黄金卷05（重庆专用，2025新题型）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷05 （全卷共三个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列各数：，，，0，，11中，分数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元， “148亿”用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，点E在上，过点E作的垂线与相交于点F，连接，若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 6．为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“○”的个数为（   ） A．23个 B．24个 C．25个 D．26个 8．如图，在边长为2的菱形中，对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画，若点A恰好在上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点M，交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 10．我们知道，两个奇数相加、相减的结果是偶数，两个偶数相加、相减的结果是偶数，一个奇数与一个偶数相加、相减的结果是奇数．现有由个正整数排成的一组数，记为，，，任意改变它们的顺序后记作，，，若，下列说法（    ） ①P可以为0； ②当n是奇数时，P是偶数； ③当n是偶数时，P是奇数． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． ． 12．学校组织春游，安排给九年级A、B、C三辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明与小慧无人能乘坐到A车的概率是 ． 13．如图，矩形中，点在上，连接，延长到点F，使得，连接交于点，若，且，则的长为 ． 14．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 15．如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点C在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若，，则 ， ． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵，∴3296是“乘风破浪数”．则1341 （填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题16分，18-24题各10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．计算： (1)； (2)． 18．为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60． 10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59． 抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图 型号 A B 平均数 56 56 中位数 56 b 众数 a 57 方差 7.4 15.8 “优秀”等级所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？ 19．如图，四边形是平行四边形，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交边，于点，，连接，． (1)用直尺和圆规完成以下作图，过点E作的平分线交于点G； (2)若，求证：四边形是菱形（补全证明过程）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴①______________， 在与中 ， ∴， ∴②______________， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∵的平分线交于点G， ∴③______________， ∴， ∴④______________， ∴平行四边形是菱形． 20．随着旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从S市出发，沿两条不同的路线徒步游完周边自然景观，最后在K地汇合．甲队走A路线，全程120千米；乙队走B路线，全程160千米．由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达K地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； （2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每 人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减 少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640 元，求m的值． 21．如图矩形中，，，点F为边上的三等分点（），动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为．      （1）请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围? 22．小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高为4cm，长度均为18cm的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度（结果保留根号）； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？ 23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． （3）在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 24．如图，等腰直角三角形中，，，点D是边上的中点，点E是平面内一点，连接DE，将，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，． (1)如图1，若点E在线段上，，，求的面积； (2)如图2，若E点在直线下方，点G是中点，连接，，，若，求猜想线段，，的长度关系，并证明你的结论． (3)如图3，在（2）的条件下，作点E分别关于直线和的对称点、，连接，，，当时，直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷05 （全卷共三个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列各数：，，，0，，11中，分数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B． 【解析】解：，，，0，，11中，分数有，，，共3个， 故选：B． 故答案选：B． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3．截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元， “148亿”用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：148亿， 故选：C． 4．如图，，点E在上，过点E作的垂线与相交于点F，连接，若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 故选：C． 5．的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B． 【解析】解：原式= ∵ ∴ 故选B． 6．为反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：为反比例函数的图象上两点，且当时，有， 原函数图像在第二象限内随的增大而增大， 反比例函数中，， ， 故选：D． 7．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“○”的个数为（   ） A．23个 B．24个 C．25个 D．26个 【答案】D． 【解析】解：第1个图形有5个剪纸， 第2个图形有8个剪纸， 第3个图形有11个剪纸， …， 依此类推，第n个图形有个剪纸， 当时，， 故选：D． 8．如图，在边长为2的菱形中，对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画，若点A恰好在上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：四边形为菱形， ，， 点A恰好在上， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 故选：A． 9．如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点M，交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H， 在正方形和正方形中， ，，， ， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 10．我们知道，两个奇数相加、相减的结果是偶数，两个偶数相加、相减的结果是偶数，一个奇数与一个偶数相加、相减的结果是奇数．现有由个正整数排成的一组数，记为，，，任意改变它们的顺序后记作，，，若，下列说法（    ） ①P可以为0； ②当n是奇数时，P是偶数； ③当n是偶数时，P是奇数． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C． 【解析】解：依题意，当，则，故①正确； ②当n是奇数时，两个奇数相加、相减的结果是偶数，两个偶数相加、相减的结果是偶数， 则P中一定有一个偶数因数，故P是偶数，②正确； ③当n是偶数时，假设奇数比偶数多2个，排序后对数恰为奇数偶数相减，剩余两对恰为奇数相减，此时P是偶数，③错误． 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． ． 【答案】． 【解析】解：， 故答案为：． 12．学校组织春游，安排给九年级A、B、C三辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明与小慧无人能乘坐到A车的概率是 ． 【答案】． 【解析】解：列表如下： A B C A B C 所有等可能的情况有9种，其中小明与小慧无人能乘坐到A车的情况有4种， 则小明与小慧无人能乘坐到A车的概率是， 故答案为：． 13．如图，矩形中，点在上，连接，延长到点F，使得，连接交于点，若，且，则的长为 ． 【答案】3． 【解析】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 14．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】． 【解析】解：解一元一次不等式组， 解得， ∵一元一次不等式组有解且至多有5个整数解， ∴， ∴或或或0或1， 解分式方程， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴，即或或4或， ∴或或1， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或1． ∴． 故答案为：． 15．如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点C在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若，，则 ， ． 【答案】；． 【解析】解：连接，，，作交延长线于点，作于点，交延长线于点， ∵菱形， ∴， ∴四边形和四边形，四边形都是矩形， ∵与相切于点A， ∴， 设， ∵， ∴，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵，∴3296是“乘风破浪数”．则1341 （填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 ． 【答案】不是；8131． 【解析】∵， ∴1341不是“乘风破浪数”. 故答案为：不是； ∵是一个乘风破浪数，， ∴， 即 ∵一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两位数组成的两位数的差，再减去能被8整除， ∴ ∴能被8整除， ∵ ∴ ∴能被8整除，，，，， 当，，则，，则3186， 当，，则，，则4175， 当，，则，，则5164， 当，，则，，则6153， 当，，则，，则7142， 当，，则，，则8131， 当，，则，则，舍去 综上所述，最大值为8131． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题16分，18-24题各10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 18．为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60． 10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59． 抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图 型号 A B 平均数 56 56 中位数 56 b 众数 a 57 方差 7.4 15.8 “优秀”等级所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？ 【答案】（1）55，57，40；（2）答案见解析；（3）估计今年B款铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩． 【解析】（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55， ∴众数， ∵B型中“良好”等级有4个，占40%，“优秀”等级所占百分比为20%， ∴ “合格”等级占，即， 把B型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57， ； 故答案为：55，57，40； （2）解：B款茶叶更好， 理由：因为B款茶叶的中位数57大于A款茶叶的中位数56，所以B款茶叶更好（答案不唯一）； （3）解：（亩， 答：估计今年B款铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩． 19．如图，四边形是平行四边形，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交边，于点，，连接，． (1)用直尺和圆规完成以下作图，过点E作的平分线交于点G； (2)若，求证：四边形是菱形（补全证明过程）． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴①______________， 在与中 ， ∴， ∴②______________， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∵的平分线交于点G， ∴③______________， ∴， ∴④______________， ∴平行四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析；（2）；；；． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵的平分线交于点 ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 故答案为：；；；． 20．随着旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从S市出发，沿两条不同的路线徒步游完周边自然景观，最后在K地汇合．甲队走A路线，全程120千米；乙队走B路线，全程160千米．由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达K地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； （2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每 人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减 少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640 元，求m的值． 【答案】（1）甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地；（2）m的值为6． 【解析】（1）解：设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）． 答：m的值为6． 21．如图矩形中，，，点F为边上的三等分点（），动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为．      （1）请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围? 【答案】（1）；（2）作图见解析，当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）；（3）当时的取值范围为或． 【解析】（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ∴； 综上，关于x的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：由图象可得，当时的取值范围为或． 22．小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高为4cm，长度均为18cm的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度（结果保留根号）； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？（结果保留根号） 【答案】（1）的高度为 cm；（2）此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了cm． 【解析】（1）解：如图2中，作于O． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵成平角， ∴cm， ∴ cm， ∴ cm， 答：的高度为 cm； （2）解：过点C作于点G，于点K， 由题意得，cm，， ∴在中，， ∴cm， ∴cm， ∵， ∴， 在中，， ∴cm， ∴此时连杆端点D离桌面l的高度为 cm， ∴比原来降低了 cm， 答：此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了 cm． 23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． （3）在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）面积最大时，的最小值为2；（3）点Q的横坐标为或． 【解析】（1）解：对于，令． ∴，，． ∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，． 由根与系数关系可得：， ∴，． ∴抛物线的解析式为． （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G． 过点E作交y轴于点F． 根据题意，，为等腰直角三角形． 故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：． ∴点G坐标为． ∵，， ， ． ∴． 当时，点M坐标为，面积最大． 此时点H与点E重合，点M与点G重合，， 当点M坐标为时，和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上． 作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为． ∴． ∵，， ∴四边形在平移时始终为平行四边形，． ∴． 对于，，． ∴． ∴的最小值为． 故面积最大时，的最小值为2． （3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图， 根据平移性质可得． 由（2）知，，． ，，则． 在和中，，，， ∴． ∴． ∵，， ∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位， ∴直线的解析式为． 如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限： ①点是和新抛物线的交点，满足． 结合直线和新抛物线的解析式：． 解得或， 由于在第三象限，所以的横坐标为． ②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点． 这样根据轴对称的性质，． 设交于点R． ∵， ∴．， ∵，即， 把，，，代入比例式解得： ． 在中， ． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得： ，解得． ∴直线的解析式为：． 结合抛物线可得： ，解得或． 由于点在第四象限，所以的横坐标为：． 综合①②可得，点Q的横坐标为或． 24．如图，等腰直角三角形中，，，点D是边上的中点，点E是平面内一点，连接DE，将，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，，． (1)如图1，若点E在线段上，，，求的面积； (2)如图2，若E点在直线下方，点G是中点，连接，，，若，求猜想线段，，的长度关系，并证明你的结论． (3)如图3，在（2）的条件下，作点E分别关于直线和的对称点、，连接，，，当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【解析】（1）解：过点作，垂足为M，如图，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∴， 由旋转可得：为等腰直角三角形， ∴； （2）， 证明：连接，，设交于点，延长到点使得，连接，如图， 由题意可得：， ∵为的中位线，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，   ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得， 即， ∴， 即； （3）连接交于点，作交延长线于点，作于点，如图， 由轴对称的性质得，，，，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴， ∴，， 由题意得，，， ∴，   ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷05 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C C B D D A D C 二、填空题：（本大题6个小题，每题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． 12． 13．3 14． 15．； 16．不是；8131 三、解答题：（本大题共8个小题，17题16分，18-24题各10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．（1）解： ．（8分） （2） ．（16分） 18．（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55， ∴众数， ∵B型中“良好”等级有4个，占40%，“优秀”等级所占百分比为20%， ∴ “合格”等级占，即， 把B型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57， ； 故答案为：55，57，40； （2）解：B款茶叶更好， 理由：因为B款茶叶的中位数57大于A款茶叶的中位数56，所以B款茶叶更好（答案不唯一）； （3）解：（亩， 答：估计今年B款铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩．（10分） 19．（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵的平分线交于点 ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 故答案为：；；；．（10分） 20．（1）解：设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）． 答：m的值为6．（10分） 21．（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ∴； 综上，关于x的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：由图象可得，当时的取值范围为或．（10分） 22．（1）解：如图2中，作于O． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵成平角， ∴cm， ∴ cm， ∴ cm， 答：的高度为 cm； （2）解：过点C作于点G，于点K， 由题意得，cm，， ∴在中，， ∴cm， ∴cm， ∵， ∴， 在中，， ∴cm， ∴此时连杆端点D离桌面l的高度为 cm， ∴比原来降低了 cm， 答：此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了 cm．（10分） 23．（1）解：对于，令． ∴，，． ∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，． 由根与系数关系可得：， ∴，． ∴抛物线的解析式为． （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G． 过点E作交y轴于点F． 根据题意，，为等腰直角三角形． 故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：． ∴点G坐标为． ∵，， ， ． ∴． 当时，点M坐标为，面积最大． 此时点H与点E重合，点M与点G重合，， 当点M坐标为时，和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上． 作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为． ∴． ∵，， ∴四边形在平移时始终为平行四边形，． ∴． 对于，，． ∴． ∴的最小值为． 故面积最大时，的最小值为2． （3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图， 根据平移性质可得． 由（2）知，，． ，，则． 在和中，，，， ∴． ∴． ∵，， ∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位， ∴直线的解析式为． 如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限： ①点是和新抛物线的交点，满足． 结合直线和新抛物线的解析式：． 解得或， 由于在第三象限，所以的横坐标为． ②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点． 这样根据轴对称的性质，． 设交于点R． ∵， ∴．， ∵，即， 把，，，代入比例式解得： ． 在中， ． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得： ，解得． ∴直线的解析式为：． 结合抛物线可得： ，解得或． 由于点在第四象限，所以的横坐标为：． 综合①②可得，点Q的横坐标为或．（10分） 24．（1）解：过点作，垂足为M，如图，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∴， 由旋转可得：为等腰直角三角形， ∴； （2）， 证明：连接，，设交于点，延长到点使得，连接，如图， 由题意可得：， ∵为的中位线，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，   ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得， 即， ∴， 即； （3）连接交于点，作交延长线于点，作于点，如图， 由轴对称的性质得，，，，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴， ∴，， 由题意得，，， ∴，   ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴．（10分） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$