热点题型·解答题攻略 专题04 锐角三角函数的实际应用（6类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

专题04 锐角三角函数的实际应用 目录 题型01 仰角俯角问题 1 题型02 方位角问题 6 题型03 坡度坡角问题 11 题型04 生活实际物体问题 15 题型05 跨学科问题 20 题型06 古代文化相关问题 23 中考练场 25 题型01 仰角俯角问题 锐角三角函数实际应用中的仰角与俯角问题是初中数学几何知识在实际生活中应用的重要体现，通过构建直角三角形模型，利用三角函数知识解决与测量相关的实际问题，在中考中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查如何准确识别仰角与俯角，并将实际问题转化为解直角三角形问题，运用正弦、余弦、正切等三角函数进行边长和角度的计算。 2.高频题型：测量物体高度，如已知观测点与物体的水平距离及仰角，求物体高度；测量两点间距离，通过测量仰角、俯角及其他已知边长，构建直角三角形求解；以及根据不同观测点的仰角、俯角变化，分析物体位置关系并计算相关数据。 3.高频考点：考点集中在仰角、俯角概念的理解与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）的正确选用与计算，以及将实际场景抽象为数学模型（直角三角形）的能力考查。 4.能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力，能从实际问题描述中提取关键信息；拥有良好的空间想象能力，构建准确的直角三角形模型；掌握扎实的三角函数运算能力，准确求解边长和角度。 5.易错点：易错点在于混淆仰角与俯角概念；在构建直角三角形时，对边角关系判断错误，导致三角函数选用不当；计算过程中，对三角函数值记错或运算失误，影响最终结果的准确性。 【提分秘籍】 （1）直角三角形有关的性质： ①直角三角形的两锐角互余。 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高线。 ⑤直角三角形的勾股定理。 （2）仰角与俯角： ①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。 ②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。 （3）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）数学活动小组设计了测量一棵在山坡上与水平线垂直的杨树（如图1）高度的方案．如图2，从点测得杨树底端点的仰角是长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为（图中在同一平面内，点在同一水平线上）． (1)求山坡上点距水平线的高度（精确到米）； (2)求杨树的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 例2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）塔山阻击战革命烈士纪念碑（图1）位于葫芦岛市区以东12公里的连山区塔山乡塔山村，是“全国爱国主义教育示范基地”，某校“综合与实践”活动小组借助无人机测量纪念碑主碑的高度，如图2，先将无人机升至距离地面10米高的点处，测得主碑最高点的仰角为，再将无人机从点处竖直向上升高至距离地面15.8米高的点处，测得点的俯角为，已知点在同一平面内，求纪念碑主碑的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 例3．（2024·辽宁丹东·模拟预测）凤凰山是闻名遐迩的辽东名山．在一次数学实践活动中，某小组要测量凤凰山景区两座小山山顶之间的滑行索道（索道看成线段）的长度，在山脚下的处测得左侧山顶A的仰角为，测得右侧山顶D的仰角为，已知左侧山高AB为，在左侧山顶A处测得右侧山顶D的仰角为，求滑行索道的长度．（图中的点A、B、C、D、M均在同一平面内，在同一水平线上，参考数据：（）． 例4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． (1)求的长； (2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 【变式演练】 1．（2024·辽宁锦州·三模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活、如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为35°，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋点的仰角为55°，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．求房屋的高．（精确到1米、参考数据：，，，，，） 2．（2024·辽宁沈阳·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． (1)求点O到楼的距离的长； (2)求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 3．（2024·辽宁·模拟预测）朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 4．（2024·辽宁·一模）如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走40米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．（参考数据：，，，）      (1)求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； (2)求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到1米）． 5．（2024·辽宁大连·一模）如图1，大连大黑山被誉为辽南第一山的大黑山．大黑山拔海而起，滨岸而立，怪石嶙峋，气势壮观．如图2，假设有一航线l经过大黑山景区且与地面平行，现有一架客机沿航线l飞经景区上空，机上有一乘客使用测距相机进行拍照．当飞机恰好飞经主峰峰顶A时，该乘客自上而下正对主峰进行拍照，测得客机到主峰A的距离为，山谷谷底C到客机B的仰角为． (1)求点A到直线的距离； (2)飞机又以的速度向右飞行了到达点D．此时乘客测得点E关于客机的仰角为，，．根据以上信息和参考数据，求主峰A和次峰E之间的距离． （结果保留根号，参考数据：，） 6．（2024·辽宁沈阳·一模）向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和，且．求灯杆的长度． 题型02 方位角问题 锐角三角函数实际应用中的方位角问题是初中数学将几何知识紧密联系实际生活，尤其是航海、航空、野外定向等场景的重要内容，通过构建直角三角形，运用三角函数知识解决基于方位角的位置与距离计算，在中考中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对方位角概念的清晰理解，明确如何依据方位角在实际情境中构建直角三角形，并运用三角函数准确求解涉及的边长与角度，实现位置关系和距离的量化计算。 2.高频题型：包括已知某点相对于另一参考点的方位角及其他线段长度，求两点间实际距离；根据不同观测点对同一物体的方位角，确定物体的准确位置并计算相关距离；在航海、航空等实际场景中，依据方位角变化及航行数据，计算航行轨迹长度、转向角度等问题。 3.高频考点：考点集中在方位角的准确识别与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）与方位角所构建几何关系的运用，以及将实际方位角场景精准抽象为数学模型（直角三角形）并进行求解的过程。 4.能力要求：要求学生具备较强的空间想象能力，能将文字描述的方位角信息转化为直观的几何图形；拥有良好的阅读理解能力，从复杂的实际情境中提取关键信息；掌握扎实的三角函数运算能力，准确处理与方位角相关的数值计算。 5.易错点：易错点在于对方位角的方向判断错误，导致构建的直角三角形方位错误；在利用三角函数计算时，混淆直角三角形各边与方位角的对应关系，错误选择三角函数公式；计算过程中出现粗心错误，如三角函数值记错、运算顺序出错或单位换算不当。 【提分秘籍】 （1）方位角：由方向＋角度构成。 （2）在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。 （3）一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁本溪·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． (1)求∠C的度数； (2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号） 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，泊霞湾公园的彩虹灯塔成为新晋的网红打未地，很多年轻人选择祭泊霞湾公园晨跑锻炼．如图2，彩虹灯塔位于的中点P处，沿海步道的长为，点A在点B的正南方向，点C在点B的正东方向，在点A的北偏东方向有一排长的凉亭，，，点C位于凉亭另一端E的北偏西方向， (1)求凉亭到的距离；（结果精确到） (2)小明与小亮同时从点A出发跑向灯塔，小明沿甲路线以的速度到灯塔，小亮沿乙路线经过凉亭再到灯塔，速度为，谁先到达灯塔P？请说明理由． （参考数据：，，，） 例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）大连西郊国家森林公园是大连市的一个“肺叶”和“天然氧吧”，这里风景秀丽，拥有茂林、秀木、云海、瀑布、溪流、湖泊（水库）等众多自然风景资源如图，公园里有A，B，C三棵树，已知树A位于树B的南偏东方向上，树C位于树B的南偏西方向上且相距处，树A位于树C的北偏东方向上，求树A和树C的距离．（结果取整数．参考数据：，，，） 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，海面上有相距4千米两座小岛M，N，N在M的正东方向上．现测得船A位于小岛M的正北方，小岛N北偏西方向上；船B位于小岛M南偏东的方向上，小岛N南偏西方向上．求船A，B间的距离（结果保留根号，参考数据：，，）． 3．（2024·辽宁大连·一模）如图，考古人员在某古墓大门处探测到古墓内有一个青铜古物，但大门正北方向有一间封闭墓室，考古人员无法沿直线进行挖掘．经勘测，考古人员发现有两条挖掘线路可以到达青铜古物处，即线路①；线路②．其中点在点的正东方向处，点在点北偏西方向，点在点的正北方向，点在点的西北方向处，点在点的正西方向，点在点北偏东方向． (1)求点，之间的距离．（结果保留一位小数） (2)受周围环境的影响，考古人员挖掘线路①的平均速度是，挖掘线路②的平均速度是，请通过计算估计哪条挖掘线路能更快地到达青铜古物处．（参考数据：，， 4．（2024·辽宁阜新·二模）如图，为东西走向的滨海大道，小莉沿滨海大道参加“低碳生活，绿色出行”健步走公益活动．小莉在点处时，某艘海上观光船位于小莉北偏东的点处，观光船到滨海大道的距离为．当小莉沿滨海大道向东步行到达点时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点处，此时，观光船恰好在小莉的正北方向，求观光船从处航行到处的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，，，，，）    题型03 坡度坡角问题 解直角三角形及其应用中的坡度问题是初中数学将几何知识与实际工程、地形测量等场景深度融合的关键内容，借助解直角三角形的方法处理与坡度相关的计算，在中考中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对坡度（坡比）概念的理解，即坡面的垂直高度与水平宽度的比值，以及如何将实际的坡度问题转化为解直角三角形问题，运用三角函数知识求解相关边长和角度。 2.高频题型：包括已知坡度和坡面的某一长度，求其他边长，如已知坡度和斜坡长度，求垂直高度或水平宽度；根据给定的地形坡度及相关数据，计算工程施工中的土方量、道路长度等实际问题；通过改变坡度条件，分析对相关工程参数的影响并进行计算。 3.高频考点：考点集中在坡度概念的准确应用，直角三角形中三角函数（如正弦、余弦、正切）与坡度的关联及运用，以及将实际的坡度场景抽象为数学模型（直角三角形）并求解的过程。 4.能力要求：要求学生具备较强的实际问题分析能力，从复杂的工程或地形描述中提炼出关键信息；拥有良好的数学建模能力，准确构建与坡度相关的直角三角形模型；掌握熟练的三角函数运算技能，精准计算相关数值。 5.易错点：易错点在于对坡度概念理解不清，错误计算垂直高度与水平宽度的比值；在构建直角三角形时，混淆各边与坡度的对应关系，导致三角函数使用错误；计算过程中因粗心大意，出现三角函数值计算错误或单位换算失误。 【提分秘籍】 （1）坡角，坡度（坡比）： ①坡角：斜坡与水平面形成的夹角叫做坡角。 ②坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比值叫做坡度或坡比。简单理解即为坡角的正切值。 （2）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。 （3）应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·一模）如图，在坡顶处的同一水平面上有一建筑，在斜坡底处测得该建筑顶点的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了米到达坡顶，在坡顶处又测得该建筑的顶点的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求该建筑的高度．（结果精确到米．参考数据：，，） 例2．（2025·辽宁沈阳·一模）随着农业现代化的进一步推进，新农村的积极建设，农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害．如图，这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图，他在水平地面上点A处测得无人机的位置点的仰角为．当他迎着坡度为的斜坡从点A走到点B时，无人机恰好从点沿着水平方向飞到点此时，他在点处测得点的仰角为．已知米，米，这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀．点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求此时无人机的位置点C距水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计．参考数据：，，） 例3．（2024·辽宁鞍山·三模）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （参考数据：，，） (1)求图（2）中点B到一楼地面的距离； (2)求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数） 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）图1是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩的高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离米，斜坡的长为54米，斜坡与水平面的夹角，坡顶平台，米，在E处测得桥墩顶端点A的仰角． (1)求平台到水平面的垂直距离； (2)求桥墩的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 2．（2024·辽宁辽阳·一模）时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的，某移动公司在一处坡角为的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得通信塔的塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方78米的点处测得点的俯角为，求该通信塔的塔杆的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知为水平地面，斜坡的坡角为于点A．在斜坡的正中央修建水坝，已知，点E与点C在同一条水平线上．经测量． (1)求水坝的高度； (2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝的下方又修建了临时防护栏．已知C、E、G三点共线，．已知洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏？（参考数据：，，，） 4．（2024·辽宁鞍山·一模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，（即所在直线与平行，层高，坡角），为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，之间必须达到一定的距离．（参考数据：） (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么之间的距离至少要多少米（精确到）? (2)如果自动扶梯改为由三段组成（如图中虚线所示），中间段为平台（即）段和段的坡度，求平台的长度（精确到）． 题型04 生活实际物体问题 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·二模）如图1，在水平桌面上摆放着一个主体部分为圆柱体的透明容器．容器的截面示意图如图2所示，其中． (1)如图3，点C固定不动，将容器倾斜至位置，液面刚好位于处，点到直线l的距离，记为，测得，求h的值； (2)如图4，在（1）的条件下，再将容器缓慢倾斜倒出适量的液体，此时容器位于位置，液面刚好位于处，的延长线分别与直线l相交于点H，G，点C，G，H都在直线l上，测得，求的长．（参考数据，结果精确到） 例2．（2024·辽宁朝阳·三模）小澎家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），出水把手完全开启后，把手的仰角，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，是竖直线，，洗手盆及水龙头的相关数据如图2：（单位）． (1)求此时把手端点A到的距离； (2)求的长．（精确到1cm）（参考数据：，，） 例3．（2024·辽宁大连·一模）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 例4．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．（参考数据：，，，，）    (1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数） (2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数） 例5．（2024·辽宁鞍山·一模）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，该车的高度，如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)图3，若停车位后是一面墙，距离是，与的夹角为司机打开后备箱至最高点取货，车后盖有没有刮到墙的危险？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，） 【变式演练】 1．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，是一种水平放置的便携式可折叠台灯，其正面如图1所示，点B，E，D均可转动，测得，且当点B，E都在灯座的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳． (1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小； (2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，学生看书的光线最佳，能更好的保护视力，若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：，） 2．（2024·辽宁丹东·三模）某住户在窗户上方安装了遮阳棚（如图1），其侧面如图2所示．遮阳棚的长度，固定点A与窗户上沿的距离，为可以伸缩的支架，固定点C与窗户上沿的距离，点D在的三分之一处（），通过调整支架的长度，可以改变遮阳棚与墙壁的角度，某一时刻，太阳光线与水平地面的夹角为． (1)如图2，当遮阳棚与墙壁AF垂直时，求遮阳棚落在墙（窗户）上影子的长度； (2)如图3，调整的长度，遮阳棚可以绕点A转动，当遮阳棚影子在墙上最长时，影子的最低点恰好在窗户下沿的点F处．求窗户的高度和此时支架的长度．（结果精确到）（参考数据：，，， 3．（2024·辽宁抚顺·三模）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由． （参考数据：） 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． (1)当悬臂与桌面l平行时， ______°； (2)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：） 5．（2024·辽宁锦州·一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （参考数据：，，， (1)如图2，，． ①填空：_____°； ②投影探头的端点D到桌面的距离为_____cm． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点到桌面的距离． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图1是一个花洒实物图，图2和图3是其侧面示意图．点B处既可以调节花洒的高度，又可以调节花洒臂与花洒杆的夹角．若打开花洒后水柱与花洒臂垂直，花洒的高度，花洒臂，小丽与花洒杆的距离． (1)如图2，当时，水柱恰好落在小丽的头顶上，求小丽的身高（结果保留整数．参考数据： (2)如图3，调节花洒臂AB与花洒杆的角度，当时，要使水柱恰好落在小丽的脚上，求此时小丽与花洒的距离．（结果保留整数．参考数据：） 题型05 跨学科问题 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 例2．（2024·辽宁本溪·二模）在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． (1)在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； (2)光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 【变式演练】 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得，（参考数据：）    (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到水面的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得． 数据 ，． 请你根据上述信息解决以下问题： (1)求的大小； (2)求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 题型06 古代文化相关问题 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到0．1尺）．（参考数据：，，，，，） 例2．（2024·辽宁盘锦·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，． (1)求的长； (2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，） 2．（2024·辽宁本溪·一模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．（参考数据：） (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度． 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到． 参考数据：） 2．（2024·辽宁大连·一模）周末，数学探究小组利用无人机在合肥园博园开展测量信标塔高度的活动，此时无人机在高出地面80米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为．测得信标塔顶点处的俯角为，操控者和信标塔的距离为102米，求信标塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 3．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）快舟湖北交广号火箭发射成功（如图1），实现了2024年中国航天发射“开门红”．其发射过程示意图如图2．火箭从地面A处发射，前以的平均速度竖直上升到达点B．此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．火箭再继续上升后到达C处，此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．求火箭在段的平均速度．（参考数据：，，，，，） 4．（2024·辽宁大连·三模）如图，大连育明高级中学于1998年秋创建，是由大连市政府全额投资兴建的一所高中，占地约48000平方米，拥有优秀的师资团队和良好的学习环境．如图2，在一节数学课上，董老师提出要利用三角函数的知识测量学校艺术楼的高度，并希望同学们积极参与．小明同学利用课余时间，和同学们敲定了测量方案．小明在艺术楼前面确定了一点，测得点关于点的仰角为，他继续从点向前走了至点，从点测得点关于点的仰角为．图2所示为小明测量方案的立体示意图，且经过测量，，则根据以上数据，求艺术楼的高度． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）《奉天通志》卷75记载了沈阳浑南白塔“出生”的年代，白塔建于明永乐四年（公元1606年），为僧人德本监修．塔座用经过琢磨的白石砌成，塔旁有一庙宇名弥院寺，故又名弥陀寺塔．白塔是沈阳当时的一个标志性建筑．在清代因日俄战争损毁，百年后的2001年，白塔堡政府重建了白塔．浑南区某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 沈阳市浑南区白塔． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面100m的P点，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行80m到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图                  请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 6（2024·辽宁·模拟预测）“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些矗立在高山、草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线．周日，某校组织项目学习小组的同学来到郊外的山脚下，测量一座风力发电机组的塔筒的高度，并设计了如下测量方案： 课题 测量风力发电机组的塔筒的高度 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 说明 点A，B，C，D，E 均在同一竖直平面内，表示风力发电机组的塔筒的高度，点C表示坡底，所在直线表示斜坡，与垂直，点C，D，B 在同一条直线上． 测量数据 ，小颖同学在坡底C处测得塔筒顶端A的仰角为，小颖沿坡面CB前行到达D处，此时测得塔筒顶端A的仰角为． 参考数据 ，，， 任务 求风力发电机组的塔筒的高度．(结果保留整数) 7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    8．（2024·辽宁大连·一模）智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单、要测量一座雕像的高度，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图所示，测量者与雕像垂直于地面，若手机显示，，．    (1)求雕像的高度． (2)求测量者离雕像底部的距离的长． （结果保留两位小数，参考数据：，，，） 9．（2024·辽宁·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 10．（2024·辽宁大连·二模）如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上． (1)求灯杆的高度；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 11．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    12．（2024·辽宁锦州·一模）如图，某工厂坐落在东西方向公路的北侧，H，E分别是矩形生产车间的入口和出口（，），车间宽度，生产出来的产品沿北偏西的厂内道路EF运送到库房F存放，，工厂大门在库房南偏西的方向，求大门与车间入口之间的距离GH的长．（点G，B，H，C在直线上．参考数据：，，，，，）    13．（2024·辽宁辽阳·三模）为确保车辆及行人安全，《道路交通安全法实施条例》规定“交叉路口50米以内的路段不得停车”．如图1是因一小型车在交叉路口违停导致的机动车驾驶人视线受遮挡所引发的一起交通事故现场照片．如图2是该路口的示意图，南北走向的道路与垂直，违停在路边的小型车以矩形表示．，，且与的距离是．一辆白色轿车沿平行于的射线行驶，一辆电动自行车沿射线(点D在上)行驶，且与的距离是．白色轿车的司机在距离为的点位置时，点E在其东北方向上、此时电动自行车刚好进入司机的盲区，后，司机在距离为的点位置时，点G在其北偏东方向上，此时电动自行车刚好驶出司机的盲区． (1)求违停在路边的小型车长(结果精确到)； (2)若电动自行车始终保持骑行方向和车速不变，求的值(结果精确到，参考数据：，)． 14．（2024·辽宁阜新·三模）如图是测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同直线上，枪身与额头保持垂直、量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． (1)求的度数： (2)测温时规定枪身端点与额头距离范围为．（包括，）．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为．问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 15．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，） (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． 16．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． (1)订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； (2)使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 17．（2024·辽宁沈阳·二模）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．    (1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离； (2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：） 18．（2024·辽宁锦州·二模）如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适． (1)如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）． (2)如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据） 19．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离PE为1米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由，（参考数据：，，） 20．（2024·辽宁·模拟预测）如图1是某停车场入口“曲臂直杆道闸”，如图2，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．已知，，入口宽度． (1)如图3，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离（结果精确到）； (2)如图4，当曲臂杆旋转时，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，） 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 锐角三角函数的实际应用 目录 题型01 仰角俯角问题 1 题型02 方位角问题 18 题型03 坡度坡角问题 32 题型04 生活实际物体问题 47 题型05 跨学科问题 71 题型06 古代文化相关问题 79 中考练场 86 题型01 仰角俯角问题 锐角三角函数实际应用中的仰角与俯角问题是初中数学几何知识在实际生活中应用的重要体现，通过构建直角三角形模型，利用三角函数知识解决与测量相关的实际问题，在中考中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查如何准确识别仰角与俯角，并将实际问题转化为解直角三角形问题，运用正弦、余弦、正切等三角函数进行边长和角度的计算。 2.高频题型：测量物体高度，如已知观测点与物体的水平距离及仰角，求物体高度；测量两点间距离，通过测量仰角、俯角及其他已知边长，构建直角三角形求解；以及根据不同观测点的仰角、俯角变化，分析物体位置关系并计算相关数据。 3.高频考点：考点集中在仰角、俯角概念的理解与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）的正确选用与计算，以及将实际场景抽象为数学模型（直角三角形）的能力考查。 4.能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力，能从实际问题描述中提取关键信息；拥有良好的空间想象能力，构建准确的直角三角形模型；掌握扎实的三角函数运算能力，准确求解边长和角度。 5.易错点：易错点在于混淆仰角与俯角概念；在构建直角三角形时，对边角关系判断错误，导致三角函数选用不当；计算过程中，对三角函数值记错或运算失误，影响最终结果的准确性。 【提分秘籍】 （1）直角三角形有关的性质： ①直角三角形的两锐角互余。 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高线。 ⑤直角三角形的勾股定理。 （2）仰角与俯角： ①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。 ②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。 （3）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）数学活动小组设计了测量一棵在山坡上与水平线垂直的杨树（如图1）高度的方案．如图2，从点测得杨树底端点的仰角是长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为（图中在同一平面内，点在同一水平线上）． (1)求山坡上点距水平线的高度（精确到米）； (2)求杨树的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)约为米 (2)约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）延长，交延长线于点，在中，解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）延长，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交延长线于点， 由题意得：，，米， ∴在中，（米）， 答：山坡上点距水平线的高度约为米． （2）解：如图，延长，交延长线于点， 由题意得：，，，米，米， 在中，米， ∴米， 在中，（米）， 由（1）已得：米， ∴（米）， 答：杨树的高度约为米． 例2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）塔山阻击战革命烈士纪念碑（图1）位于葫芦岛市区以东12公里的连山区塔山乡塔山村，是“全国爱国主义教育示范基地”，某校“综合与实践”活动小组借助无人机测量纪念碑主碑的高度，如图2，先将无人机升至距离地面10米高的点处，测得主碑最高点的仰角为，再将无人机从点处竖直向上升高至距离地面15.8米高的点处，测得点的俯角为，已知点在同一平面内，求纪念碑主碑的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 【答案】纪念碑主碑的高度约为12.5米 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题的关键． 过点作，先利用直角三角形的边角间关系用表示出、，再利用线段的和差关系得关于的方程，求出后利用线段的和差关系得结论． 【详解】过点作，垂足为． ， 四边形是矩形， ． 由题意知：， ． 设， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 答：纪念碑主碑的高度约为12.5米． 例3．（2024·辽宁丹东·模拟预测）凤凰山是闻名遐迩的辽东名山．在一次数学实践活动中，某小组要测量凤凰山景区两座小山山顶之间的滑行索道（索道看成线段）的长度，在山脚下的处测得左侧山顶A的仰角为，测得右侧山顶D的仰角为，已知左侧山高AB为，在左侧山顶A处测得右侧山顶D的仰角为，求滑行索道的长度．（图中的点A、B、C、D、M均在同一平面内，在同一水平线上，参考数据：（）． 【答案】滑行索道的长度约为 【分析】作于，，应用三角函数，在中，求出的长，在中，求出的长，得到等腰直角三角形，即可求解， 本题考查了，三角函数的应用，解题的关键是：将实际问题转化为数学问题． 【详解】解：过点作于，，交于 ， ， 在中，， ， 在中，， ∵， ， ， ，， ， ， 故答案为：滑行索道的长度约为． 例4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． (1)求的长； (2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）本题根据，然后即可求解； （2）本题根据，求得，即，再根据，即可求解； 【详解】（1）解：由题得，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， 故的长为米； （2）解：延长和相交于点，如图： ， 由题得：，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴建筑物的高度为米． 【变式演练】 1．（2024·辽宁锦州·三模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活、如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为35°，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋点的仰角为55°，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．求房屋的高．（精确到1米、参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长度．过点作，根据题意得，设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ∴，， ∴． 过点作，垂足为， 设． ∵， 在中，． ∵， 在中， ． ∵， ． ∵，， ∴ 解得：， ∴． 答：房屋的高为米． 2．（2024·辽宁沈阳·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． (1)求点O到楼的距离的长； (2)求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定： （1）根据直角三角形的性质求得； （2）过C作于H，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 答：点O到楼的距离的长为； （2）解：过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴两栋楼与的高度之差为． 3．（2024·辽宁·模拟预测）朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．过点D作于点G，设米，先求得米，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【详解】解：如图所示：过点D作于点G，设米， 在中，， ∴米， 又米， ∴在矩形中，米，米， 在中，由 解得： 经检验，是方程的解． 答：大树的高度约为米． 4．（2024·辽宁·一模）如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走40米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．（参考数据：，，，）      (1)求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； (2)求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)大桥立柱在桥面以上的高度为米； (2)大桥立柱在水面以上的高度为51米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）在中，根据正弦的定义求出； （2）在中，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （米）， 在中，（米）， 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）解：在中，米， （米）， 在中，（米）， （米， 答：大桥立柱在水面以上的高度为51米． 5．（2024·辽宁大连·一模）如图1，大连大黑山被誉为辽南第一山的大黑山．大黑山拔海而起，滨岸而立，怪石嶙峋，气势壮观．如图2，假设有一航线l经过大黑山景区且与地面平行，现有一架客机沿航线l飞经景区上空，机上有一乘客使用测距相机进行拍照．当飞机恰好飞经主峰峰顶A时，该乘客自上而下正对主峰进行拍照，测得客机到主峰A的距离为，山谷谷底C到客机B的仰角为． (1)求点A到直线的距离； (2)飞机又以的速度向右飞行了到达点D．此时乘客测得点E关于客机的仰角为，，．根据以上信息和参考数据，求主峰A和次峰E之间的距离． （结果保留根号，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解俯仰角直角三角形和勾股定理的应用， （1）延长交地面与F，连接．则，，进而可得出，过点A作与点G，则即可求解． （2）过点A作交于点K，根据题意得，结合解直角三角形求得、，和，根据勾股定理求得． 【详解】（1）延长交地面与F，连接． 则， ∴， 过点A作与点G， ∵ ∴， 故点A到直线的距离为． （2）过点A作交于点K，如图， ∵飞机以的速度向右飞行了到达点D， ∴， ∵乘客测得点E关于客机的仰角为，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故主峰A和次峰E之间的距离． 6．（2024·辽宁沈阳·一模）向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和，且．求灯杆的长度． 【答案】2.8米 【分析】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得，可得． 【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则． 由题意得：，，． 设． ∵， ∴． 在中，∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：灯杆的长度为米． 题型02 方位角问题 锐角三角函数实际应用中的方位角问题是初中数学将几何知识紧密联系实际生活，尤其是航海、航空、野外定向等场景的重要内容，通过构建直角三角形，运用三角函数知识解决基于方位角的位置与距离计算，在中考中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对方位角概念的清晰理解，明确如何依据方位角在实际情境中构建直角三角形，并运用三角函数准确求解涉及的边长与角度，实现位置关系和距离的量化计算。 2.高频题型：包括已知某点相对于另一参考点的方位角及其他线段长度，求两点间实际距离；根据不同观测点对同一物体的方位角，确定物体的准确位置并计算相关距离；在航海、航空等实际场景中，依据方位角变化及航行数据，计算航行轨迹长度、转向角度等问题。 3.高频考点：考点集中在方位角的准确识别与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）与方位角所构建几何关系的运用，以及将实际方位角场景精准抽象为数学模型（直角三角形）并进行求解的过程。 4.能力要求：要求学生具备较强的空间想象能力，能将文字描述的方位角信息转化为直观的几何图形；拥有良好的阅读理解能力，从复杂的实际情境中提取关键信息；掌握扎实的三角函数运算能力，准确处理与方位角相关的数值计算。 5.易错点：易错点在于对方位角的方向判断错误，导致构建的直角三角形方位错误；在利用三角函数计算时，混淆直角三角形各边与方位角的对应关系，错误选择三角函数公式；计算过程中出现粗心错误，如三角函数值记错、运算顺序出错或单位换算不当。 【提分秘籍】 （1）方位角：由方向＋角度构成。 （2）在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。 （3）一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁本溪·一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． (1)求∠C的度数； (2)求B，C两地的距离．（运算结果保留根号） 【答案】(1) (2)两地的距离为千米 【分析】本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用： （1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ，           ，              ， ， 的度数为；            （2）解：过点B作，垂足为G， 在中，千米，， （千米），         在中，， （千米），               两地的距离为千米． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，泊霞湾公园的彩虹灯塔成为新晋的网红打未地，很多年轻人选择祭泊霞湾公园晨跑锻炼．如图2，彩虹灯塔位于的中点P处，沿海步道的长为，点A在点B的正南方向，点C在点B的正东方向，在点A的北偏东方向有一排长的凉亭，，，点C位于凉亭另一端E的北偏西方向， (1)求凉亭到的距离；（结果精确到） (2)小明与小亮同时从点A出发跑向灯塔，小明沿甲路线以的速度到灯塔，小亮沿乙路线经过凉亭再到灯塔，速度为，谁先到达灯塔P？请说明理由． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)小明先到达灯塔．理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，由题意得：，，从而求得，即可求解； （2）延长将直线于点，先求得，可得 ，，再求得 ，，从而得出，由点P是线段中点，可得，再求出两人的时间并比较即可． 【详解】（1）过点作于点，如图， 由题意得：，， 中，， ， ， 凉亭到的距离为； （2）小明先到达灯塔．理由如下： 延长将直线于点，如图， 由题意得，四边形是矩形， ，，， 中，， ， ， 中，，， ， 点P是线段中点， ， 小明沿甲路线以的速度到灯塔所需时间为：， 小亮沿乙路线经过凉亭再到灯塔所需时间为：， ， 小明先到达灯塔． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一艘货轮由南向北航行，其正前方有艘护航舰同向航行，某一时刻在灯塔P处观测到货轮在南偏东方向的A处，同时观测到护航舰在北偏东方向的B处，距离灯塔60海里． (1)求此时货轮与护航舰相距多少海里？（结果保留一位小数） (2)若护航舰速度为30海里/时，继续航行多少小时可使护航舰在灯塔P北偏东方向？（参考数据：，，，） 【答案】(1)此时货轮与护航舰相距海里 (2)继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）如图1，过点P作，过点P作于点C，在中，算出海里，海里，在中，算出海里，即可求解； （2）如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知，在中，算出海里，解出（海里），即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作，过点P作于点C， ∴． 由题意可知：，，海里， ∴，． 在中，，即， ∴海里， ，即， ∴海里， 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）． 答：此时货轮与护航舰相距海里． （2）解：如图2，在（1）的基础上，护航舰由B航行到处，由题意可知． ∴． 在中，，即， ∴海里， ∴（海里）， （小时）， 答：继续航行2小时，护航舰在灯塔P北偏东方向． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）大连西郊国家森林公园是大连市的一个“肺叶”和“天然氧吧”，这里风景秀丽，拥有茂林、秀木、云海、瀑布、溪流、湖泊（水库）等众多自然风景资源如图，公园里有A，B，C三棵树，已知树A位于树B的南偏东方向上，树C位于树B的南偏西方向上且相距处，树A位于树C的北偏东方向上，求树A和树C的距离．（结果取整数．参考数据：，，，） 【答案】树A和树C的距离约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，根据已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，根据题意得，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而根据，列出关于x的方程，进行计算可求出的长，进而求出的长，即可求出结果． 【详解】解：过点A作于D， 由题意得，， 设， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， ∴， 答：树A和树C的距离约为． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，海面上有相距4千米两座小岛M，N，N在M的正东方向上．现测得船A位于小岛M的正北方，小岛N北偏西方向上；船B位于小岛M南偏东的方向上，小岛N南偏西方向上．求船A，B间的距离（结果保留根号，参考数据：，，）． 【答案】千米 【分析】 本题考查解直角三角形的实际应用，先解直角三角形求出的长，证明为等腰三角形，得到，证明为直角三角形，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：， ， ∴， ∴， 在中，， 在中，； 故船A，B间的距离为千米． 3．（2024·辽宁大连·一模）如图，考古人员在某古墓大门处探测到古墓内有一个青铜古物，但大门正北方向有一间封闭墓室，考古人员无法沿直线进行挖掘．经勘测，考古人员发现有两条挖掘线路可以到达青铜古物处，即线路①；线路②．其中点在点的正东方向处，点在点北偏西方向，点在点的正北方向，点在点的西北方向处，点在点的正西方向，点在点北偏东方向． (1)求点，之间的距离．（结果保留一位小数） (2)受周围环境的影响，考古人员挖掘线路①的平均速度是，挖掘线路②的平均速度是，请通过计算估计哪条挖掘线路能更快地到达青铜古物处．（参考数据：，， 【答案】(1) (2)估计挖掘线路①能更快地到达青铜古物处 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，将问题转化为解直角三角形问题是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，在中，求出，，再在中求出，进而求出，之间的距离． （2）由（1）可求出线路①即的长度，证明是等边三角形，从而可求出线路②即的长度，进而根据路程÷速度求出选择两条线路挖掘所用的时间，再比较即可解决问题． 【详解】（1）如图，过点作交的延长线于点， 在中， ∵，， ∴， ∴，      ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，     ∴． 答：点，之间的距离约是． （2）在中，， ∴. 根据题意，可知， ∴是等边三角形， ∴，   由（1）可知， ∴线路①的总长度是， ∴挖掘线路①需要的时间是， ∵线路②的总长度是， ∴挖掘线路②需要的时间是， ∵， ∴估计挖掘线路①能更快地到达青铜古物处． 4．（2024·辽宁阜新·二模）如图，为东西走向的滨海大道，小莉沿滨海大道参加“低碳生活，绿色出行”健步走公益活动．小莉在点处时，某艘海上观光船位于小莉北偏东的点处，观光船到滨海大道的距离为．当小莉沿滨海大道向东步行到达点时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点处，此时，观光船恰好在小莉的正北方向，求观光船从处航行到处的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，，，，，）    【答案】观光船从处航行到处的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，过点作于，根据的正切值可得，则可得的长，再根据的正弦即可求解，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：作于，则，    由题意知， ，， ∴四边形是矩形 ∴， 在中，， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴观光船从处航行到处的距离为． 题型03 坡度坡角问题 解直角三角形及其应用中的坡度问题是初中数学将几何知识与实际工程、地形测量等场景深度融合的关键内容，借助解直角三角形的方法处理与坡度相关的计算，在中考中分值占比约 5%-8%。 1.考查重点：重点考查对坡度（坡比）概念的理解，即坡面的垂直高度与水平宽度的比值，以及如何将实际的坡度问题转化为解直角三角形问题，运用三角函数知识求解相关边长和角度。 2.高频题型：包括已知坡度和坡面的某一长度，求其他边长，如已知坡度和斜坡长度，求垂直高度或水平宽度；根据给定的地形坡度及相关数据，计算工程施工中的土方量、道路长度等实际问题；通过改变坡度条件，分析对相关工程参数的影响并进行计算。 3.高频考点：考点集中在坡度概念的准确应用，直角三角形中三角函数（如正弦、余弦、正切）与坡度的关联及运用，以及将实际的坡度场景抽象为数学模型（直角三角形）并求解的过程。 4.能力要求：要求学生具备较强的实际问题分析能力，从复杂的工程或地形描述中提炼出关键信息；拥有良好的数学建模能力，准确构建与坡度相关的直角三角形模型；掌握熟练的三角函数运算技能，精准计算相关数值。 5.易错点：易错点在于对坡度概念理解不清，错误计算垂直高度与水平宽度的比值；在构建直角三角形时，混淆各边与坡度的对应关系，导致三角函数使用错误；计算过程中因粗心大意，出现三角函数值计算错误或单位换算失误。 【提分秘籍】 （1）坡角，坡度（坡比）： ①坡角：斜坡与水平面形成的夹角叫做坡角。 ②坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比值叫做坡度或坡比。简单理解即为坡角的正切值。 （2）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。 （3）应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·一模）如图，在坡顶处的同一水平面上有一建筑，在斜坡底处测得该建筑顶点的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了米到达坡顶，在坡顶处又测得该建筑的顶点的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求该建筑的高度．（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题， （1）过点作于点，根据坡度的定义可得，设，则，可得，求出的值，即可得出答案； （2）延长交于点，设，则米，在中，可得，则，在中，，求出的值，即可得出答案； 熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得，， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴坡顶到地面的距离为米； （2）延长交于点， 由题意知：，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴该建筑的高度约为米． 例2．（2025·辽宁沈阳·一模）随着农业现代化的进一步推进，新农村的积极建设，农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害．如图，这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图，他在水平地面上点A处测得无人机的位置点的仰角为．当他迎着坡度为的斜坡从点A走到点B时，无人机恰好从点沿着水平方向飞到点此时，他在点处测得点的仰角为．已知米，米，这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀．点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求此时无人机的位置点C距水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计．参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，过B作于Q，由坡度的定义和勾股定理得米，米，过D作于G，交于M，交于N，过C作，交于P，再证，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，得米，米，则米，得（米），（米），然后由锐角三角函数定义求出x，即可解决问题． 【详解】解：过B作于Q，如图所示： ∵坡度为， 设米，则（米）， ∵米， ∴， 即， 解得：， ∴米，米， 过D作于G，交于M，交于N，过C作，交于P， ∵， ∴， 设米，则米， ∵，且， ∴四边形为矩形，是等腰直角三角形， ∴米，米， 则米， 又∵米， ∴（米），（米）， ∵， ， ∴，即， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 答：此时无人机的位置点C距水平地面AF的高度约为144米． 例3．（2024·辽宁鞍山·三模）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （参考数据：，，） (1)求图（2）中点B到一楼地面的距离； (2)求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）过点B作于E，设m，由的坡度为，在Rt中，由勾股定理得，解得，即可得到答案； （2）过点C作于F交于G，过点D作于J交于H，可证得 四边形，四边形是矩形，求出和的长度，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作于E，如图： 设m， 的坡度为， , ， 在Rt中，由勾股定理得：， 解得：， ，， 答：B到一楼地面的距离为； （2）过点C作于F交于G，过点D作于J交于H， 由题意知：，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， ，，， 由（1）可知，， ， 在Rt中，， ， ， 答：日光灯C到一楼地面的距离约为． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）图1是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩的高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知桥墩底端点B到河岸的参照点C的距离米，斜坡的长为54米，斜坡与水平面的夹角，坡顶平台，米，在E处测得桥墩顶端点A的仰角． (1)求平台到水平面的垂直距离； (2)求桥墩的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)平台到水平面的垂直距离为27米 (2)桥墩的高度大约为94米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形的特征，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作，垂足为H，根据含30度角的直角三角形的特征进行求解即可； （2）延长交于点，则，四边形为矩形．由矩形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作，垂足为， ， ， ， ， ， 答：平台到水平面的垂直距离为27米； （2）如图，延长交于点，则， 四边形为矩形． ，， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 答：桥墩的高度大约为94米． 2．（2024·辽宁辽阳·一模）时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的，某移动公司在一处坡角为的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得通信塔的塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方78米的点处测得点的俯角为，求该通信塔的塔杆的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】该通信塔的塔杆的高度约为56.3米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数是解题关键．延长交于点，延长交于点，由题意得：，，米，，在中，求出的长，设米，则（米），再分别求出、的长，然后根据列式求出的值即可． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，米，， 在中，，米， （米）， 设米，则（米）， 在中，， （米）， 在中，， （米）， ， ， 解得：， （米）， 该通信塔的塔杆的高度约为56.3米． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知为水平地面，斜坡的坡角为于点A．在斜坡的正中央修建水坝，已知，点E与点C在同一条水平线上．经测量． (1)求水坝的高度； (2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝的下方又修建了临时防护栏．已知C、E、G三点共线，．已知洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏？（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)在此阶段洪水能越过防护栏，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）首先得到，然后利用三角函数求出，得到，进而利用三角函数求解即可； （2）首先求出，过点F作，设，表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 在中，， ∴， 在中，； （2）解：根据题意得，， ∴ ∴ 如图所示，过点F作 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴， 设， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟， ∴洪水共上涨了 ∵ ∴在此阶段洪水能越过防护栏． 4．（2024·辽宁鞍山·一模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，（即所在直线与平行，层高，坡角），为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，之间必须达到一定的距离．（参考数据：） (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么之间的距离至少要多少米（精确到）? (2)如果自动扶梯改为由三段组成（如图中虚线所示），中间段为平台（即）段和段的坡度，求平台的长度（精确到）． 【答案】(1)A、B之间的距离至少要5米 (2)米 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用及坡度问题，理解题意，作出相应辅助线是解题关键； （1）连接，作交于点G，在中，利用已知条件求出的长即可； （2）设直线交于点P，作于点Q，设，则，在中利用已知数据可求出的长，进而可求出台的长度． 【详解】（1）解：连接，作交于点G，则， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：A、B之间的距离至少要． （2）设直线交于点P，作于点Q， ∵段和段的坡度， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 题型04 生活实际物体问题 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·二模）如图1，在水平桌面上摆放着一个主体部分为圆柱体的透明容器．容器的截面示意图如图2所示，其中． (1)如图3，点C固定不动，将容器倾斜至位置，液面刚好位于处，点到直线l的距离，记为，测得，求h的值； (2)如图4，在（1）的条件下，再将容器缓慢倾斜倒出适量的液体，此时容器位于位置，液面刚好位于处，的延长线分别与直线l相交于点H，G，点C，G，H都在直线l上，测得，求的长．（参考数据，结果精确到） 【答案】(1)18.2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决的关键是： （1）在中，利用正弦定义求解即可； （2）分别在、中，利用余弦定义求出、，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ， 即． 答：h的值约为18.2． （2）解：在中，， ， ， 在中，， ， ， ． 答：的长约为． 例2．（2024·辽宁朝阳·三模）小澎家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），出水把手完全开启后，把手的仰角，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，是竖直线，，洗手盆及水龙头的相关数据如图2：（单位）． (1)求此时把手端点A到的距离； (2)求的长．（精确到1cm）（参考数据：，，） 【答案】(1)点A到的距离约是． (2)的长约为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，解答此类问题的关键是先构造出直角三角形，再由直角三角形的性质进行解答． （1）过点A作于点G，交BM于N，过D作于点Q，中，解直角三角形得到，然后证明出四边形DQNM是矩形，进而求解即可； （2）首先由勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代数得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点A作于点G，交BM于N，过D作于点Q， 中，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 答：点A到的距离约是； （2）在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：的长约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定的应用，勾股定理，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 例3．（2024·辽宁大连·一模）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 例4．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．（参考数据：，，，，）    (1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数） (2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数） 【答案】(1)厘米； (2)厘米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算，数形结合分析，合理作出辅助线是解题的关键． （1）如图，连接，延长交过点的水平线于点，则可得（厘米），，所以，由，根据三角函数的计算得到（厘米），结合探头的端点到桌面的距离（厘米）即可求解； （2）如图，作于点，根据题意（厘米），（厘米），（厘米），由（厘米），即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交过点的水平线于点，    由题意得：厘米，，， ∴（厘米），， ∴， ∵始终垂直于水平桌面， ∴， ∴（厘米）， ∵投影仪的底座高3厘米， ∴探头的端点到桌面的距离（厘米）． 答：探头的端点到桌面的距离约为厘米； （2）解：如图，作于点，则，    由题意得：，， ∴， ∵厘米， ∴（厘米）， ∴（厘米）， 由题意得：， ∴（厘米）， ∴（厘米）， 由题意得：， ∴（厘米）， 答：支架的长度大约为厘米． 例5．（2024·辽宁鞍山·一模）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，该车的高度，如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)图3，若停车位后是一面墙，距离是，与的夹角为司机打开后备箱至最高点取货，车后盖有没有刮到墙的危险？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为 (2)有危险，理由见解析 【分析】（1）作，垂足为点E，解直角三角形求出，求出，即可得出答案； （2）连接，过点作于点G，过点B作于点E，延长交于点F，解直角三角形求出，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，作，垂足为点E， 在中，∵， ∴， ∴， ∵平行线间的距离处处相等， ∴， 答：车后盖最高点到地面的距离为． （2）解：有危险． 连接，过点作于点G，过点B作于点E，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 根据旋转可知，， ∵， ∴车后盖有刮到墙的危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数定义． 【变式演练】 1．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，是一种水平放置的便携式可折叠台灯，其正面如图1所示，点B，E，D均可转动，测得，且当点B，E都在灯座的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳． (1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小； (2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，学生看书的光线最佳，能更好的保护视力，若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否最佳．（参考数据：，） 【答案】(1)放置最平稳时灯座与灯杆的夹角为 (2)此时光线不是最佳，计算见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，由线段垂直平分线的性质可得且，利用三角函数的定义由此求解即可； （2）作于点M，作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：延长交于点F，则由题可知且； ∴， ∴，即灯座与灯杆的夹角为； （2）解：作于点M，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴cm， ∴， ∴此时光线不是最佳． 2．（2024·辽宁丹东·三模）某住户在窗户上方安装了遮阳棚（如图1），其侧面如图2所示．遮阳棚的长度，固定点A与窗户上沿的距离，为可以伸缩的支架，固定点C与窗户上沿的距离，点D在的三分之一处（），通过调整支架的长度，可以改变遮阳棚与墙壁的角度，某一时刻，太阳光线与水平地面的夹角为． (1)如图2，当遮阳棚与墙壁AF垂直时，求遮阳棚落在墙（窗户）上影子的长度； (2)如图3，调整的长度，遮阳棚可以绕点A转动，当遮阳棚影子在墙上最长时，影子的最低点恰好在窗户下沿的点F处．求窗户的高度和此时支架的长度．（结果精确到）（参考数据：，，， 【答案】(1)遮阳棚落在墙（窗户）上影子的长度约为 (2)窗户的高度为，支架的长约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，懂得题意是解题的关键． （1）根据题意得，，根据正切的定义即可得出． （2）根据题意得，，求出，解求出，进一步即可求出．过点D作于点H，求出，解，求出，，进一步求出，最后利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， 在中，， ∴， 答：遮阳棚落在墙（窗户）上影子的长度约为． （2）根据题意得，， ∴， 在中， ， ， 过点D作于点H， ∴ 在， ∴， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理得： ∴ 答：窗户的高度为，支架的长约为． 3．（2024·辽宁抚顺·三模）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业． (1)若，求点B到的距离； (2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由． （参考数据：） 【答案】(1) (2)该货车不会发生事故，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线． （1）过点作，垂足为，在中，，求出，进而求出； （2）分别过点，作，，垂足分别为，，四边形是矩形，，在中，，在中，推出，，在中，，比较即可作答． 【详解】（1）过点作，垂足为，如图， 则， 在中， ， ， ， ，两点在垂直方向上的距离为； （2）该货车不会发生事故， 理由如下： 分别过点，作，，垂足分别为，， 则， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， 货车不会发生事故． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． (1)当悬臂与桌面l平行时， ______°； (2)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)悬臂端点C到桌面l的距离约为． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）过点B作直线，利用平行线的性质得到，由，得到MN∥CD，再根据平行线的性质即可得到答案； （2）过点C作，垂足为F，过点B作，垂足为N，过点D作，垂足为M，设与交于点G，分别求出的长度，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作直线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）过点C作，垂足为F，过点B作，垂足为N，过点D作，垂足为M，设与交于点G， 则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴悬臂端点C到桌面l的距离约为． 5．（2024·辽宁锦州·一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （参考数据：，，， (1)如图2，，． ①填空：_____°； ②投影探头的端点D到桌面的距离为_____cm． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点到桌面的距离． 【答案】(1)①160；②36 (2)投影探头的端点D到桌面OE的距离为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形． （1）①延长交于，先证明得到，再利用三角形外角的性质求出的度数即可；②解求出，进而计算即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，则四边形是矩形，由（1）得，，则，求出，解，求出，则，即投影探头的端点到桌面的距离为． 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于， ∵，， ， ， ， 故答案为：160； ②在中，，，， ， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离为， 故答案为：36； （2）解：如图所示，延长交于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，则四边形是矩形， 由（1）得，， ， ， ， 在中，，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离为． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图1是一个花洒实物图，图2和图3是其侧面示意图．点B处既可以调节花洒的高度，又可以调节花洒臂与花洒杆的夹角．若打开花洒后水柱与花洒臂垂直，花洒的高度，花洒臂，小丽与花洒杆的距离． (1)如图2，当时，水柱恰好落在小丽的头顶上，求小丽的身高（结果保留整数．参考数据： (2)如图3，调节花洒臂AB与花洒杆的角度，当时，要使水柱恰好落在小丽的脚上，求此时小丽与花洒的距离．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】(1)163cm (2)63cm 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． （1）过点作于点，延长交的延长线于点，先得出，求出，在求出，最后根据即可得出答案； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据三角函数求出即可． 【详解】（1）如图1，过点作于点，延长交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：小丽的身高约是163cm． （2）如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：此时小丽与花洒的距离约是63cm． 题型05 跨学科问题 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 例2．（2024·辽宁本溪·二模）在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． (1)在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； (2)光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）根据平行线的性质得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据折射率可求，即可求解； （2）根据（1）中，可得出，根据，先求出，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案． 【详解】（1）解： 根据题意，得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得，（参考数据：）    (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2），， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到水面的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得． 数据 ，． 请你根据上述信息解决以下问题： (1)求的大小； (2)求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，求出，然后结合即可求解； （2）先求出，在中，利用正切定义求出，在中，，利用正切定义求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 题型06 古代文化相关问题 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到0．1尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)16尺 (2)尺 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用： （1）在中，利用解答，即可求解； （2）在中，利用，可得的长度，从而得到的长度，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，尺，， ∴尺； （2）解：在中，，尺，， ∴尺， ∴尺， ∴春分和秋分时日影长度为尺． 例2．（2024·辽宁盘锦·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 【变式演练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，． (1)求的长； (2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1)m (2)此时点B距离城墙的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形，作辅助线构造直角三角形，利用三角函数计算即可． （1）先根据角度得到，然后利用正切计算即可； （2）过点C作于点M，过点D作于点N，的延长线交的延长线于点P．得到四边形是矩形，在中，利用余弦得到长，然后在中求出的值即可解题． 【详解】（1）∵，， ∴． 在中， ∵，， ∴． （2）如图，过点C作于点M，过点D作于点N，的延长线交的延长线于点P． ∴，． ∵， ∴． ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴， ． ∴此时点B距离城墙的距离约为． 2．（2024·辽宁本溪·一模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．（参考数据：） (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过O作于O，过A作于G，在中，利用正弦函数求解即可； （2）过O作于O，过B作于C，过作于D，在和中，分别利用三角函数求出和的长即可． 【详解】（1）解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 即点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； （2）解：过O作于O，过B作于C，过作于D， ∵， ∴， ∵点A从最高点逆时针旋转到达最低点A1 ∴， ∵（米）， 在中，（米） 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键． 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到． 参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，等腰三角形的判定和性质等知识点，过B作于M，于N，得到，，解直角三角形即可得到结论，正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】如图所示，过B作于M，于N， ∴， ， ∴和都是等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴解得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 答：太阳能电池板宽的长度约为 2．（2024·辽宁大连·一模）周末，数学探究小组利用无人机在合肥园博园开展测量信标塔高度的活动，此时无人机在高出地面80米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为．测得信标塔顶点处的俯角为，操控者和信标塔的距离为102米，求信标塔的高度（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】60米 【分析】本题考查了仰角和俯角的应用，过点D作于E，过点C作于F，构造出直角三角形，并正确解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于E，过点C作于F， 由题意得，，，， 在中，， ∴（米） ∴（米） ∵， ∴四边形为矩形， ∴（米） 在中，，， ∴（米） ∴（米） ∴信标塔的高度为约为60米． 3．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）快舟湖北交广号火箭发射成功（如图1），实现了2024年中国航天发射“开门红”．其发射过程示意图如图2．火箭从地面A处发射，前以的平均速度竖直上升到达点B．此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．火箭再继续上升后到达C处，此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．求火箭在段的平均速度．（参考数据：，，，，，） 【答案】火箭在段的平均速度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，根据三角函数定义求出，，根据速度公式求出． 【详解】解：由题可知． 设火箭在段的平均速度为v，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 答：火箭在段的平均速度为． 4．（2024·辽宁大连·三模）如图，大连育明高级中学于1998年秋创建，是由大连市政府全额投资兴建的一所高中，占地约48000平方米，拥有优秀的师资团队和良好的学习环境．如图2，在一节数学课上，董老师提出要利用三角函数的知识测量学校艺术楼的高度，并希望同学们积极参与．小明同学利用课余时间，和同学们敲定了测量方案．小明在艺术楼前面确定了一点，测得点关于点的仰角为，他继续从点向前走了至点，从点测得点关于点的仰角为．图2所示为小明测量方案的立体示意图，且经过测量，，则根据以上数据，求艺术楼的高度． 【答案】艺术楼高 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键设未知数，用它表示相关线段，利用勾股定理建立方程；过点D作交的延长线于点E；设，分别在中可求得；由得，在中可求得，进而得，再在中，利用勾股定理建立方程即可求得x，从而求得结果． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点E； 设， 在中，，则； 在中，，则； ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ； 在中，由勾股定理得， 解得：或（舍去）； 答：艺术楼的高度为． 5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）《奉天通志》卷75记载了沈阳浑南白塔“出生”的年代，白塔建于明永乐四年（公元1606年），为僧人德本监修．塔座用经过琢磨的白石砌成，塔旁有一庙宇名弥院寺，故又名弥陀寺塔．白塔是沈阳当时的一个标志性建筑．在清代因日俄战争损毁，百年后的2001年，白塔堡政府重建了白塔．浑南区某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 沈阳市浑南区白塔． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面100m的P点，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行80m到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图                  请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 【答案】白塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于，则，根据等腰直角三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于， 则， ， ， ， ， 解得， ， 答：白塔的高度约为． 6（2024·辽宁·模拟预测）“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些矗立在高山、草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线．周日，某校组织项目学习小组的同学来到郊外的山脚下，测量一座风力发电机组的塔筒的高度，并设计了如下测量方案： 课题 测量风力发电机组的塔筒的高度 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 说明 点A，B，C，D，E 均在同一竖直平面内，表示风力发电机组的塔筒的高度，点C表示坡底，所在直线表示斜坡，与垂直，点C，D，B 在同一条直线上． 测量数据 ，小颖同学在坡底C处测得塔筒顶端A的仰角为，小颖沿坡面CB前行到达D处，此时测得塔筒顶端A的仰角为． 参考数据 ，，， 任务 求风力发电机组的塔筒的高度．(结果保留整数) 【答案】风力发电机组的塔筒的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形解答． 延长交于点F，过点D作于点M．根据题意，得．通过证明，得出．在根据在中，，求出，．再根据，求出，最后根据即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点F，过点D作于点M， 根据题意，得， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ，， 在中，， ， ， 答：风力发电机组的塔筒的高度约为． 7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    【答案】塔高约为米 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，设米，在，中，分别求得，根据，建立方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，    由题意得：米，，， 斜坡的坡度：，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 8．（2024·辽宁大连·一模）智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单、要测量一座雕像的高度，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图所示，测量者与雕像垂直于地面，若手机显示，，．    (1)求雕像的高度． (2)求测量者离雕像底部的距离的长． （结果保留两位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1)雕像的高度约为 (2)测量者离雕像底部的距离的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形． （1）过点作于，在中，求出的长，在中，求出的长即可； （2）过作于，求出，在中求出的长． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点F． 在中，， ， ， ． 在中，． 答：雕像的高度约为． （2）解：如图，过点A作于点G，则四边形为矩形， ． 在中，由于， ． 在中，， ， ． 答：测量者离雕像底部的距离的长约为．    9．（2024·辽宁·模拟预测）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 10．（2024·辽宁大连·二模）如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上． (1)求灯杆的高度；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 【答案】(1)的高度为 (2)的长约为10.1m 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比． （1）延长交于点，过点作于点，根据坡度的概念得到，根据含的直角三角形的性质、勾股定理分别求出、，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； （2）根据正切的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，过点作于点． ∵，坡角为， ∴， ∴． 在中，， ∴，． 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴， 即灯杆的高度为． （2）解：在中，，， ∵， ∴． ∵， ∴， 即的长约为10.1m． 11．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    【答案】甲组同学比乙组同学大约多走米的路程 【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解． 【详解】如图，过B点作于点D，    根据题意有：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（米）， ∴（米）， ∵在中，，（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 即（米）， 答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键． 12．（2024·辽宁锦州·一模）如图，某工厂坐落在东西方向公路的北侧，H，E分别是矩形生产车间的入口和出口（，），车间宽度，生产出来的产品沿北偏西的厂内道路EF运送到库房F存放，，工厂大门在库房南偏西的方向，求大门与车间入口之间的距离GH的长．（点G，B，H，C在直线上．参考数据：，，，，，）    【答案】大门与车间入口之间的距离的长约为． 【分析】如图：过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形．在中解直角三角形可得、、；再在中解直角三角形可得，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形． ，． 在中，，由题意知，， ，， ． ． （m）． 在中，，由题意知， ， ． （）． 答：大门与车间入口之间的距离的长约为590．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形，然后解直角三角形求得相关边的长度是解答本题的关键． 13．（2024·辽宁辽阳·三模）为确保车辆及行人安全，《道路交通安全法实施条例》规定“交叉路口50米以内的路段不得停车”．如图1是因一小型车在交叉路口违停导致的机动车驾驶人视线受遮挡所引发的一起交通事故现场照片．如图2是该路口的示意图，南北走向的道路与垂直，违停在路边的小型车以矩形表示．，，且与的距离是．一辆白色轿车沿平行于的射线行驶，一辆电动自行车沿射线(点D在上)行驶，且与的距离是．白色轿车的司机在距离为的点位置时，点E在其东北方向上、此时电动自行车刚好进入司机的盲区，后，司机在距离为的点位置时，点G在其北偏东方向上，此时电动自行车刚好驶出司机的盲区． (1)求违停在路边的小型车长(结果精确到)； (2)若电动自行车始终保持骑行方向和车速不变，求的值(结果精确到，参考数据：，)． 【答案】(1)违停在路边的小型车长约为 (2)t的值约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的构建图形是解本题的关键； （1）作射线交于点Q，连接，延长射线交于点H，则，与交于点L，则，求解，，从而可得答案； （2）求解，，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：作射线交于点Q，连接，延长射线交于点H，则，与交于点L，则， 根据题意得：，，， ， 在中，， ∴． 在中，， ∴， 所以违停在路边的小型车长约为； （2）根据题意得：， ∴，． ∴， 所以t的值约为． 14．（2024·辽宁阜新·三模）如图是测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同直线上，枪身与额头保持垂直、量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． (1)求的度数： (2)测温时规定枪身端点与额头距离范围为．（包括，）．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为．问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，解得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，根据求得，进而可得，根据，即可求解． 【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， （cm）， 在中， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ， （）， 此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内． 15．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，） (1)求坐垫E到地面的距离； (2)根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． 【答案】(1)坐垫E到地面的距离约为 (2)EE'的长约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可； （2）根据坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，，， 在中， ， 所以坐垫到地面的距离为， 答：坐垫到地面的距离约为； （2）如图，由题意得，当时，人骑行最舒服， 在中， ， 所以， 答：的长约为． 16．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． (1)订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； (2)使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1)压杆端点到底座的距离为 (2)即压杆端点到底座的高度为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点作于点，延长交于点， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； （2）如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 17．（2024·辽宁沈阳·二模）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．    (1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离； (2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面的距离约为 (2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为 【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可； （2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长． 【详解】（1）解：如图3，作于E， 在中，，即， ∴， 答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为； （2）解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，    ∴四边形，四边形是矩形， 由（1）得， ∴， 在中，，即， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， 答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 18．（2024·辽宁锦州·二模）如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂长度可调节，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是，手机支撑片可绕点B上下转动，，转动角β变动范围是．小明使用该支架进行线上学习，当，且点C离底座的高度不小于时，他才感觉舒适． (1)如图2，当时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据：）． (2)如图3，当的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到．参考数据） 【答案】(1)托片底部点C离底座的高度为，不符合小明使用的舒适要求； (2)要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数是解题关键． （1）过点作于点，于点，利用余弦值，求出，进而得到，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作于点，于点，由题意可知，利用三角函数分别求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ， ， ，即托片底部点C离底座的高度为， ， 不符合小明使用的舒适要求； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点，于点， 四边形是矩形， ， 点C离底座的高度不小于时，才感觉舒适， 点C离底座的最低高度舒适要求为， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 即要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求． 19．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离PE为1米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由，（参考数据：，，） 【答案】(1)2 (2)轿车能驶入小区，理由见解析； 【分析】（1）中，，,可得，结合，即可求出的长； （2）当时，，求出的长，与比较即可得到答案； 【详解】（1）在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）当时，，则， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轿车能驶入小区 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 20．（2024·辽宁·模拟预测）如图1是某停车场入口“曲臂直杆道闸”，如图2，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．已知，，入口宽度． (1)如图3，因机器故障，曲臂杆最多可旋转，求此时点到地面的距离（结果精确到）； (2)如图4，当曲臂杆旋转时，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定： （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，则四边形为矩形，可得，，再解求出的长即可得到答案； （2）在线段上取点，过作，且，设交于点，则四边形为矩形，可得，，则，再解，得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得，四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ， 此时点到地面的距离约为； （2）解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口， 理由：如图，在线段上取点，过作，且， 设交于点， 由题意得，四边形为矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 入口宽度为， ， ， 一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$