精品解析：河南省信阳市浉河区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024－2025学年九年级上学期期末学业质量监测 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（ ） A. （-5，-3） B. （1，-3） C. （-1，-3） D. （5，-3） 4. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜2 C. m≥2 D. m≤2 5. 如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　） A. 25° B. 50° C. 60° D. 30° 6. 已知反比例函数的图象经过点，下列说法正确的是（ ） A. 当 时， B. 函数的图象只在第四象限 C. 随着的增大而增大 D. 点在此函数的图象上 7. 如图，长为 ，宽为的长方形纸上有两个半径均为的圆，随机往纸上扎针，落在圆内的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数图象如图所示，下列结论： ；；；点，都在抛物线上，则有其中正确的结论有　　 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段 的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是________． 12. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为________． 13. 如图，用一个半径为9厘米的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了________厘米（结果保留）． 14. 如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连结AD，已知、、．则＝_______． 15. 如图，在等腰 中，斜边的长为8，点P在以 为直径的半圆上，M为 的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为_______；连接 ，则 的最小值为_______． 三、解答题（共75分） 16. （1）解方程：； （2）化简：． 17. 本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解中考体育科目训练的效果，从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示的两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ； （4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点 为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的 ； （2）在（1）的条件下， ①线段扫过的图形面积为______； ②连接，线段的中点的坐标为______． 19. 如图，双曲线（为常数，且）与直线 交于，两点． （1）求与的值； （2）如图，直线交轴于点 ，交轴于点 ，若点 为的 中点，求的面积． （3）直接写出不等式的解集． 20. 如图1，是的直径， 是弦， 是的中点， 与交于点 ，点在延长线上，且． （1）求证： 为的切线； （2）如图2，连接 ，若，求 的长． 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22. 如图，抛物线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线 的对称点为点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围； （3）将抛物线在点D右方的图象沿着直线 向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值． 23. 在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线 ，且 ，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线 上时，与 交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接 ，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点D旋转的过程中，当 时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级上学期期末学业质量监测 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移 个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来求解平移后的抛物线解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解： 原抛物线的解析式为 将其向左平移 个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到 再向下平移 个单位长度，根据“上加下减”的原则 得到 故选： 3. 将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（ ） A. （-5，-3） B. （1，-3） C. （-1，-3） D. （5，-3） 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点P（－2，3）向右平移3个单位得到点，∴， ∵点与点关于原点对称，∴ 故选C． 4. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜2 C. m≥2 D. m≤2 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程有实根,即△,解不等式即可. 【详解】∵x2+2x﹣（m﹣3）=0有实数根， ∴△=4-4·（m-3） 解得：m≥2, 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数问题,属于简单题,会求△是解题关键. 5. 如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　） A. 25° B. 50° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【详解】如图，∵∠BOC=50°， ∴∠BAC=25°， ∵AC∥OB， ∴∠OBA=∠BAC=25°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=25°. 故选A. 6. 已知反比例函数的图象经过点，下列说法正确的是（ ） A. 当 时， B. 函数的图象只在第四象限 C. 随着的增大而增大 D. 点在此函数的图象上 【答案】A 【解析】 【分析】先把点（3，-4）代入反比例函数中，解得k=-12，再根据反比例函数的性质即可得出结果． 【详解】解：把点（3，-4）代入反比例函数y=得，k=-12＜0， A、因为xy=-12＜0，故x、y异号，故选项正确； B、函数的图象在第二、四象限，故选项错误； C、在每个象限内，y随着x的增大而增大，故选项错误； D、4，3两数同号，根据A的结论，（4，3）不在函数图象上，故选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 7. 如图，长为 ，宽为的长方形纸上有两个半径均为的圆，随机往纸上扎针，落在圆内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：注意圆、长方形的面积计算．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．分别求出圆和长方形的面积，它们的面积比即为针落在阴影部分的概率． 【详解】解：长方形的面积， 两个圆的总面积是：， 则针落在阴影部分的概率是； 故选D． 8. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形OACB是菱形 ∴ 连接OC ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在 中： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形 9. 已知二次函数图象如图所示，下列结论： ；；；点，都在抛物线上，则有其中正确的结论有　　 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象判断出a、b、c的符号,即可得出结论①正确,利用对称轴公式x<-1,可得结论②正确;判断出x=-1时纵坐标为负,可得结论③错误,利用图象法可以判断出④错误; 【详解】解:∵抛物线开口向上, ∴a>0， ∵- ∴b>0 ∵拋物线交y轴于负半轴, ∴c<0, ∴abc<0,故①正确, ∵-，a>0, ∴b>2a, ∴2a-b<0,故②正确, ∵x=-1时,y<0 ∴a-b+c<0，故③错误, 点(-3,y1),(1,y2)都在抛物线上, 观察图象可知y1<y2,故④错误，故选C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定拋物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<o),对称轴在y轴右;常数顼c决定抛物线与y轴交点位置∶拋物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定:当△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点．对二次函数图像性质的熟悉是解题关键． 10. 如图①，点A，B是 上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段 的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】从图2看，当 时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当 时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即 是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当 时，，即此时A、O、P三点共线， 则圆的半径为， 当 时，， ∴ 是直角三角形，且， 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示， 此时 ，走过的角度为，则走过的弧长为， ∴点P的运动速度是 ， 当时，，即 是等边三角形， ∴， ∴， 此时点P走过的弧长为：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个圆内接正多边形的中心角是 ，则这个正多边形是________． 【答案】正六边形 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键． 根据正多边形中心角等于即可求解． 【详解】解：由题意得，边数为， 故答案为：正六边形． 12. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意可得、，然后计算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴、，解得： ． 故答案为：1． 13. 如图，用一个半径为9厘米的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了________厘米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．利用弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：（厘米）， 故答案为：． 14. 如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连结AD，已知、、．则＝_______． 【答案】． 【解析】 【分析】过点A作 轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，根据，可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积，进而可求出． 【详解】解：过点A作 轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图： ∵，反比例函数经过B点 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】此题主要考查的知识有：反比例函数系数k的几何意义和性质，通过矩形的面积求出k的值是解本题的关键． 15. 如图，在等腰 中，斜边的长为8，点P在以 为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为_______；连接 ，则 的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】取 的中点O，连接，取的中点，连接，利用勾股定理求出 ，根据三角形中位线的性质求出，确定点M的运动轨迹，即可求出点M运动的路径长；再根据点到圆上的距离即可求出 的最小值． 【详解】解：取 的中点O，连接，取的中点，连接， 在等腰 中，斜边的长为8， ， ， 点O为 的中点， ， 为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ∴点M在以为半径的上运动． ∵当点P从点A运动至点C时， 点M所经过的路径为半圆， ∴点M运动的路径长为； ∵点M在以为半径的上， ∴当点M在与的交点处时， 最小，最小值为． ， ， 的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查点到圆上的距离，弧长公式，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，正确作出辅助线，确定点M的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）解方程：； （2）化简：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先计算括号内的，再计算除法即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ． 17. 本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解中考体育科目训练的效果，从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示的两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ； （4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）25 （2），补全图形见解析 （3）216 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得答案； （2）先求出D等级的人数，即可将条形统计图补充完整；再求出D等级所占比例，根据圆周角乘以D等级所占的比例，可得扇形的圆心角； （3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 本次抽样测试的学生人数为（人）； 故答案为：25； 【小问2详解】 D等级的人数为， 所以D等所在的扇形的圆心角的度数， 故答案为：43.2° 条形统计图补充为： 【小问3详解】 （人）， 所以估计不及格的人数为216人； 故答案为：216； 【小问4详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6， 所以选中的两人刚好是一男一女的概率． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的 ； （2）在（1）的条件下， ①线段扫过的图形面积为______； ②连接，线段的中点的坐标为______． 【答案】（1）作图见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，扇形的面积公式、中点坐标公式， （1）根据旋转的性质作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）①根据扇形面积公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点的坐标，由中点坐标公式即可求得答案； 解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 ①∵，， ∴线段扫过的图形面积为：， 故答案为：； ②由图知点的坐标为 又∵， ∴的中点的坐标为，即， 故答案为：． 19. 如图，双曲线（为常数，且）与直线 交于，两点． （1）求与 的值； （2）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点为的 中点，求的面积． （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法，运用图形求不等式的解集等知识是解题的关键． （1）把代入双曲线与直线 即可得； （2）根据直线与坐标轴的交点可得， ，运用中点坐标可得 ，根据即可求解； （3）根据题意可得点的坐标，根据图形解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵双曲线与直线 交于， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴双曲线与直线， ∴， ∵直线交轴于点，交轴于点， ∴，， ∴点的坐标为，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵双曲线与直线 交于，两点， 由图像可知，当或 时，直线 在双曲线的上方， ∴的解集为或 ． 20. 如图1，是 的直径， 是弦，是的中点， 与交于点，点在延长线上，且． （1）求证： 为 的切线； （2）如图2，连接 ，若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接， ，由等腰三角形得到， ，而，则，再根据互余关系结合等量代换得到，则； （2）设 ，则，在中，根据勾股定理得，解得 ，则，在 中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是 半径， ∴ 是 切线． 【小问2详解】 解：如图，连接． 设 ， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）得，， ∴在中，根据勾股定理， 即， 解得 ， ∴， ∴在 中，根据勾股定理：， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价 元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为 ； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价 元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 22. 如图，抛物线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，抛物线的顶点为C，点B关于对称轴直线 的对称点为点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围； （3）将抛物线在点D右方的图象沿着直线 向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合内容等，注意数形结合思想以及分类讨论思想的运用，正确得到二次函数解析式是解题的前提． （1）把对称轴直线 和代入 即可； （2）对称轴直线 在中，考虑最大值在对称轴直线 中取得，再把 和分别代入计算，最后比较大小即可得出y的取值范围； （3）在时，抛物线是无限延长的，与在情况下的 必然存在一个公共点，那么只需要考虑①当直线过点D时和②当直线与抛物线 相切两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：将代入 中得， ∵对称轴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为 ； 【小问2详解】 解：当 时，， 当时，， 因为对称轴直线 在中，考虑最大值是对称轴直线 与抛物线的交点的纵坐标， 当 时，， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：①当直线过点D时： ∵B，D两点关于对称轴直线 对称，， ∴点D的坐标为， 将点代入直线中得， ∴； ②当直线与抛物线 相切时， 令，即， 当，解得； 综上：或． 23. 在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线 ，且 ，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线 上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接 ，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点D旋转的过程中，当 时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 【答案】（1） 解：，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， 又∵ ， ∴ ， ， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴； （2） 解：四边形是菱形． 理由：由（1）得是等边三角形， ∴ ， 由旋转得 ， ， ，， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∵ ，点E是线段的中点， ∴， 又∵ ，，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形是菱形； （3）6或． 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用 得到 ，然后证明出是等边三角形，得到 ，即可证明出； （2）首先由是等边三角形得到 ，然后结合旋转的性质得到 ，然后证明出，然后由 得到与互相平分，证明出四边形是菱形； （3）根据题意分两种情况：当点在上方时，连接，首先由 得到 ，然后结合旋转的性质得到 ，证明出点A，，三点共线，然后得到 ；当点在线段下方时，首先由 和旋转的性质得到是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，当点在上方时，连接， ∵ ， ∴ ， 由旋转可得， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点A，，三点共线， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； 如图所示，当点在线段下方时， 由旋转可得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴． 综上所述，当 时，点与点之间的距离为6或． 【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $