专题01 二次根式（考题猜想，压轴必刷6大题型）八年级数学下学期新教材沪科版

专题01 二次根式 目录 题型一 根据参数范围化简二次根式 1 题型二 含隐含条件的参数范围化简二次根式 3 题型三 已知字母的值或式字的值，化简求值 5 题型四 复杂的复合二次根式化简 11 题型五 二次根式中的分母有理化 16 题型六 二次根式中的规律探究问题 21 题型一 根据参数范围化简二次根式 1．（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）当时，化简的结果是 ． 4．（24-25九年级上·山西长治·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．    5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 题型二 含隐含条件的参数范围化简二次根式 1．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 题型三 已知字母的值或式字的值，化简求值 1．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，，则 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知， (1)求的值； (2)求的值． 6．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 8．（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 题型四 复杂的复合二次根式化简 1．（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 4．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 题型五 二次根式中的分母有理化 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）阅读下列解题过程： 请你参考上面的化简方法，解决如下问题： (1)计算：； (2)计算：． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题． 因为，所以； 因为， 所以； 因为，所以． 依次类推． (1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示． (2)请用你发现的规律计算式子的值． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）观察下列等式： …… 回答下列各题： (1)= ． (2)计算： (3)已知，试求a的值． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 题型六 二次根式中的规律探究问题 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察分析下列数据：，…，根据数据排列的规律，得到第28个数据应是 ． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则 ． 4．（23-24九年级上·河南南阳·期中）观察下列各式并按规律填空：；；… (1)　　； (2)按此规律第n个等式可以表示为 　　； (3)请写出（2）中等式的推导过程． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 6．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）观察下列各式及证明过程： ①；②；③． 验证：；． (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出第4个和第5个等式，并选择其中一个写出证明过程； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且）表示的等式，并证明． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 目录 题型一 根据参数范围化简二次根式 1 题型二 含隐含条件的参数范围化简二次根式 3 题型三 已知字母的值或式字的值，化简求值 5 题型四 复杂的复合二次根式化简 11 题型五 二次根式中的分母有理化 16 题型六 二次根式中的规律探究问题 21 题型一 根据参数范围化简二次根式 1．（24-25九年级上·山西晋城·期中）已知，化简的正确结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选：A 2．（24-25八年级上·广东茂名·期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．由数轴，得，于是得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴，得， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西长治·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．    【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，解题关键是掌握绝对值性质和二次根式的性质． 由数轴得，，再根据绝对值性质和二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 题型二 含隐含条件的参数范围化简二次根式 1．（24-25八年级上·北京顺义·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三 已知字母的值或式字的值，化简求值 1．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）若，则 ． 【答案】4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握代数式求值，完全平方公式，灵活运用配方法是解题的关键．利用配方法将原式变形，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，，则 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先根据完全平方公式将原式整理成，再代入求解即可． 【详解】解： 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】方法一，直接将代入代数式，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案；方法二，先利用完全平方和公式配方，再将代入，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由有理数减法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：方法一： 当时， ； 方法二： 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查整数的化简求值，涉及二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式等性质，熟练掌握完全平方公式及二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)22 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）利用平方差公式可计算出答案； （2）将原式变形为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：已知， 那么 （2）解：原式= 其中， 那么原式 6．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【知识点】二次根式的混合运算、通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 8．（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 题型四 复杂的复合二次根式化简 1．（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】复合二次根式的化简、求一个数的平方根、求一个数的立方根、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 4．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 题型五 二次根式中的分母有理化 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）阅读下列解题过程： 请你参考上面的化简方法，解决如下问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算； （1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意证明，进而将原式转变为，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴ ． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：原式 ． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题． 因为，所以； 因为， 所以； 因为，所以． 依次类推． (1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示． (2)请用你发现的规律计算式子的值． 【答案】(1) (2)9 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案． 本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键． 【详解】（1）解：当n是正整数时， ； （2）解： ． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）观察下列等式： …… 回答下列各题： (1)= ． (2)计算： (3)已知，试求a的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可； （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可； （3）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算得到，进而求解即可． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2） ； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 【答案】(1) (2) (3)2023 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：猜想：， 验证： ， 故答案为：； （3）解： ． 题型六 二次根式中的规律探究问题 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察分析下列数据：，…，根据数据排列的规律，得到第28个数据应是 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察前面几个数可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，根号下的数为3乘以序号减1的结果，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， 第五个数为， ……， 以此类推，可知，第n个数为， ∴第28个数据应是， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】/ 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·河南南阳·期中）观察下列各式并按规律填空：；；… (1)　　； (2)按此规律第n个等式可以表示为 　　； (3)请写出（2）中等式的推导过程． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的应用，数字类规律探索，完全平方公式，根据已知等式发现一般规律是解题关键． （1）根据已知等式，发现一般规律，即可得到答案； （2）根据（1）所得结论，即可得到答案； （3）根据二次根式的性质以及完全平方公式进行化简，即可得到答案 【详解】（1）解：； ； … 观察发现一般规律：， ， 故答案为：； （2）解：由（1）得可知，第n个式子可以表示为：； 故答案为：； （3）解： ． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 6．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）观察下列各式及证明过程： ①；②；③． 验证：；． (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出第4个和第5个等式，并选择其中一个写出证明过程； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且）表示的等式，并证明． 【答案】(1)，，验证见详解； (2)，验证见详解； 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据前三个式子即可写出第4个和第5个式子，应用二次根式的性质对二次根式变形进行验证即可； （2）应用二次根式的性质对二次根式变形进行验证即可． 【详解】（1）由前三个式子可知第4个式子为：， 验证：， 第5个式子为：， 验证： （2）由各式规律可得：， 验证： 【点睛】本题主要考查二次根式的变形，能够根据所给式子总结规律，并借助二次根式性质进行验证是解题的关键． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，计算：； (2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用与实数运算相关的规律题，利用二次根式的性质化简．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）由题意知，，然后求解作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为； （3）解：由题意知，， ∴． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，见解析 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； ②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值； （2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）． ②∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：， 验证如下： ． 9．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$