信息必刷卷01（江西专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（江西专用） 考情速递 中考·新动向：核心概念深化：加强与高中紧密结合内容的考察；数学思想突出：更强调对数学思想的考察；题材与时俱进：引入科技社会热点话题；注重综合素质：关注学生跨学科创新能力等综合素质。 中考·新考法： 增加开放性题目：鼓励学生从不同角度思考问题，答案不唯一，注重解题过程而非单一结果； 融合跨学科知识：如结合物理、化学等学科的背景设置数学问题，考查综合运用能力。调整难度：基础题占比提高，确保所有考生都能完成基础题，体现教育公平；难题设置更具挑战性，注重思维深度和解题策略，减少机械计算题。 中考·新情境： 传统文化情境：从传统图案排列、节气周期等提取数列规律题等，将传统文化与数学知识相结合。科技前沿情境：在AI数据处理场景下，考察数据分布、概率计算等；以春晚中的科技表演，如无人机编队或光影秀等为背景，设计相关数学问题。 命题·大预测： 试卷结构稳定：数与代数、图形与几何、统计概率三大板块分值有范围，难度系数、试卷结构等相对稳定。 代数部分：实数概念、运算，方程，不等式，函数等是高频考点，题型有变化，考点会轮换。 几何部分：三角形、特殊平行四边形、圆、解直角三角形等是重点，每年必考，作图题对学生能力要求高。 函数部分：一次、反比例、二次函数是重点，常与几何综合。 综合实践：常考菱形、直角三角形等性质，源于课本，注重探究能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面各数中，比小的数是（    ） A．4 B． C． D．1 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（   ）      A．   B．   C．   D．   4．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 5．关于二次函数与，若在同一平面直角坐标系内画出它们的图象，则下列说法不正确的是（    ） A．抛物线与的对称轴都是轴 B．抛物线与关于直线成轴对称 C．抛物线向下平移2个单位得到 D．抛物线与关于点成中心对称 6．如图，矩形中，，，点E在矩形的边上，则当的一个内角度数为时，符合条件的点E的个数共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 8．人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为 ． 9．如图，过正五边形的顶点E作，分别交，的延长线于点M，N，则 ․ 10．如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 11．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“ ”表示的数是6708，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是 ． 12．如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算： （2）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连结，点F为线段上一点，且．求证：． 14．先化简，再求值：，并从0，1，3中选一个合适数代入求值． 15．光纤通信是利用光在纤维材料中多次全反射传输信息的，光纤通信的主要部件是光导纤维．如图，光导纤维是由纤芯和包层组成的．光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤，现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． (1)“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图法或列表法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 16．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺．在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图中的线段上找一点，使； (2)在图中的线段上找一点，使． 17．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校共有个班，该校体育社团准备从商场一次性购买副羽毛球拍和乒乓球拍，若购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元；购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元． (1)求购进羽毛球拍，乒乓球拍每副各需多少元？ (2)在（1）的条件下，若该校要把购买这批球拍的费用控制在元以内（含元），且每个班的羽毛球拍不少于副，则购买方案有几种，最少费用为多少元？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程． 【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“60”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分． 【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示： 【分析数据】 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 第1小组 4 5 第2小组 5 第3小组 3 请根据以上信息，解答下列问题： (1)①请直接补全第1小组得分条形统计图； ②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为___________度； (2)直接写出___________，___________； (3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 19．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米． (1)当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米) (2)在风叶旋转的过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， ) 20．如图1，反比例函数的图象过点，直线与y轴交于点B． (1)求k和m的值． (2)如图2，若直线与反比例函数的图象只有一个公共点C． ①求反比例函数的解析式； ②求证：． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．如图，在中，，以为直径的与线段交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①判断的形状； ②连接，求的长． 22．抛物线：中（是常数，且），函数值与自变量x之间的部分对应关系如下表： x … 0 1 2 … y₁ … m n … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； (2)求抛物线的解析式及m，n的值； (3)现将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线：，试求的解析式； (4)在（3）的条件下，将抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B． ①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不少于6个单位长度？ ②在最初的状态下，若向下平移个单位时，对应的线段长为n，请直接写出m与n的等量关系． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点， ①求证：； ②若时，则____． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（江西专用） 考情速递 中考·新动向：核心概念深化：加强与高中紧密结合内容的考察；数学思想突出：更强调对数学思想的考察；题材与时俱进：引入科技社会热点话题；注重综合素质：关注学生跨学科创新能力等综合素质。 中考·新考法： 增加开放性题目：鼓励学生从不同角度思考问题，答案不唯一，注重解题过程而非单一结果； 融合跨学科知识：如结合物理、化学等学科的背景设置数学问题，考查综合运用能力。调整难度：基础题占比提高，确保所有考生都能完成基础题，体现教育公平；难题设置更具挑战性，注重思维深度和解题策略，减少机械计算题。 中考·新情境： 传统文化情境：从传统图案排列、节气周期等提取数列规律题等，将传统文化与数学知识相结合。科技前沿情境：在AI数据处理场景下，考察数据分布、概率计算等；以春晚中的科技表演，如无人机编队或光影秀等为背景，设计相关数学问题。 命题·大预测： 试卷结构稳定：数与代数、图形与几何、统计概率三大板块分值有范围，难度系数、试卷结构等相对稳定。 代数部分：实数概念、运算，方程，不等式，函数等是高频考点，题型有变化，考点会轮换。 几何部分：三角形、特殊平行四边形、圆、解直角三角形等是重点，每年必考，作图题对学生能力要求高。 函数部分：一次、反比例、二次函数是重点，常与几何综合。 综合实践：常考菱形、直角三角形等性质，源于课本，注重探究能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面各数中，比小的数是（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：A、由正数大于一切负数可知，不符合题意； B、由两个负数比较大小，绝对值大的数反而小可知，，符合题意； C、由两个负数比较大小，绝对值大的数反而小可知，，不符合题意； D、由正数大于一切负数可知，不符合题意； 故选：B． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式等知识点．根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式运算法则运算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解． 【详解】解：该立体图形的左视图是   ， 故选：D． 4．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后把前面的值代入即可求出其值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故选：A． 5．关于二次函数与，若在同一平面直角坐标系内画出它们的图象，则下列说法不正确的是（    ） A．抛物线与的对称轴都是轴 B．抛物线与关于直线成轴对称 C．抛物线向下平移2个单位得到 D．抛物线与关于点成中心对称 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．根据二次函数的图象与性质，二次函数的平移以及中心对称的知识，逐一判断即可． 【详解】解：A、抛物线与的对称轴都是轴，故该选项正确； B、设点在抛物线上，则点直线对称的点的坐标为，将代入可得：，即点在抛物线上，故抛物线与关于直线成轴对称，故该选项正确； C、抛物线向下平移2个单位得到，而不是，故该选项错误； D、设点在抛物线上，则点关于对称的点的坐标为，将代入可得：，即点在抛物线上，故抛物线与关于成中心对称，故该选项正确； 故选：C． 6．如图，矩形中，，，点E在矩形的边上，则当的一个内角度数为时，符合条件的点E的个数共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】题目主要考查矩形的性质及勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理及解三角形，根据题意，分三种情况分析，即可求解，根据题意作出相应图形是解题关键． 【详解】解：如图所示，当时，如图所示： ， ∴， 设，则， ∴即， 解得：， ∴对应的存在点满足条件； 当点E在上时，如图所示： 当时，则， ∴， 设，则， ∴即， 解得：，符合题意； 同理对应的点也符合题意； 当时，点E在以O为圆心，长为半径的圆与的交点上，如图所示： 过点O作于点F，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点O作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E符合题意； ∴在线段上存在一个点和，满足条件， 综上可得：符合条件的点E的个数共有6个， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为： 8．人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法表示方法，进行解答． 【详解】解：142亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 9．如图，过正五边形的顶点E作，分别交，的延长线于点M，N，则 ․ 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质、平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用正多边形性质求出，利用等腰三角形的性质求出，进而求出，利用平行线的性质求出，最后根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵正五边形的内角度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，又， ∴， ∴， 故答案为：3． 11．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“ ”表示的数是6708，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“”、“”和两个空位，则这个四位数是 ． 【答案】9100或 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意确定千位是横式的9是解题的关键．由题知个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，进而得到千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位，即可解题． 【详解】解：由题知，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式， 因为“、“”是纵式的1和横式的9， 所以千位是横式的9，纵式的1在百位或者个位， 即这个四位数为9100或9001， 故答案为：9100或． 12．如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为 ． 【答案】1或或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解直角三角形，取中点，中点，过点D作于点G，连接，根据题意，分点在直线上，点在直线上，点在直线上，三种种情况讨论，画出示意图，利用含30度角的直角三角形的性质结合中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，取中点，中点，过点D作于点G，连接， ∵点是斜边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∵在中，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在直线上时， 则， 由旋转的性质得：， ∴； 当和点在直线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上时，过点F作于点H， 则（平行线间距离相等）， ∵， ∴； 综上，点落在中位线所在直线上，则点到的距离为1或或， 故答案为：1或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算： （2）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连结，点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂的计算，平行四边形的性质，相似三角形的判定，准确计算熟练掌握相关性质定理，是解题关键． （1）根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂等知识计算各项，再计算加减法即可； （2）根据平行四边形性质得出两直线平行，根据平行线性质得出角相等，即可证出结论． 【详解】（1）解： ． （2）证明：∵四边形是平行四边形 ， ． ， ， ． 14．先化简，再求值：，并从0，1，3中选一个合适数代入求值． 【答案】，当时，原式的值为 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可先对分式进行加减乘除运算，然后再去能使分母不为0的数代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ； ∵ ∴当时，则原式． 15．光纤通信是利用光在纤维材料中多次全反射传输信息的，光纤通信的主要部件是光导纤维．如图，光导纤维是由纤芯和包层组成的．光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤，现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． (1)“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图法或列表法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【答案】(1)不可能 (2)石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率为． 【分析】本题考查了随机事件和列表法与树状图法． （1）根据随机事件和确定事件的定义进行判断； （2）利用树状图展示所有20种等可能的结果，再计算出石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【详解】（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤， 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4， ∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 16．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺．在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图中的线段上找一点，使； (2)在图中的线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）取格点，，连接，交于点，即可； （）取格点，，连接，交格线于点，连接，交于点，即可； 本题主要考查了网格作图，解直角三角形，相似三角形等有关性质，熟练掌握和应用有关知识的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示； 理由：根据题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求； （2）如图所示． 理由：根据题意得：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点即为所求． 17．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校共有个班，该校体育社团准备从商场一次性购买副羽毛球拍和乒乓球拍，若购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元；购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元． (1)求购进羽毛球拍，乒乓球拍每副各需多少元？ (2)在（1）的条件下，若该校要把购买这批球拍的费用控制在元以内（含元），且每个班的羽毛球拍不少于副，则购买方案有几种，最少费用为多少元？ 【答案】(1)一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元 (2)有种方案，最少费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用， （1）设一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元，根据” 购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元；购进羽毛球拍副，乒乓球拍副，需要元”建立方程组求解即可； （2）设学校购买了副羽毛球拍，副乒乓球拍，总费用为元，根据“把购买这批球拍的费用控制在元以内（含元），且每个班的羽毛球拍不少于副”建立关于的一元一次不等式组，继而确定的值，再根据“费用单价数量”建立关于的一次函数，然后根据一次函数的性质即可得解； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组及一次函数关系式． 【详解】（1）解：设一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元； （2）设学校购买了副羽毛球拍，副乒乓球拍，总费用为元， 根据题意，得：， 解得：， ∴整数共有个，即，，，，，，， 又∵， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，有最小值，此时最小值：（元）． 答：学校购进这批球拍共有种方案，最少费用为元． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程． 【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“60”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分． 【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示： 【分析数据】 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 第1小组 4 5 第2小组 5 第3小组 3 请根据以上信息，解答下列问题： (1)①请直接补全第1小组得分条形统计图； ②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为___________度； (2)直接写出___________，___________； (3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 【答案】(1)①图见解析，②； (2)； (3)该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【分析】本题考查了统计图表，中位数和众数，用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出第一小组中得分记为分的学生人数，补全条形统计图即可； ②用第2小组“得分为4分”所占的百分比； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用学生意人数乘以三个小组中成绩不低于分的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：①第一小组中得分记为分的学生人数有：（人）， 补全条形统计图如下： ②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为： ， 故答案为：； （2）解：第小组得分为分所占的百分比为： ， ∴将第小组名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为和， ∴第小组名学生成绩的中位数为：， 第小组学生成绩得分出现次数最多的是分， ∴第小组学生成绩的众数为：， 故答案为； （3）解：第组学生成绩不低于分的人数为： （人）， ∴（人） ∴该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分． 19．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角，是风叶的视角．已知三片风叶的长度均为40米． (1)当点D在上时，求点C到地面的距离；(结果精确到1米) (2)在风叶旋转的过程中，求视角的最大值．(参考数据∶ ， ， ) 【答案】(1)84米 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． (1) 在中，利用三角函数求出．如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G，则四边形是矩形，根据矩形的性质及线段的和差即可求出点C到地面的距离． (2) 作于，在中，根据，是定值，随着的增大而增大，可知当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G， ， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 故点C到地面的距离约为84米． （2）解：作于， 在中，， 是定值， 随着的增大而增大，当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，此时， 如图(2)． 在中，． ， ， 故视角的最大值为． 20．如图1，反比例函数的图象过点，直线与y轴交于点B． (1)求k和m的值． (2)如图2，若直线与反比例函数的图象只有一个公共点C． ①求反比例函数的解析式； ②求证：． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，根的判别式，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）把点分别代入和解方程即可得到结论； （2）①解方程组得到，由直线与反比例函数的图象只有一个公共点C，得到，解方程即可得到结论； ②解方程得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， 把点代入得：， 解得：； （2）解：①解：由（1）知直线的解析式为， 联立得： ， 整理得： ∵直线与反比例函数的图象只有一个公共点C， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； ②证明：∵与y轴交于点B， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．如图，在中，，以为直径的与线段交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①判断的形状； ②连接，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①为等边三角形；② 【分析】（1）连接，由等边对等角可得出，，等量代换可得出，即可得出，再由可得出，再根据切线的判定定理即可证明． （2）①由正弦的定义得出，进而得出，根据平行线的性质得出，再结合即可得出答案． ②连接，利用正弦的定义分别求出，，再证明，由相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解∶①∵ ∴ 如图1，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ②如图2，连接， 设， 在中， ，，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∵， ∴， ∵是直径， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，证明某直线是圆的切线，直径所对的圆周角是90度，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定以及性质等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 22．抛物线：中（是常数，且），函数值与自变量x之间的部分对应关系如下表： x … 0 1 2 … y₁ … m n … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； (2)求抛物线的解析式及m，n的值； (3)现将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线：，试求的解析式； (4)在（3）的条件下，将抛物线向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，B． ①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不少于6个单位长度？ ②在最初的状态下，若向下平移个单位时，对应的线段长为n，请直接写出m与n的等量关系． 【答案】(1)下；直线； (2)； (3)； (4)①至少向下平移9个单位长度；② 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点、平移变换、翻折变换等知识点，熟练掌握二次函数的三种形式是解题的关键． （1）由表格信息可知，该函数有最大值可得抛物线开口方向向下，然后根据二次函数的对称性即可确定对称轴； （2）先运用待定系数法求得抛物线的解析式，再分别令、即可求得m、n的值； （3）根据题意求出抛物线的顶点坐标以及a的值即可解答； （3）①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知，此时抛物线C2的解析式为，即，据此即可解答；②抛物线下平移个单位后的解析式为，再求得，即，然后整理即可解答． 【详解】（1）解：由表格信息可知，该函数有最大值可得抛物线开口方向向下， 由表格信息可知：当时，函数值相同，则该抛物线的对称轴为：． 故答案为：向下，直线． （2）解：由表格信息可知：抛物线过三点， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，； 当时，． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下， 将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，根据对称性可知，抛物线的顶点为，， ∴的解析式为，即． （4）解：①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知， ∴此时抛物线的解析式为，即， 抛物线至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位． ②抛物线下平移个单位后的解析式为， 令，有，解得：， ∴， ∴，即． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点， ①求证：； ②若时，则____． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）的长为或或 【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明，结合已知条件即可证明； ②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，根据已知条件得出，，可证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解； ②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过 点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解； ③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在；当点在边上时，过点作交的延长线于点，再由勾股定理求的长即可． 【详解】解：（1）①四边形是矩形，则， °， ， ， ， ， ； ②由①可得， ． ， ， ， （2）在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点， 平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°， 则，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， 解得：或， 即或， ②当点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点，过点作，则， 四边形是平行四边形， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ∴，， ， ， ， ，， ，， ， 即 ， ， 即 ， 解得： ，（舍去）， 即 ； ③当点在边上时，如图所示， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 点不可能在边上， ④当点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为或或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（江西专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D A C C 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 7． 8． 9． 10．3 11．9100或 12．1或或 3、 （本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）；（2）见解析 【详解】（1）解： ． （2）证明：∵四边形是平行四边形 ， ． ， ， ． 14．，当时，原式的值为 【详解】解：原式 ； ∵ ∴当时，则原式． 15．(1)不可能 (2)石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率为． 【详解】（1）解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤， 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4， ∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 16．(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）解：如图所示； 理由：根据题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求； （2）如图所示． 理由：根据题意得：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点即为所求． 17．(1)一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元 (2)有种方案，最少费用为元 【详解】（1）解：设一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：一副羽毛球拍价格为元，一副乒乓球拍价格为元； （2）设学校购买了副羽毛球拍，副乒乓球拍，总费用为元， 根据题意，得：， 解得：， ∴整数共有个，即，，，，，，， 又∵， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，有最小值，此时最小值：（元）． 答：学校购进这批球拍共有种方案，最少费用为元． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．(1)①图见解析，②； (2)； (3)该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【详解】（1）解：①第一小组中得分记为分的学生人数有：（人）， 补全条形统计图如下： ②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为： ， 故答案为：； （2）解：第小组得分为分所占的百分比为： ， ∴将第小组名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为和， ∴第小组名学生成绩的中位数为：， 第小组学生成绩得分出现次数最多的是分， ∴第小组学生成绩的众数为：， 故答案为； （3）解：第组学生成绩不低于分的人数为： （人）， ∴（人） ∴该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分． 19．(1)84米 (2) 【详解】（1）解：在中，， ． 如图(1)，过点C作于点F，过点A作于点G， ， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 故点C到地面的距离约为84米． （2）解：作于， 在中，， 是定值， 随着的增大而增大，当两点重合，与相切于点B时，，最大，此时最大，此时， 如图(2)． 在中，． ， ， 故视角的最大值为． 20．(1)， (2)①；②见解析 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， 把点代入得：， 解得：； （2）解：①解：由（1）知直线的解析式为， 联立得： ， 整理得： ∵直线与反比例函数的图象只有一个公共点C， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； ②证明：∵与y轴交于点B， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．(1)见详解 (2)①为等边三角形；② 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解∶①∵ ∴ 如图1，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ②如图2，连接， 设， 在中， ，，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∵， ∴， ∵是直径， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 22．(1)下；直线； (2)； (3)； (4)①至少向下平移9个单位长度；② 【详解】（1）解：由表格信息可知，该函数有最大值可得抛物线开口方向向下， 由表格信息可知：当时，函数值相同，则该抛物线的对称轴为：． 故答案为：向下，直线． （2）解：由表格信息可知：抛物线过三点， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，； 当时，． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下， 将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，根据对称性可知，抛物线的顶点为，， ∴的解析式为，即． （4）解：①抛物线向下平移过程中，对称轴，当之间的距离为6时，可知， ∴此时抛物线的解析式为，即， 抛物线至少向下平移9个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位． ②抛物线下平移个单位后的解析式为， 令，有，解得：， ∴， ∴，即． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．（1）①见解析；②；（2）；（3）的长为或或 【详解】解：（1）①四边形是矩形，则， °， ， ， ， ， ； ②由①可得， ． ， ， ， （2）在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点， 平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°， 则，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， 解得：或， 即或， ②当点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点，过点作，则， 四边形是平行四边形， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ∴，， ， ， ， ，， ，， ， 即 ， ， 即 ， 解得： ，（舍去）， 即 ； ③当点在边上时，如图所示， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 点不可能在边上， ④当点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为或或 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$