥的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（厘米） （立方厘米） 答：图形的体积是立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是组合图形的体积的应用。 【精练题02】（2024春•福清市期中）长征二号遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。 （1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？ 【思路点拨】（1）根据比例尺的意义，图上距离：实际距离比例尺，据此解答。 （2）根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 （3）这个盒子的底面边长是4分米，高是16分米，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：4分米：3.2米 分米：32分米 答：科技馆制作整流罩模型的比例是。 （2） （立方分米） 答：该整流罩模型的体积是150.72立方分米。 （3） （平方分米） 答：制作这个玻璃盒至少要288平方分米的玻璃。 【考点评析】此题主要考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，圆柱、圆锥的体积公式、长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 考点讲练11：探索某些实物体积的测量方法 【精讲题】（2024春•成武县期中）一个圆柱形容器的底面直径是，把一块不规则的石块放入这个盛水的容器中（石块完全没入水中），水面上升了，这块石块的体积是　　。 A．78.5 B．628 C．157 【思路点拨】依据题意可知，石块的体积等于底面直径是10厘米、高是2厘米的圆柱的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （立方厘米） 答：这块石块的体积是157立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 【精练题01】（2024春•灵宝市期中）“等积变形”的数学思想方法是指图形或物体的形状改变，但是面积或体积不变。下面没有运用“等积变形”这一思想方法的是　　 A．排水法求正方体的体积 B．求两个不规则图形的面积之和 C．求阴影部分面积 【思路点拨】、利用排水法求特殊物体的体积是利用“等积变形”。 、求两个不规则图形的面积，通过“转化”是利用“等积变形”。 、通过观察图形可知，阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，没有运用“等积变形”。据此解答即可。 【规范解答】解：由分析得：、都运用了“等积变形”； 没有运用“等积变形”。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握“等积变形”的原理及应用。 【精练题02】（2024春•仓山区期中）一个圆柱形玻璃容器里装有水，水中浸没着一个底面直径为，高为的圆锥形铁块（如图），如果把铁块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【思路点拨】根据圆锥的体积计算公式“”求出圆锥形铁块的体积，因为水面下降的水体积等于铁块的体积，用铁块的体积（水面下降的体积）除以圆柱形容积的底面积即可求出容器中的水面下降的高度． 【规范解答】解：， ， ， （厘米）； 答：把铁块从水中取出，容器中的水面高度将下降1.2厘米． 【考点评析】抓住下降的水的体积就等于圆锥形铁块的体积，从而求出下降的水的体积是解决本题的关键 1．（2024·陕西商洛·小升初真题）如图是一个由圆柱和圆锥黏合成的物体，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2。原来这个物体的体积是（    ）。 A．12.56cm3 B．25.12cm3 C．37.68cm3 D．50.24cm3 【答案】B 【思路点拨】根据题意，若将圆柱和圆锥分开，表面积就增加12.56cm2；那么增加的表面积是圆柱的两个底面积；先用增加的表面积除以2，求出圆柱或圆锥的底面积； 原来这个物体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【规范解答】底面积：12.56÷2＝6.28（cm2） 6.28×3＋×6.28×（6－3） ＝6.28×3＋×6.28×3 ＝18.84＋6.28 ＝25.12（cm3） 原来这个物体的体积是25.12cm3。 故答案为：B 2．（2024·山西吕梁·小升初真题）将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了（    ）。 A．0.4m2 B．0.6m2 C．0.8m2 D．0.2m2 【答案】C 【思路点拨】圆柱木头锯成同样长的3段，增加4个截面的面积，也就是圆柱的底面积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，底面积＝体积÷高，代入数据，求出圆柱的底面积，再用底面积×4，即可求出增加的面积，据此解答。 【规范解答】1.2÷6×4 ＝0.2×4 ＝0.8（m²） 将一根体积为1.2m3，长为6m的圆柱木头锯成同样长的3段，它的表面积增加了0.8m2。 故答案为：C 3．（19-20六年级下·辽宁·期中）一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【解析】将直角三角形以4cm为轴旋转，得到立体图形甲，高为4cm，底面半径为3cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以3cm为轴旋转，得到立体图形乙，高为3cm，底面半径为4cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以5cm为轴旋转，得到立体图形丙，底面半径可以借助三角形的面积4×3÷2＝5×r÷2求出，进而求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。分别算出体积后，进行比较即可得解。 【规范解答】甲的体积：×3.14×3×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 乙的体积：×3.14×4×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） 丙的体积： r＝3×4÷5＝2.4（厘米） h＋h＝5（厘米） ×3.14×2.4×h＋×3.14×2.4×h ＝×3.14×2.4×（h＋h） ＝×3.14×2.4×5 ＝30.144（立方厘米） 50.24＞37.68＞30.144，即乙的体积＞甲的体积＞丙的体积，所以乙的体积最大。 故答案为：B。 【考点评析】本题考查图形旋转的应用以及圆锥体积公式的应用。 4．（21-22六年级下·广东揭阳·期末）把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 【答案】226.08立方厘米/226.08cm3 【思路点拨】圆锥沿高切开，会增加两个切面的面积，由于增加了72平方厘米，则一个切面的面积是72÷2＝36（平方厘米），这个等腰直角三角形以斜边为底，则它的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，由于这是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的底是高的2倍，可以设高是r厘米，则底是2r厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，即2r×r÷2＝36，据此即可求出r2＝36，由此即可知道r＝6，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×，把数代入公式即可求解。 【规范解答】72÷2＝36（平方厘米） 设圆锥的底面半径是r厘米，则高也是r厘米。 2r×r÷2＝36 r2＝36 r＝6 体积：3.14×62×6×＝226.08（立方厘米） 所以圆锥的体积是226.08立方厘米。 【考点评析】本题主要考查圆锥的体积公式，关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底，那么它的长度是斜边上的高的2倍。 5．（2018·天津和平·小升初真题）有一个高6cm的圆柱，如果高增加2cm，表面积就增加62.8cm²，原来这个圆柱的体积是( )cm³。 【答案】471 【思路点拨】圆柱体的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面圆周长×高，现在高增加2cm，圆柱侧面积增加62.8cm²，底面周长＝2πr，可求出半径，再根据给出的数据即可求出本题答案。 【规范解答】圆柱底面周长＝（cm） 底面半径＝5（cm），原来的圆柱高为6cm，故这个圆柱体积为： ＝471（立方厘米） 【考点评析】本题主要考查的是圆柱体的表面积和体积，解题的关键是圆柱体高增加，增加的表面积就是侧面积，从而求出半径，最后解出答案。 6．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成的。 若用m表示一个小圆柱的侧面积，用s表示一个小圆柱的底面积。观察每幅图的表面积变化规律，那么第⑧幅图的表面积是( )。 【答案】8m＋2s 【思路点拨】通过观察图形的表面积变化规律可知：①m＋2s；②2m＋2s；③3m＋2s……，由此可得出n×m＋2s，以此解答。 【规范解答】由分析可知， ①m＋2s ②2m＋2s ③3m＋2s …… 第⑧幅图的表面积是8×m＋2s＝8m＋2s。 【考点评析】此题主要考查学生通过观察图形表面积变化总结规律的能力。 7．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积。（单位：cm） 【答案】15700立方厘米 【思路点拨】如图，将木料分成两部分，先求出高40厘米的圆柱体积，再加上高是60－40厘米圆柱体积的一半即可。 【规范解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×10×40＋3.14×10×（60－40）÷2 ＝12560＋314×20÷2 ＝12560＋3140 ＝15700（立方厘米） 【考点评析】本题考查了组合体的体积，分割后右边部分是圆柱的一半。 8．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 【答案】（1）62.8升 （2）502.4升 【思路点拨】（1）根据圆柱的体积计算公式“”即可求出这个圆柱形容器的容积是多少立方分米，再根据“立方分米与升是等量关系二者互化数值不变”转化成升。 （2）如果把这个圆锥沿高剖开，整个圆锥的剖面是一个大三角形，有水部分是一个小三角形，大三角形的高是小三角形高的2倍，则大三角形的底是小三角形底的2倍，即大圆锥的底面半径是小圆锥底面半径的2倍，则大圆锥体积是小圆锥体积的倍，即8倍，即水的体积是整个圆锥容积的。把圆锥的容积看作单位“1”，根据分数除法的意义即可解答。 【规范解答】（1） （立方分米） 62.8立方分米升 答：这个圆柱形容器的容积是62.8升。 （2）由题意可知，在圆锥底面半径是小圆锥底面半径的2倍，设小圆锥的底面半径为，则大圆锥的底面半径为 水的体积是： 圆锥的容积是： 62.8÷ ＝62.8×8 ＝502.4（升） 答：这个圆锥形容器一共能装502.4升水。 【考点评析】（1）根据公式计算即可，不难；（2）关键是求出水的体积占整个圆锥容器的几分之几，这也是解答本题的难点。 9．（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）①；② （2）150.72立方厘米（答案不唯一） 【思路点拨】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的立体图形是沙漏模型。 （2）①立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的和；②立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的差。利用圆柱和圆锥的体积公式，代入数据即可得解。 【规范解答】（1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是①；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是②。 （2）求图形①的体积： （立方厘米） 立体图形①的体积是150.72立方厘米。 10．（20-21六年级下·辽宁·期末）一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【答案】112平方厘米 【思路点拨】根据题意可知，水面升高部分等圆锥浸在水中的部分体积，升高部分的高等于水面升高减去容器里水的高度，即12－8＝4厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出浸在水中部分的圆锥的体积；水面升高到12厘米，这好是圆锥高的，则露在水面上部分的高是12厘米的小圆锥；高是圆锥的，半径也是大圆锥的；所以露出水面的小圆锥的体积是大圆锥的（）3＝；即露在水面上小圆锥体积与大圆锥的体积比是1∶8；所以浸在水中的体积是大圆锥体积的1－；再用求出圆锥在水中部分的体积，除以（1－），求出大圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷（高×）。代入数据，即可解答。 【规范解答】浸在水中部分体积： 14×14×（12－8） ＝196×4 ＝784（立方厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米；则大锥的高是12×2＝24（厘米）； 其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的； 露在水面上小圆锥的体积是大圆锥体积的（）3＝ 小圆锥体积∶大圆锥＝体积1∶8 浸在水中部分体积： （1－）＝ 784÷ ＝784× ＝896（立方厘米） 大圆锥底面积： 896÷（12×2×） ＝896÷（24×） ＝896÷8 ＝112（平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 【考点评析】解答本题的关键是明确露在水面外面的小圆锥的体积与大圆锥的体积之间的关系，即求出小圆锥是大圆锥的几分之几，进而解答问题。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$