2025年九年级中考数学二轮专题复习---圆（一）

2025年九年级中考数学二轮专题---圆（一） 1.已知，如图，在中，是边上一点，过、、三点，直线是的切线，． 求的度数； 如果，的半径为，求的长． 2.如图，已知为直径，是的切线，连接交于点，取弧的中点，连接交于点，过点作于． 求证：∽； 若，，求和的长． 3.如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得． 求证：是的切线； 若，，求的长． 4.如图，点，在上，且，直线与相切． 尺规作图：过点作于点，交于点，连接不写作法，保留作图痕迹 请判断四边形的形状，并说明理由． 5.如图所示，，，为上的三点，，延长交于点，过点作射线的垂线，垂足为． 求证：为的切线； 若半径长为，，求的长． 6.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，延长到点，连接，若． 求证：是的切线； 若，，求的长． 7.如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连结． 求证：是的切线； 若，求和的长． 8.如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． 求证：平分； 若，，求线段的长． 9.如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分． 求证：是的切线； 如果，，求：阴影部分面积． 10.如图，在中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，过点做，垂足为． 求证：是的切线； 若，，求的长． 11.如图，内接于，是的直径，为优弧的中点，连接，，，延长，交于点． 求证：． 求证：． 12.已知的顶点都在上，，过圆上的点作的切线交的延长线于点． 如图，若为直径，为的中点，连接，求和的大小； 如图，若为直径，，于点，交于点，，求线段的长． 13.如图，某隧道的横截面可以看作由半圆与矩形组成，所在直线表示地 平面，点表示隧道内的壁灯，已知，从点观测点的仰角为，观测点的俯角为参考数据的值取． 求的长； 求壁灯的高度． 14.如图，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点． 求证：； 若的半径为，，求的长． 15.如图中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． 求证：； 若，，求的长． 16.已知，与相切于点，连接并延长，交的延长线于点连接，交于点． 如图，若，求的大小； 如图，连接，若，，求的长． 17.如图，为的直径，直线与相切于点，于点，交于点． 求证：平分； 求证：； 若，求的值． 18.如图，已知在中，，以为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点． 请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，连接． 试判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，的半径为，求的长． 19.阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题这个问题由欧几里得在其名著几何原本中详细闹述例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形． 任务； 根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程保留作图痕迹，不写作法． 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 20.粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具图，图是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，、是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切已知：，粒子注入路径与夹角． 求的度数； 通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离相关数据： 21.如图、自左向右、分别是线段上两点、且，以为圆心，为半径在线段的上方作半圆、是半圆上任意一点． 如图、若，连接交半圆于点、求的长； 若线段与半圆有两个公共点，求长的取值范围． 22.如图，经过的顶点，与边，分别交于点，，与边相切于点，连接，，，且． 如图，求证：． 如图，连接，若经过圆心，且，，求的长． 23.如图，是的直径，点、在上，连接、，，，． 求证：； 求的长； 如图，连接，作的角平分线交于，求的长度． 24.如图一，与坐标轴相交于点，点，过两点作直线． 请分别写出、关于直线的对称点坐标          ，          ；若是平面内一点，且，则点横坐标的最大值为          ． 如图二，若是外一点，已知圆上一点，连接和，且直线和中一条经过点，另一条是的切线，求点的坐标． 如图三，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点，另一条是切线，记的长为，当点在线段上运动时，求出的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 9页 2025 年九年级中考数学二轮专题---圆（一） 1.已知，如图，在△ ���中，�是��边上一点，⊙�过�、�、�三点，直线��是⊙�的切线，�� // ��． (1)求∠���的度数； (2)如果∠��� = 75°，⊙�的半径为 2，求��的长． 2.如图，已知��为⊙�直径，��是⊙�的切线，连接��交⊙�于点�，取弧��的中点�，连接��交��于点 �，过点�作�� ⊥ ��于�． (1)求证：△���∽△ ���； (2)若�� = 8，�� = 10，求��和��的长． 3.如图，△ ���内接于⊙�，��为⊙�的直径，点�为⊙�上一点，�� = ��，延长��至�，使得∠��� = ∠���． (1)求证：��是⊙�的切线； (2)若�� = 4，tan∠��� = 12，求��的长． 第 2页，共 9页 4.如图，点�，�在⊙�上，且∠��� = 120°，直线��与⊙�相切． (1)尺规作图：过点�作�� ⊥ ��于点�，交⊙�于点�，连接��. (不写作法，保留作图痕迹) (2)请判断四边形����的形状，并说明理由． 5.如图所示，�，�，�为⊙�上的三点，�� = ��，延长��交⊙�于点�，过点�作射线��的垂线��，垂足 为�． (1)求证：��为⊙�的切线； (2)若⊙�半径长为 5，�� = 12��，求��的长． 6.如图，在△ ���中，�� = ��，以��为直径的⊙�分别交��，��于点�，�，延长��到点�，连接��，若 ∠��� = 2∠���． (1)求证：��是⊙�的切线； (2)若�� = 3，�� = 52，求��的长． 第 3页，共 9页 7.如图，△ ���内接于⊙�，�� = �� = 10，过点�作��/ ​ /��，交⊙�的直径��的延长线于点�，连结��． (1)求证：��是⊙�的切线； (2)若 tan∠��� = 12，求��和��的长． 8.如图，△ ���内接于⊙�，��是⊙�的直径，过点�作⊙�的切线交��的延长线于点�，过点�作�� ⊥ ��， 交直线��于点�，交⊙�于点�． (1)求证：��平分∠���； (2)若�� = 2，�� = 4，求线段��的长． 9.如图，四边形����内接于⊙�，��是⊙�的直径，�� ⊥ ��于点�，��平分∠���． (1)求证：��是⊙�的切线； (2)如果�� = 6，�� = 3，求：阴影部分面积． 10.如图，在△ ���中，�� = ��，�为��上一点，以��为直径的⊙�与��相切于点�，交��于点�，过� 点做�� ⊥ ��，垂足为�． (1)求证：��是⊙�的切线； (2)若�� = 1，�� = 3，求��的长． 第 4页，共 9页 11.如图，△ ���内接于⊙�，��是⊙�的直径，�为优弧���的中点，连接��，��，��，延长��，�� 交于点�． (1)求证：∠��� = ∠���． (2)求证：�� = ��． 12.已知▵���的顶点都在⊙�上，∠��� = 30 ∘，过圆上的点�作⊙�的切线交��的延长线于点�． (1)如图①，若��为直径，�为�� ⌢ 的中点，连接��，求∠���和∠�的大小； (2)如图②，若��为直径，��//��，�� ⊥ ��于点�，交��于点�，�� = 3，求线段��的长． 13.如图，某隧道的横截面可以看作由半圆�与矩形����组成，��所在直线表示地 平面，�点表示隧道内的壁灯，已知�� = 2�，从�点观测�点的仰角为 30°，观测�点的俯角为 14°(参考数 据���76°的值取 4)． (1)求��的长； (2)求壁灯的高度． 第 5页，共 9页 14.如图，△ ���中，�� = ��，以��为直径的⊙�交��于点�，过点�作⊙�的切线交��于点�． (1)求证：�� ⊥ ��； (2)若⊙�的半径为 5，�� = 4，求��的长． 15.如图△ ���中，以��为直径的⊙�交��于点�，��是⊙�的切线，且�� ⊥ ��，垂足为�，延长��交⊙� 于点�． (1)求证：�� = ��； (2)若�� = 2，�� = 2 2，求��的长． 16.已知��，��与⊙�相切于点�，�.连接��并延长，交��的延长线于点�.连接��，交⊙�于点�． (1)如图①，若∠��� = 65 ∘，求∠�的大小； (2)如图②，连接��，若��//��，�� = 3，求��的长． 17.如图，��为⊙�的直径，直线��与⊙�相切于点�，�� ⊥ ��于点�，交⊙�于点�． (1)求证：��平分∠���； (2)求证：��2 = �� ⋅ ��； (3)若�� = 3��，求����的值． 第 6页，共 9页 18.如图，已知在△ ���中，�� = ��，以�为圆心，��的长为半径作圆，��是⊙�的切线与��的延长线交 于点�． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点�作��的垂线交��的延长线于点�. (保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接��． ①试判断直线��与⊙�的位置关系，并说明理由； ②若���� = 34，⊙�的半径为 3，求��的长． 19.阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个 圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细闹述.例：如图，在平面直角坐标系 中，点�与原点�重合，点�在�轴的正半轴上且坐标为(2,0) 操作步骤： ①分别以点�，�为圆心，��的长为半径作弧，两弧(�轴上方部分)交于点�； ②以点�为圆心，��的长为半径作圆； ③以��的长为半径，在⊙�上顺次截取�� = �� = �� = ��； ④顺次连接��，��，��，��，��，得到正六边形������． 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程(保留作图痕迹，不写作法)． (2)将正六边形������绕点�顺时针旋转 60°，直接写出此时点�所在位置的坐标． 第 7页，共 9页 20.粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具.图 1，图 2 是某环形粒子加速器的 实景图和构造原理图，图 3 是粒子加速器的俯视示意图，⊙�是粒子真空室，�、�是两个加速电极，高速 飞行的粒子�在�点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过��时被加速，达到一定的速度在�点引出， 粒子注入和引出路径都与⊙�相切.已知：�� = 16��，粒子注入路径与��夹角� = 53°． (1)求∠���的度数； (2)通过计算，求粒子�在环形运动过程中，粒子�到��的最远距离(相关数据：���37° ≈ 34 ) 21.如图 1、自左向右�、�分别是线段��上两点、且�� = �� = �� = 3，以�为圆心，��为半径在线段�� 的上方作半圆�、�是半圆�上任意一点． (1)如图 2、若�� = ��，连接��交半圆�于点�、求��的长； (2)若线段��与半圆�有两个公共点，求��长�的取值范围． 第 8页，共 9页 22.如图，⊙�经过△ ���的顶点�，与边��，��分别交于点�，�，与边��相切于点�，连接��，��，��， 且�� = ��． (1)如图 1，求证：��2 = �� ⋅ ��． (2)如图 2，连接��，若��经过圆心�，且�� = 6，�� = 4，求��的长． 23.如图 1，��是⊙�的直径，点�、�在⊙�上，连接��、��，��//��，�� = 10，�� = 2 5． (1)求证：�� ⊥ ��； (2)求��的长； (3)如图 2，连接��，作∠���的角平分线交⊙�于�，求��的长度． 第 9页，共 9页 24.如图一，⊙�与坐标轴相交于点�(0,2)，点�(2,0)，过��两点作直线． (1) ①请分别写出(2,4)、(1,0)关于直线��的对称点坐标 ， ；②若�是平面内一点，且∠��� = 45 ∘， 则�点横坐标的最大值为 ． (2)如图二，若�是⊙�外一点，已知圆上一点�( 2, − 2)，连接��和��，且直线��和��中一条经过点�， 另一条是⊙�的切线，求点�的坐标． (3)如图三，已知点�(4,0)，�(0,3)，对于线段��上一点�，存在⊙�的弦��，连接��，��，使得直线�� 和��中一条经过点�，另一条是⊙�切线，记��的长为�，当点�在线段��上运动时，求出�的取值范围． 参考答案 1.【答案】解：直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ； 过点作于点． ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，   2.【答案】证明：为直径，是的切线， ， ， ， ∽； 解：连接，如图， 为直径， ， 而， ∽， ，即， ， 点为弧的中点， ， ，， ， 设，则，， ∽， ，即，解得， 即．  3.【答案】证明：连接，如图所示： 为的直径， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， ， 即， 为的半径， 是的切线； 解：， ， ， ，， ， 在中，， 设，， ，， ∽， ：：：， 即：：：， 由：：，得：， 由：：，得：， ， ．  4.【答案】解：如图，线段为所求； 四边形为菱形． 理由：如图，连接． 直线与相切， ， ． ， ， ， ． ， ． ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ， ， 四边形为菱形．  5.【答案】证明：连接，连接并延长交于， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 四边形是矩形， ， 是的半径， 为的切线； 解：由知，四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， 或不合题意舍去， ，， ．  6.【答案】证明：连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的直径， 是的切线； 解：连接， 为的直径， ，， ， ，， ∽， ， ，， ， ．  7.【答案】证明：连接并延长交于点，连接，则， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 解：， ， ， ， ， ，， ，且， ， 解得， ， ，， ， ， ， ， 的长是，的长是．  8.【答案】证明：连接， 与相切于点， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 解：，， ， 是的直径， ， ， ∽， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ．  9.【答案】证明：连接， ， ． 平分， ． ． ． ， ， ． ， 即． 又点在上， 是的切线； 解：是的直径， ． ， ， 又， ∽． ， ，， ， ， ， 延长交于， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 阴影部分面积．  10.【答案】证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； 解：如图，连接，， 是的切线， ， ， ， 与相切于点， ， 四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为，则， ， 在中，，， ， 在中，，， ．  11.【答案】证明：连接， 点为优弧的中点， 弧弧， ， ， ，， ； 是的直径， ， ， 点为优弧的中点， 弧弧， ， ， ， ， ， ．  12.【答案】【小题】 解：为直径， ， ， ， 为的中点， ， 如图，连接， 是的切线，切点为， ， ， ， ； 【小题】 解：如图，连接，， 为直径， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线，切点为， ， ，， 在中，．   13.【答案】解：连接， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， 的长， 的长为； 连接，过点作，垂足为， 是半圆的直径， ， ，， ，， 在中，， ， 壁灯的高度， 壁灯的高度是．  14.【答案】证明：如图，连接． 为的切线，为半径， ．． ，B. ， B. ． ． ． ． 解：如图，过点作于点． ． ， 四边形为矩形． ，． ， 在中，． ， ．  15.【答案】证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ． 解：连接、，则， 是的直径， ， ， ， ， ， ∽， ， ，， ， ， 的长是．  16.【答案】【小题】 解：连接，如图所示： ，与相切于点，． ，， ， ； 【小题】 解：连接，设， 是的切线， ， ， ， ， 即， ， 是等边三角形， ， ， 在中，   17.【答案】【小题】 解：证明：连接，如图，    为的切线， ， ， ， ， 又， ， ， 平分． 【小题】 解：证明：连接、，如图，    ，且， ， 而， ， 又， ， ， ． 【小题】 解：如图，设，则，， ， ， 在中，， 是的直径， ， ． ， ， ， ， ， ．   18.【答案】解：如图，为所作垂线； 与相切，理由如下： 在中，，是的垂线， ，且是的垂直平分线， ， ． 与相切于点， ， 即， 与相切； 在中， ，， ， 根据勾股定理，得， ， 在中， ， ．  19.【答案】解：如图，正六边形即为所求； 由题意， 所以正六边形绕点顺时针旋转，此时点坐标为  20.【答案】如图，延长，交于，由题意得，，是的切线， ， ； 如图，过点作于点，延长交于点，连接，， 是的切线， ， ，， 的弦，是弦心距，，， ，， ， ， ， 如图，当粒子运动到点时，离的距离最远， ， 即粒子到的最远距离是．  21.【答案】解：连接， ， ， ，， ， 过点作于点， ， ，， ∽， ， ， ； 当点与半圆相切时，连接，， ，， ， ， ． 当点与点重合时， ， 所以若线段与半圆有两个公共点，．  22.【答案】解：证明：连接，并延长交于点，连接， 与相切于点， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ； ， ， 是的切线， ， ， ， ， ，，， 是的直径， ， ， ， ， 即， ， ∽， ， ， ， ， ．  23.【答案】证明：是的直径， ， ， ， ； 解：连接，作于，于，如图，则， 为的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； 解：作于，连接、，如图， 平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，， ．  24.【答案】【小题】   【小题】 解：由题意分以下两种情况讨论： 如图，若为切线，则点是直线与直线的交点．此时． 如图，若为切线，则，点是直线轴与直线的交点． 易得的解析式为此时 综上所述，，． 【小题】 解：不妨设为切点，和为直线与的两个交点，且为短弦，为长弦 共有种临界情况，分别位于点和经过点的的垂线上．     当位于点时，为的切线，连结，，， ， ，；     当位于经过点的的垂线上时， 如图： ，， ， ， ， 由题易得：， ， ， 在直角三角形中， 解的：， 在两种情况下，最小值在内，最大值在， 综上所述，的取值范围为或   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$