精品解析：山东省济宁市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

济宁市第一中学2024—2025学年第二学期高二阶段性检测 数学试卷 考试时间：120分钟 2025.03 注意事项： 1.答题前填好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 480 B. 520 C. 600 D. 1320 2. 若，则（ ） A. 380 B. 190 C. 188 D. 240 3. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数 A. B. C. D. 4. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 7. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确是（ ） A. B. C D. 10. 已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ） A. 可以组成无重复数字的四位数96个 B. 可以组成有重复数字的四位数404个 C. 可以组成无重复数字的四位偶数66个 D. 可以组成百位是奇数的四位偶数28个 11. 函数的零点个数可能是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法. 13. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 14. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 解下列方程. （1）若，求 （2） （3）. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数， （1）求的极值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； 19. 已知函数，． （1）若的最大值是0，求的值； （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济宁市第一中学2024—2025学年第二学期高二阶段性检测 数学试卷 考试时间：120分钟 2025.03 注意事项： 1.答题前填好自己的姓名､班级､考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 480 B. 520 C. 600 D. 1320 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 380 B. 190 C. 188 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出，再求出答案. 【详解】由，得，所以. 故选：B 3. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得=，由列式得a方程求解即可 【详解】由题=,解得a=4 故选D 【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题 4. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围. 【详解】因为， 由于， 所以， 根据导数的几何意义可知： , 所以， 故选：D. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 5. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在单调递减，则在上恒成立，即可解出a的取值范围. 【详解】在上恒成立，即在上恒成立，又函数在上为增函数， 所以，故. 故选：D. 6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑以及不相邻问题插空法，即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中两种必须连排，两种不能连排， 将两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）， 故选：A 7. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，并判断奇偶性，应用导数研究其单调性，结合已知确定区间对应函数值符号，即可求的解集. 【详解】令且，则，即为偶函数， 在上，即在上单调递减， 所以在上单调递增，且， 所以上，即有， 上，即有， 由，又，则解集为. 故选：B 8. 函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项逐个判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 10. 已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ） A. 可以组成无重复数字的四位数96个 B. 可以组成有重复数字的四位数404个 C. 可以组成无重复数字的四位偶数66个 D. 可以组成百位是奇数的四位偶数28个 【答案】AB 【解析】 【分析】由两个计数原理逐个判断即可； 【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确； 对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确； 对于C，若个位数为0，则有（个）， 若个位数不为0，则有（个）， 所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误； 对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误． 故选：AB 11. 函数的零点个数可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解. 【详解】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有______不同的涂色方法. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，若、同色．若、不同色，由分类加法原理，计算可得答案. 【详解】图中区域分别为，，，，，则分类讨论， 若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、， 共有种不同方法． 若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有， 最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法， 综上，所有的涂法共有种. 故答案为： 13. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 【答案】240 【解析】 【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案. 【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 14. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解. 【详解】∵对于任意，，不等式恒成立 ∴对于任意，，即恒成立 当时，； 当，， 设，则，所以在上单调递增， 由，知，即，即 设，，求导 令，得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴在处取得极大值，且为最大值， 所以时，不等式恒成立 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 解下列方程. （1）若，求. （2） （3）. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用排列数和组合数的性质对给定方程不断化简，进而得到未知数的值即可. 【小问1详解】 由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以，解得. 【小问3详解】 由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【小问1详解】 ， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数单调区间； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【小问1详解】 当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数， （1）求的极值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论的取值，根据函数的单调性，求函数的极值； （2）由不等式构造函数，由入手，利用导数判断函数单调性，根据，讨论的取值，结合不等式恒成立，即可求解的取值范围. 【小问1详解】 ， 当恒成立，无极值； 当时，令，解得， 当，，所以在单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以极小值为；无极大值， 综上可知，时，函数无极值，当时，函数的极小值为；无极大值. 【小问2详解】 因为对任意的恒成立 即对任意的恒成立 设，注意到， ，今 则在为增函数，且， 所以恒成立，即单调递增， 其中， 若，则恒成立，此时单调递增，又， 所以恒成立， 即在上恒成立，即结论成立； 若，则， 又， 故由零点存在性定理可知，在内存在，使得， 当时，，所以单调递减，又， 所以当时，，即，不合题意，舍去； 综上：实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是根据不等式构造函数，关键2是根据，则不等式成立的必要条件是. 19. 已知函数，． （1）若的最大值是0，求的值； （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】 【分析】 （1）根据某点上的切线斜率即为函数在该点的导数，列出点斜式方程即可得出答案. （2）构造函数，对函数求导后，讨论函数单调性，求出的取值范围. 【详解】解：（1）∵的定义域，． 若，，在定义域内单调递增，无最大值； 若，，单调递增；，单调递减． ∴时，取得最大值，∴． （2）原式恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则， 设， 则， 所以在上单调递增，且 ，． 所以有唯一零点，且， 即． 两边同时取对数得，易知是增函数 ∴，即． 由知 在上单调递增，在上单调递减． ∴， ∴，∴ 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的极值与最值，属于难题. 思路点睛:本题考查用导函数研究原函数性质的方法，是常见题.不等式恒（能）成立求参数范围的一般方法: ①当时，成立，则； ②当时，成立，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$