专题02 比例（单元讲义）-2024-2025学年北师大版数学六年级下册期中考前知识串讲培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（北师大版） 专题02 比例 （导图+知识精讲+易错点拨+9大考点讲练+优选压轴题专练 共37题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大纲 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点01：比例的认识 2 知识点02：比例的应用 3 知识点03：比例尺 3 知识点04：图形的放大和缩小 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：比例的意义和基本性质 3 易错知识点02：解比例 4 易错知识点03：正比例和反比例 4 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 4 易错知识点05：其他易错点 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01：比例的意义和基本性质 5 考点讲练02：解比例 6 考点讲练03：比例的应用 9 考点讲练04：按比例分配应用题 11 考点讲练05：应用比例尺画图 14 考点讲练06：比例尺 16 考点讲练07：图形的放大与缩小 17 考点讲练08：比例尺应用题 18 考点讲练09：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 20 压轴专练 冲刺拔尖 21 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：比例的认识 1.只有比值相等的两个比才能组成比例。 2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或，那么ad=bc。 3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系 知识点02：比例的应用 1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。 2.解比例实际上就是解方程，要做好检验 知识点03：比例尺 1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。 2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。 按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。 3.比例尺的应用 图上距离：实际距离=比例尺或 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。 5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图 知识点04：图形的放大和缩小 1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。 2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。 3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小 易错知识点01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义： 表示两个比相等的式子叫作比例。比例必须是“两个比”和“一个等式”，且两个比的比值必须相等。 易错点：学生可能混淆比例和比的概念，忘记比例是由两个比值相等的比组成的，而比只有两个数（前项和后项）组成。 2. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 易错点：学生在应用比例的基本性质时，可能忘记将比例转化为“两个外项的积等于两个内项的积”的形式，或者在进行计算时出错。 易错知识点02：解比例 1. 解比例的定义：求比例中的未知项的过程，叫作解比例。 2. 解比例的方法 根据比例的基本性质，将比例转化为乘积相等的等式（方程），再求解未知数。 易错点：学生在解比例时，可能忘记将比例转化为等式，或者转化后的等式不正确，导致求解错误。 易错知识点03：正比例和反比例 1. 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例。 易错点：学生可能混淆正比例和反比例的概念，忘记正比例是比值一定，反比例是乘积一定。 2. 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 易错点：同样在于混淆正比例和反比例的概念，以及忘记反比例是乘积一定。 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 1. 比例尺的定义：比例尺就是图上距离与实际距离的比。 2. 相关公式： 比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离 图上距离 = 比例尺 × 实际距离 3. 易错点：学生可能忘记比例尺是一个最简单的整数比，或者在使用比例尺进行计算时出错。 易错知识点05：其他易错点 1. 判断两个比是否能组成比例： 方法有两种：一是根据比例的意义判断，看两个比的比值是否相等；二是根据比例的基本性质判断，看两个内项的积是否等于两个外项的积。 易错点：学生可能忘记这两种判断方法，或者在使用时出错。 2. 应用比例解决实际问题： 如根据圆的面积公式和比例关系求解小圆的面积等。 易错点：学生可能忘记将实际问题转化为比例问题，或者在进行计算时出错。 考点讲练01：比例的意义和基本性质 【精讲题】（2024春•盐城期中）下面每组中的4个数，能组成比例的是　　 A．5，3，15和12 B．5，4，2和3 C．，2，1.6和6 D．，，9和3 【思路点拨】根据比例的基本性质，比例的两内项积两外项积，各选项中的4个数，如果最大数最小数中间两数的积，则能组成比例，据此分析。 【规范解答】解：．、，，不能组成比例； ．、，，不能组成比例； ．、，，不能组成比例； ．、，，能组成比例。 能组成比例的是，，9和3。 故选：。 【考点评析】本题考查了比例的基本性质的应用。 【精练题01】（2024春•滨海县期中）下面能和组成比例的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫作比例。 【规范解答】解： ； ； ； 。 能和组成比例的是。 故选：。 【考点评析】本题考查了比例的意义。 【精练题02】（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　　． 【思路点拨】将大杯的容积设为，小杯的容积设为，根据题意可以得出，然后根据等式的基本性质可以得出，所以． 【规范解答】解：设大杯的容积为，小杯的容积为； 根据题意可以得出： ； 那么：； 答：大杯和小杯的容积之比是． 故答案为：． 【考点评析】本题关键是设出未知数，根据等量关系列出方程，然后再根据比例的基本性质进行解答． 考点讲练02：解比例 【精讲题】（2024春•湖里区期中）在下边解比例的过程中，没有用到　　 解： A．比例的基本性质 B．比的基本性质 C．等式的性质 D．整数乘、除法的计算方法 【思路点拨】根据题意可知，运用比例的基本性质将比例写成方程的形式，再根据等式的性质解方程，在计算过程中运用了整数乘、除法的计算方法，据此解答即可。 【规范解答】解：在解比例的过程中，首先使用了比例的基本性质，即内项积等于外项积，得到；然后使用了等式的性质，即在方程两边同时除以4；使用了整数乘、除法的计算方法来计算出的值。即在计算过程中，没有直接使用比的基本性质。 故选：。 【考点评析】此题考查解比例。 【精练题01】（2024春•盐城期中）解方程或比例。 【思路点拨】，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时即可； ，根据等式的性质1和2，两边同时，再同时即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时即可。 【规范解答】解： 【考点评析】本题考查了利用比例基本性质解比例的方法。 【精练题02】（2023春•渑池县期中）解比例。 【思路点拨】（1）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，先把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以； （2）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，先把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以； （3）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，先把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以0.7； （4）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，先把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以0.1； （5）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，先把比例转化为方程并去掉小括号，再利用等式的性质1，方程两边同时减去，最后方程两边同时减去4； （6）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，先把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以。 【规范解答】解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【考点评析】本题考查的是解比例，理解和运用比例的基本性质和等式的性质是解答关键。 考点讲练03：比例的应用 【精讲题】（2024•祥云县）一辆自行车，前齿轮齿数为32，后齿轮齿数为12。当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是　　转。 A．8 B．9 C．10 D．12 【思路点拨】设当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是转，根据“前轮齿数转的圈数后轮齿数转的圈数”，列方程解答。 【规范解答】解：设当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是转。 答：设当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是8转。 故选：。 【考点评析】本题考查了利用成反比例关系解决问题，明确“前轮齿数转的圈数后轮齿数转的圈数”是关键。 【精练题01】（2019春•阳东区期中）某工程队修一条水渠，每天工作6小时12天可以完成．如果工作效率不变，每天工作8小时，多少天可以完成任务？（用比例解） 【思路点拨】把总工作量看作整体“1”，根据工作效率不变，每天工作的时间和工作的天数成反比例，由此列式解答即可． 【规范解答】解：设天可以完成任务． ； 答：9天可以完成任务． 【考点评析】解答此题的关键是，根据题意，判断题中哪两种相关联的量成何比例，找出数量关系等式，列方程解答即可． 【精练题02】（2024•渝北区校级模拟）铺地砖： （1）小芳家的客厅是一个长方形，按原计划选用边长是4分米的方砖需250块．如果改用边长5分米的方砖来铺需多少块？（用比例解） （2）从价格方面考虑，选用哪种地砖较合适？（边长4分米的每块12.8元，铺每平方米手工费13元；边长5分米的每块22元，铺每平方米手工费8元）． 【思路点拨】（1）根据题意知道小芳家客厅的面积是一定的，一块方砖的面积方砖的块数小芳家客厅的面积（一定），由此判定一块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，设出未知数，列出比例解答即可． （2）先用一块方砖的面积方砖的块数求出小芳家客厅的面积，再用客厅的面积铺每平方米的手工费，算出铺这两种不同边长方砖各自的手工费；再用需要转的块数每块砖的价格算出买各自边长方砖的总钱数，再把各自的手工费和买各自边长方砖的总钱数合起来，最后比较即可． 【规范解答】解：（1）设用边长5分米的方砖来铺需块， ， ， ， ， 答：改用边长5分米的方砖来铺需160块． （2）小芳家客厅的面积：（平方分米）平方米， 用边长是4分米的方砖花的钱数：（元， 手工费：（元， 总共花钱数：（元； 用边长5分米的方砖花的钱数：（元， 手工费：（元， 总共花钱数：（元， ， 所以选用边长是4分米的方砖较合适． 答：选用边长是4分米的方砖较合适． 【考点评析】解答此题的关键是判断出一块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，还要注意单位要统一，要想判定用那种合适，就要先算出用砖钱数及手工费，共花多少，再进行比较即可． 考点讲练04：按比例分配应用题 【精讲题】（2024秋•信州区期中）下面说法正确的有　　个。 ①一个三角形的内角度数比是，这个三角形是锐角三角形。 ②店在店的西偏北方向200米处，则店在店的东偏南方向200米处。 ③如果是的，则。 ④增加是。 ⑤某次校园足球比赛的比分是，说明比的后项可以是0。 A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】①根据锐角三角形的特征可知，在三角形中，3个角都是锐角的三角形是锐角三角形，三角形的内角和是，利用按比例分配的方法，求出这个三角形最大角的度数，即可确定这个三角形是否是锐角三角形。 ②根据利用方向和距离确定物体位置的方法，先确定参照物的位置，再利用方向和距离确定其其他物体的位置。由此可知，店在店的西偏北方向200米处，则店在店的东偏南方向200米处。据此判断。 ③根据求一个数是另一个数的几分之几的方法，先确定单位“1”，看作单位“1”的数作除数。由此可知，如果是的，则。据此判断。 ④把24千克看作单位“1”，24千克增加是30千克。据此判断。 ⑤根据生活经验可知，在足球、篮球、乒乓球比赛中，两队比赛的比分可以用“几”比“几”表示，这种计分方法不是数学中所学习的“比”。据此判断。 【规范解答】解：由分析得： ① 所以这个三角形是锐角三角形。原题说法正确； ②店在店的西偏北方向200米处，则店在店的东偏南方向200米处。此说法正确； ③如果是的，则是的。原题说法错误； ④ （千克） 原题说法错误； ⑤在足球、篮球、乒乓球比赛中，两队比赛的比分可以用“几”比“几”表示，这种计分方法不是数学中所学习的“比”。数学中比的后项不能为0。原题说法错误。 所以说法正确的有2个。 故选：。 【考点评析】此题考查的知识点比较多，目的是培养学生认真审题、分析数量关系，解决实际问题的能力。 【精练题01】（2023秋•北仑区期末）甲、乙两个正方体的体积之和是70立方厘米，乙棱长和甲棱长的比为。那么甲、乙两个正方体的体积分别是 　54立方厘米　和 　　。 【思路点拨】根据正方体的体积公式：，乙的棱长与甲的棱长的比为，乙的体积与甲的体积的比是，再根据按比例分配的方法解答即可。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：甲正方体的体积是54立方厘米，乙正方体的体积是16立方厘米。 故答案为：54立方厘米，16立方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，比的意义及应用，按比例分配的方法及应用，关键是求出两个正方体体积的比。 【精练题02】（2024秋•兰山区期中）学校买来370本故事书，先拿出总本书的捐给希望工程，剩下的按的比分给五、六两个年级。五、六年级各分得多少本故事书？ 【思路点拨】把学校买了故事书的本数看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出捐给希望工程的本数，再求出剩下的本数，然后利用按比例分配的方法解答。 【规范解答】解： （本 （本 （本 （本 答：五年级分得120本，六年级分得150本。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握一个数乘分数的意义及应用，按比例分配的方法及应用。 考点讲练05：应用比例尺画图 【精讲题】（2024•永康市）以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置． （1）学校在小明家北偏东的方向上，距离小明家2千米处． （2）书店在小明家西偏南的方向上，距离小明家3千米处． 【思路点拨】图上距离1厘米表示实际距离1千米，于是即可求出它们之间的图上距离，进而依据它们之间的方向关系，即可在图上标出它们的位置． 【规范解答】解：（厘米） （厘米） 又因学校在小明家北偏东的方向上， 书店在小明家西偏南的方向上， 所以它们的位置如图所示： 【考点评析】此题主要考查线段比例尺的意义，以及依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法． 【精练题01】（2024•榕城区校级模拟）一块半圆形的花圃，直径为40米，请你按的比例尺将这花圃的平面图画出来，并求出图上面积。 【思路点拨】实际距离和比例尺已知，已知“图上距离实际距离比例尺”即可求出花坛的直径的图上距离，进而求出花坛的半径的图上距离，从而依据圆的基本画法即可完成解答。 【规范解答】解：因为40米厘米，则（厘米）。 （厘米） 所以以任意一点为圆心，以2厘米长的线段为半径，即可画出这个花坛的平面图： （平方厘米） 答：图上面积是6.28平方厘米。 【考点评析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及圆的基本画法，结合题意分析解答即可。 【精练题02】（2024春•方城县期中）小明家正西方向400米是动物园，动物园正北方向400米是书店，书店正东方向800米是科技馆，科技馆西偏南方向400米是沃尔玛超市。请按图中比例尺，画出上述地点的位置平面图。 【思路点拨】用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离。根据图上距离实际距离比例尺，先求出图上距离，根据上北下南左西右东确定好方向，作图即可。 【规范解答】解：400米厘米、（厘米） 800米厘米、（厘米） 【考点评析】本题考查比例尺的实际应用。 考点讲练06：比例尺 【精讲题】（2024春•庐江县期中）一幅地图的比例尺是，如果零件图上长5厘米，则实际长　　 A．4厘米 B．100厘米 C．0.25厘米 【思路点拨】根据实际距离图上距离比例尺，解答即可。 【规范解答】解：（厘米） 答：实际长0.25厘米。 故选：。 【考点评析】本题主要考查了比例尺的意义，要熟练掌握。 【精练题01】（2024春•漳浦县期中）2023年第三艘航母舰“福建号”开展了海试，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量有8万余吨。如果要把“福建号”画在纸上，选择用　　的比例尺比较合适。 A． B． C． D． 【思路点拨】根据实际距离比例尺图上距离，用320米乘各个选项中的比例尺，求出图上距离，然后再进一步解答。 【规范解答】解：320米厘米 ．（厘米），不符合； ．（厘米），不符合； ．（厘米），符合； ．（厘米），不符合。 故选：。 【考点评析】本题考查比例尺的应用，熟练掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。 【精练题02】（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是的地图上量的两地长6厘米，两地的实际距离是　120　千米，把两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　　，两地长240千米，画在第二幅地图上长　　厘米． 【思路点拨】根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值即可求两地间的实际距离，根据比例尺图上距离实际距离，代入数值计算出第二幅地图的比例尺，进而根据“实际距离比例尺图上距离”即可解答第三问． 【规范解答】解：（厘米） 12000000厘米千米 240千米厘米 （厘米） 答：两地的实际距离是120千米，第二幅地图的比例尺是，两地长240千米，画在第二幅地图上长24厘米． 故答案为：120，，24． 【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．要注意单位的统一． 考点讲练07：图形的放大与缩小 【精讲题】（2024春•金水区期中）把一个边长的正方形按放大后的正方形面积是　　。 A．25 B．50 C．100 D．250 【思路点拨】依据题意可知，放大后的正方形的边长为厘米，利用正方形的面积边长边长，由此解答本题。 【规范解答】解：放大后的正方形的边长：（厘米） （平方厘米） 答：正方形的面积是100平方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是图形的放大的应用。 【精练题01】（2024春•廉江市期中）小明把一个边长3厘米的正方形按的比放大，放大后的正方形面积是　　平方厘米。 A．12 B．9 C．18 D．36 【思路点拨】把一个边长3厘米的正方形按的比放大，则放大后的正方形的边长是厘米；接下来再根据“正方形的面积边长边长”列式计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （平方厘米） 故选：。 【考点评析】本题是一道有关图形放大的题目，关键在于确定放大后正方形的边长。 【精练题02】（2024春•东海县期中）图形的放大与缩小． （1）按的比画出三角形放大后的图形． （2）按的比画出长方形缩小后的图形． 【思路点拨】（1）按照画图，就是把已知的图形的底与高分别扩大3倍，原来的底是2格，高是2格，则放大后的底与高都是格，据此即可画图． （2）按照画图，就是把已知的长方形的长与宽分别缩小2倍，原来的长与宽分别是6格、4格，所以缩小后的长与宽就是格，格，据此即可画图． 【规范解答】解： 【考点评析】此题主要考查图形的放大与缩小，根据放大与缩小的比例，分别求出放大或缩小后的底与高的值，即可画图． 考点讲练08：比例尺应用题 【精讲题】（2024春•伊通县期中）一个圆形花坛，按缩小后画在图纸上，直径是，花坛实际占地面积是　　。 A．3.14 B．6.28 C．314 D．12.56 【思路点拨】先根据比例尺的意义，求出实际的直径，然后运用圆面积公式解决问题。 【规范解答】解：实际直径：（厘米） 200厘米米 占地面积： （平方米） 答：花坛实际占地面积是3.14平方米。 故选：。 【考点评析】本题考查了两个知识点：实际距离图上距离比例尺，圆面积公式。 【精练题01】（2024春•西安期中）故宫是中国明清两代的皇家宫殿，旧称紫禁城，位于北京中轴线的中心。它的南北长约，东西宽约。把它画在比例尺是的图纸上，长应画 　3.2　，宽应画 　　。 【思路点拨】根据“实际距离比例尺图上距离”，代入数值，计算即可。 【规范解答】解： （厘米） （厘米） 答：长应画，宽应画。 故答案为：3.2，2.5。 【考点评析】此题做题的关键是：根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系，代入数字，进行解答，即可得出。 【精练题02】（2024春•福清市期中）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是9.6厘米，一架飞机以平均每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，上午10时出发，下午几时可以达到乙地？ 【思路点拨】图上距离和比例尺已知，首先根据“实际距离图上距离比例尺”，求出甲、乙两地的距离，然后根据数量关系式：时间路程速度即可解决此题． 【规范解答】解：（厘米） 240000000厘米千米 （小时） 10时时时，即下午1时； 答：下午1时可以达到乙地． 【考点评析】此题主要考查比例尺的定义，以及速度、时间、路程三者之间的关系． 考点讲练09：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 【精讲题】（2024春•湖里区期中）在比例尺是的图纸上，量得零件的长是80毫米，零件的实际长度是　　 A．8厘米 B．800毫米 C．8毫米 D．8米 【思路点拨】求这个零件实际长是多少毫米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，计算即可。 【规范解答】解：（毫米） 答：零件的实际长度是8毫米。 故选：。 【考点评析】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 【精练题01】（2024春•汶上县期中）在一幅比例尺为的地图上量得甲地到乙地的距离是，甲地到乙地的实际距离是 　510　。 【思路点拨】利用图上距离除以比例尺即可得到实际距离。 【规范解答】解：（千米） 答：甲地到乙地的实际距离是。 故答案为：510。 【考点评析】本题考查了比例尺的应用。 【精练题02】（2023春•永吉县期中）学校要挖一个长方体的水池，在比例尺是的设计图上，水池的长为12厘米，宽为10厘米，深为2厘米． （1）按图上施工，这个水池的长、宽、高各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 【思路点拨】（1）图上距离和比例尺已知，依据“实际距离图上距离比例尺”即可分别求出水池的长、宽、深的实际长度； （2）利用长方形的面积公式，用水池的实际的长和宽的长度相乘，即可得解． 【规范解答】解：（1）（厘米）（米 （厘米）（米 （厘米）（米 答：按图施工，这个水池的长应挖24米，宽应挖20米，深应挖4米． （2）（平方米）； 答：这个水池的占地面积是480平方米． 【考点评析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及长方形的面积的计算方法． 1．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【规范解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 2．（21-22六年级下·广东揭阳·期末）一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（    ）cm。 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【思路点拨】圆柱的底面积比圆锥的底面积多，圆柱的底面积等于圆锥的底面积×（1＋）；即圆柱的底面积＝圆锥的底面积；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；由此可知，圆柱的体积＝圆锥底面积×高；圆锥的体积＝圆锥底面积×36×；圆锥的体积与圆柱的体积比是4∶5，进而求出圆柱的高，据此解答。 【规范解答】设圆柱的高是hcm；圆锥的底面积是scm2。 圆柱的底面积：（1＋）s＝s（cm2） s×36×∶s×h＝4∶5 s×4×h＝12×s×5 6h＝60 h＝60÷6 h＝10 一个圆锥和一个圆柱体积的比是4∶5，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是10cm。 故答案为：A 【考点评析】熟练掌握比的意义，圆柱的体积公式、圆锥的体积公式，以及比例的基本性质是解答本题的关键。 3．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）将一个三角形按1 ：3缩小得到的三角形的面积是原三角形面积的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【解析】首先三角形的面积=底×高×，三角形按1 ：3缩小，底缩小到原来的，高缩小到原来的，所以面积缩小为原来的。 【规范解答】三角形按1 ：3缩小，底和高都缩小为原来的 ×= 故答案为：C 【考点评析】本题考查比例的应用，注意图形的放大和缩小，只改变大小，不改变形状。 4．（19-20六年级下·陕西西安·期末）a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 【答案】3∶10； 【思路点拨】b是c的，即b＝c，又a与b的比是3∶4，将b用c进行等量代换，所以a∶c＝3∶4，化简即可得a∶c的值；求a比c少几分之几，先求出（c－a），再除以c即可。 【规范解答】因为b＝c，a∶b＝3∶4，所以 a∶c＝3∶4 c＝4a a∶c＝3∶10 a为3份，c为10份 则a比c少几分之几列式为： （10－3）÷10 ＝7÷10 ＝ 【考点评析】本题属于求多个数的连比和一个数比另一个数少几分之几的问题，要掌握等量代换的方法。 5．（2022·四川成都·小升初真题）育才学校学生中男生占60%，教师中男教师占15%，全校师生男女人数比为9∶8，这个小学的师生人数比为（ ∶ ）。 【答案】 8 43 【思路点拨】根据题意，设全校教师有x人，其中男教师占15%，即男教师有15%x人，女教师有（1－15%）x人，学生有y人，其中男生占60%，即男生有60%y人，女生有（1－60%）y人，再根据全校师生男女人数之比，列出比例，再化简出x与y之比即可。 【规范解答】设全校教师有x人，学生有y人 则男教师有15%x人，女教师有（1－15%）x＝85%x人；男生有60%y人，女生有（1－60%）y＝40%y人 （15%x＋60%y）∶（85%x＋40%y）＝9∶8 8×（15%x＋60%y）＝9×（85%x＋40%y） 1.2x＋4.8y＝7.65x＋3.6y 4.8y－3.6y＝7.65x－1.2x 1.2y＝6.45x x∶y＝1.2∶6.45 x∶y＝8∶43 所以这个小学的师生人数比为8∶43。 【考点评析】本题考查比例的应用，先通过设未知数来表示男、女教师和男、女生的人数，根据它们的比，再列出比例即可求解。 6．（2019·辽宁·小升初模拟）解方程。 x∶（x－54）＝×（1－）∶（1－）      7（x＋6)－3x＝4（2x＋5） 【答案】x＝；x＝5.5 7．（2023·陕西西安·小升初真题）一艘货轮要把货物从下游的A地运往上游的B地，同时从B地有一条无动力漂流观景船同时出发，随江水漂向A地。货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达B地。一周后，货轮和观景船仍然分别从A地和B地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也提高了一半，结果货轮行驶了千米后遇到观景船。求AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静水速度？ 【答案】路程96千米；货轮原先的静水速度18千米/小时 【思路点拨】设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米， 第一次相遇用时， 第二次相遇用时 ，即 又知道第二次的水速是第一次的2倍，即第一次漂流的速度与第二次漂流的速度的比是1∶2                                                                                                                                                    根据因此，两次漂流距离比为 ，解方程可得AB两地之间的路程为96千米。 根据用（千米/时）货轮原先的逆流速度，再根据，用得到第一次相遇的时间，再根据用漂流观景船的路程除以遇上时间得水流速度，再加货轮的逆流速度即可得货轮原先的静水速度。据此解答。 【规范解答】解：设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米， 第一次相遇用时， 第二次相遇用时                                                                                                                                                     即两次漂流距离比为 （千米/时） （千米/小时） 答：AB两地之间的路程为96千米；货轮原先的静水速度为18千米/小时。 【考点评析】轮船逆流的速度等于它的静水速度减水流速度，根据相遇问题、一般的路程问题的关系式，确定两次漂流距离的比。 8．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】22.5千米 【思路点拨】本题的关键是“相遇后乙走的路程”。由题意知，相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。相遇后，甲乙速度之比为（3×120%）∶（2×130%）＝18∶13；时间相同，路程比等于速度比，当甲走完剩下路程的时，乙又走完全程的×＝，这时离A还有全程的－＝，也就是7千米，由此可求出全程是多少，把全程看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算解答。 【规范解答】相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。他们第一次相遇后，甲的速度∶乙的速度 ＝[3×（1＋20%）]∶[2×（1＋30%）] ＝[3×120%]∶[2×130%] ＝3.6∶2.6 ＝（3.6×5）∶（2.6×5） ＝18∶13 7÷（－×） ＝7÷（－） ＝7÷（－） ＝7÷ ＝7× ＝22.5（千米） 答：A、B两地间的距离是22.5千米。 【考点评析】本题主要考查了较复杂的相遇问题，正确理解速度、时间、路程之间的关系式，以及利用百分数和比例的知识进行解答。 9．（18-19六年级下·四川成都·期末）如图1，一个底面积为100cm2，高为20cm的长方体水盒内有一个高相同的圆柱形水杯，以不变的水流速度先向水杯中注水，注满水杯后，继续注水，直到注满整个盒子。盒子内水面上升的高度h与注水时间t的关系如图2。 （1）求水杯的底面积。 （2）求注水速度（cm3/秒）。（计算时，容器的厚度与体积均忽略不计） 【答案】（1）20平方厘米 （2）平方厘米/秒 【思路点拨】（1）根据水面上升的高度h与注水时间t的图象关系可知：注满圆柱水杯用12秒，注满长方体水盒用60秒，水杯与水盒的高度相同，注水的速度相同，那么水杯的底面积与水盒的底面积的比等于注满水杯的时间与注满水盒的时间比，即：水杯底面积∶100＝12∶60，即可求出水杯的底面积； （2）根据长方体的体积，底面积×高，求出长方体的体积，注面长方体的体积需要时间是60秒，用长方体的体积÷60，就是每秒钟注水的速度，即可解答。 【规范解答】（1）根据分析可知：水杯底面积∶100＝12∶60 水杯底面积：100×＝20（平方厘米） 答：水杯底面积是20平方厘米。 （2）100×20÷60 ＝2000÷60 ＝（平方厘米/秒） 答：注水的速度是平方厘米/秒。 【考点评析】本题考查比例的基本性质以及长方体体积公式的应用。 10．（2022·陕西渭南·小升初真题）按要求在方格纸上画一画。 （1）将图①先向右平移8格，再向下平移3格 （2）以虚线MN为对称轴，画出图②的轴对称图形的另一半。 （3）将图③绕点O逆时针旋转 （4）将图③缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）看清平移的方向和距离，画出平移后的图形即可； （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可； （3）根据旋转的特征，三角形绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （4）将图③的底和高同时缩小到原来的，画出缩小后的图形。 【规范解答】如图： 【考点评析】本题考查了图形的平移、画轴对称图形、旋转、图形的放大与缩小，关键是能准确画图。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期中考前知识串讲培优讲练（北师大版） 专题02 比例 （导图+知识精讲+易错点拨+9大考点讲练+优选压轴题专练 共37题） 讲义说明 学前指导 2 导图指引 考点大纲 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点01：比例的认识 2 知识点02：比例的应用 3 知识点03：比例尺 3 知识点04：图形的放大和缩小 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：比例的意义和基本性质 3 易错知识点02：解比例 4 易错知识点03：正比例和反比例 4 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 4 易错知识点05：其他易错点 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练01：比例的意义和基本性质 5 考点讲练02：解比例 5 考点讲练03：比例的应用 6 考点讲练04：按比例分配应用题 7 考点讲练05：应用比例尺画图 8 考点讲练06：比例尺 9 考点讲练07：图形的放大与缩小 9 考点讲练08：比例尺应用题 9 考点讲练09：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 10 压轴专练 冲刺拔尖 11 同学你好！学期已经过半，相信你一定学有所获，准备一展身手！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于期中复习及单元复习使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校期中真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：比例的认识 1.只有比值相等的两个比才能组成比例。 2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或，那么ad=bc。 3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系 知识点02：比例的应用 1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。 2.解比例实际上就是解方程，要做好检验 知识点03：比例尺 1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。 2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。 按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。 3.比例尺的应用 图上距离：实际距离=比例尺或 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。 5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图 知识点04：图形的放大和缩小 1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。 2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。 3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小 易错知识点01：比例的意义和基本性质 1. 比例的意义： 表示两个比相等的式子叫作比例。比例必须是“两个比”和“一个等式”，且两个比的比值必须相等。 易错点：学生可能混淆比例和比的概念，忘记比例是由两个比值相等的比组成的，而比只有两个数（前项和后项）组成。 2. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 易错点：学生在应用比例的基本性质时，可能忘记将比例转化为“两个外项的积等于两个内项的积”的形式，或者在进行计算时出错。 易错知识点02：解比例 1. 解比例的定义：求比例中的未知项的过程，叫作解比例。 2. 解比例的方法 根据比例的基本性质，将比例转化为乘积相等的等式（方程），再求解未知数。 易错点：学生在解比例时，可能忘记将比例转化为等式，或者转化后的等式不正确，导致求解错误。 易错知识点03：正比例和反比例 1. 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例。 易错点：学生可能混淆正比例和反比例的概念，忘记正比例是比值一定，反比例是乘积一定。 2. 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 易错点：同样在于混淆正比例和反比例的概念，以及忘记反比例是乘积一定。 易错知识点04：比例尺和图上距离与实际距离的关系 1. 比例尺的定义：比例尺就是图上距离与实际距离的比。 2. 相关公式： 比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离 图上距离 = 比例尺 × 实际距离 3. 易错点：学生可能忘记比例尺是一个最简单的整数比，或者在使用比例尺进行计算时出错。 易错知识点05：其他易错点 1. 判断两个比是否能组成比例： 方法有两种：一是根据比例的意义判断，看两个比的比值是否相等；二是根据比例的基本性质判断，看两个内项的积是否等于两个外项的积。 易错点：学生可能忘记这两种判断方法，或者在使用时出错。 2. 应用比例解决实际问题： 如根据圆的面积公式和比例关系求解小圆的面积等。 易错点：学生可能忘记将实际问题转化为比例问题，或者在进行计算时出错。 考点讲练01：比例的意义和基本性质 【精讲题】（2024春•盐城期中）下面每组中的4个数，能组成比例的是　　 A．5，3，15和12 B．5，4，2和3 C．，2，1.6和6 D．，，9和3 【精练题01】（2024春•滨海县期中）下面能和组成比例的是　　 A． B． C． D． 【精练题02】（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　　． 考点讲练02：解比例 【精讲题】（2024春•湖里区期中）在下边解比例的过程中，没有用到　　 解： A．比例的基本性质 B．比的基本性质 C．等式的性质 D．整数乘、除法的计算方法 【精练题01】（2024春•盐城期中）解方程或比例。 【精练题02】（2023春•渑池县期中）解比例。 考点讲练03：比例的应用 【精讲题】（2024•祥云县）一辆自行车，前齿轮齿数为32，后齿轮齿数为12。当前齿轮转数是3转时，后齿轮转数是　　转。 A．8 B．9 C．10 D．12 【精练题01】（2019春•阳东区期中）某工程队修一条水渠，每天工作6小时12天可以完成．如果工作效率不变，每天工作8小时，多少天可以完成任务？（用比例解） 【精练题02】（2024•渝北区校级模拟）铺地砖： （1）小芳家的客厅是一个长方形，按原计划选用边长是4分米的方砖需250块．如果改用边长5分米的方砖来铺需多少块？（用比例解） （2）从价格方面考虑，选用哪种地砖较合适？（边长4分米的每块12.8元，铺每平方米手工费13元；边长5分米的每块22元，铺每平方米手工费8元）． 考点讲练04：按比例分配应用题 【精讲题】（2024秋•信州区期中）下面说法正确的有　　个。 ①一个三角形的内角度数比是，这个三角形是锐角三角形。 ②店在店的西偏北方向200米处，则店在店的东偏南方向200米处。 ③如果是的，则。 ④增加是。 ⑤某次校园足球比赛的比分是，说明比的后项可以是0。 A．0 B．1 C．2 D．3 【精练题01】（2023秋•北仑区期末）甲、乙两个正方体的体积之和是70立方厘米，乙棱长和甲棱长的比为。那么甲、乙两个正方体的体积分别是 　 　和 　　。 【精练题02】（2024秋•兰山区期中）学校买来370本故事书，先拿出总本书的捐给希望工程，剩下的按的比分给五、六两个年级。五、六年级各分得多少本故事书？ 考点讲练05：应用比例尺画图 【精讲题】（2024•永康市）以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置． （1）学校在小明家北偏东的方向上，距离小明家2千米处． （2）书店在小明家西偏南的方向上，距离小明家3千米处． 【精练题01】（2024•榕城区校级模拟）一块半圆形的花圃，直径为40米，请你按的比例尺将这花圃的平面图画出来，并求出图上面积。 【精练题02】（2024春•方城县期中）小明家正西方向400米是动物园，动物园正北方向400米是书店，书店正东方向800米是科技馆，科技馆西偏南方向400米是沃尔玛超市。请按图中比例尺，画出上述地点的位置平面图。 考点讲练06：比例尺 【精讲题】（2024春•庐江县期中）一幅地图的比例尺是，如果零件图上长5厘米，则实际长　　 A．4厘米 B．100厘米 C．0.25厘米 【精练题01】（2024春•漳浦县期中）2023年第三艘航母舰“福建号”开展了海试，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量有8万余吨。如果要把“福建号”画在纸上，选择用　　的比例尺比较合适。 A． B． C． D． 【精练题02】（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是的地图上量的两地长6厘米，两地的实际距离是　 　千米，把两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　　，两地长240千米，画在第二幅地图上长　　厘米． 考点讲练07：图形的放大与缩小 【精讲题】（2024春•金水区期中）把一个边长的正方形按放大后的正方形面积是　　。 A．25 B．50 C．100 D．250 【精练题01】（2024春•廉江市期中）小明把一个边长3厘米的正方形按的比放大，放大后的正方形面积是　　平方厘米。 A．12 B．9 C．18 D．36 【精练题02】（2024春•东海县期中）图形的放大与缩小． （1）按的比画出三角形放大后的图形． （2）按的比画出长方形缩小后的图形． 考点讲练08：比例尺应用题 【精讲题】（2024春•伊通县期中）一个圆形花坛，按缩小后画在图纸上，直径是，花坛实际占地面积是　　。 A．3.14 B．6.28 C．314 D．12.56 【精练题01】（2024春•西安期中）故宫是中国明清两代的皇家宫殿，旧称紫禁城，位于北京中轴线的中心。它的南北长约，东西宽约。把它画在比例尺是的图纸上，长应画 　　，宽应画 　　。 【精练题02】（2024春•福清市期中）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是9.6厘米，一架飞机以平均每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，上午10时出发，下午几时可以达到乙地？ 考点讲练09：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用） 【精讲题】（2024春•湖里区期中）在比例尺是的图纸上，量得零件的长是80毫米，零件的实际长度是　　 A．8厘米 B．800毫米 C．8毫米 D．8米 【精练题01】（2024春•汶上县期中）在一幅比例尺为的地图上量得甲地到乙地的距离是，甲地到乙地的实际距离是 　　。 【精练题02】（2023春•永吉县期中）学校要挖一个长方体的水池，在比例尺是的设计图上，水池的长为12厘米，宽为10厘米，深为2厘米． （1）按图上施工，这个水池的长、宽、高各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 1．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 2．（21-22六年级下·广东揭阳·期末）一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（    ）cm。 A．10 B．20 C．30 D．40 3．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）将一个三角形按1 ：3缩小得到的三角形的面积是原三角形面积的（    ）。 A． B． C． 4．（19-20六年级下·陕西西安·期末）a与b的比是3∶4，b是c的，则（    ），a比c少。 5．（2022·四川成都·小升初真题）育才学校学生中男生占60%，教师中男教师占15%，全校师生男女人数比为9∶8，这个小学的师生人数比为（ ∶ ）。 6．（2019·辽宁·小升初模拟）解方程。 x∶（x－54）＝×（1－）∶（1－）      7（x＋6)－3x＝4（2x＋5） 7．（2023·陕西西安·小升初真题）一艘货轮要把货物从下游的A地运往上游的B地，同时从B地有一条无动力漂流观景船同时出发，随江水漂向A地。货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达B地。一周后，货轮和观景船仍然分别从A地和B地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也提高了一半，结果货轮行驶了千米后遇到观景船。求AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静水速度？ 8．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 9．（18-19六年级下·四川成都·期末）如图1，一个底面积为100cm2，高为20cm的长方体水盒内有一个高相同的圆柱形水杯，以不变的水流速度先向水杯中注水，注满水杯后，继续注水，直到注满整个盒子。盒子内水面上升的高度h与注水时间t的关系如图2。 （1）求水杯的底面积。 （2）求注水速度（cm3/秒）。（计算时，容器的厚度与体积均忽略不计） 10．（2022·陕西渭南·小升初真题）按要求在方格纸上画一画。 （1）将图①先向右平移8格，再向下平移3格 （2）以虚线MN为对称轴，画出图②的轴对称图形的另一半。 （3）将图③绕点O逆时针旋转 （4）将图③缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$