清单01 二次根式（5个考点清单+9个题型解读）八年级数学下学期新教材沪科版

清单01 二次根式 目录 【考点题型一】判断是否为二次根式（） 3 【考点题型二】根据二次根式有意义条件求范围（） 5 【考点题型三】根据二次根式有意义求值（） 7 【考点题型四】最简二次根式的判断（） 8 【考点题型五】化为最简二次根式（） 10 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 12 【考点题型七】比较二次根式的大小（） 14 【考点题型八】二次根式的混合运算（） 16 【考点题型九】二次根式中的新定义型问题（） 19 清单01 二次根式的概念 1．二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2．二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2．二次根式有无意义的条件 1．二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2．二次根式无意义：被开方数为负数，即； 清单02 二次根式的性质 1．二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2．二次根式的性质：（） 3．二次根式的性质： 清单03 最简二次根式 1．最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 清单04 同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 清单05 二次根式的运算 1．二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2．二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3．二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4．二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】判断是否为二次根式（） 例题：（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：， 根据二次根式的定义可知，四个选项中只有A选项中的式子是二次根式， 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的代数式叫做二次根式，据此逐项判断即可求得结果，掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的定义可得A，B，不符合题意， 在D中，不符合题意， ∴只有选项C符合题意， 故选；C． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故A选项符合题意．     B、是三次根式，故B选项不符合题意．     C、，不是二次根式，故C选项不符合题意．     D、，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 【考点题型二】根据二次根式有意义条件求范围（） 例题：（24-25八年级上·广东茂名·期中）二次根式有意义，则x的值可以为（  ） A．4 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，时，二次根式有意义， 解得， 故选：B． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）当代数式有意义时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：． 故选B． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）要使式子有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故选：C． 【考点题型三】根据二次根式有意义求值（） 例题：（24-25八年级上·福建漳州·期中）若实数满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，代入求值，掌握二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键． 根据题意得到，得到，则，代入计算即可求解． 【详解】解：实数满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以得到，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.本题主要考查了二次根式的非负性及分式有意义的条件当时由意义，分式的分母不为0时分式有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ，且， ，且， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：4 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质，可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型四】最简二次根式的判断（） 例题：（24-25九年级上·江苏·期中）在下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得，掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 【详解】解：A、原式，不是最简二次根式，不符合题意； B、原式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、原式，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）被开方数不能含有分母；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确； B、，不是最简二次根式，错误； C、，不是最简二次根式，错误； D、，不是最简二次根式，错误； 故选A． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．进行解题即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【考点题型五】化为最简二次根式（） 例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键． 最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式 【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 例题：（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意； B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．将所给的二次根式进行化简即可得到答案． 【详解】解∶，，，， 则不能与合并的是， 故答案为∶． 3．（24-25八年级下·全国·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，，然后求解即可，即可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴的值等于． 故答案为：． 【考点题型七】比较二次根式的大小（） 例题：（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，先比较的大小，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可求解，掌握二次根式的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是两个无理数的大小比较，二次根式的性质；比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点题型八】二次根式的混合运算（） 例题：（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)1 【知识点】化简绝对值、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、分母有理化 【分析】本题考查含绝对值、二次根式乘法及分母有理化的二次根式的混合运算，解题关键是准确处理各项运算规则． （1）通过完全平方公式展开，化简二次根式后合并同类项； （2）分别处理绝对值、二次根式乘法、分母有理化，再合并计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2） 3．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂以及零次幂． （1）根据二次根式的乘除法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法，负整数指数幂以及零次幂的性质计算即可求解； （3）根据二次根式的混合运算法则计算即可求解； （4）先化简二次根式，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型九】二次根式中的新定义型问题（） 例题：（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们定义新运算：，例如：． (1)计算：________； (2)若a为实数，试化简． 【答案】(1) (2)时，原式；时，原式． 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算． （1）根据新规定运算法则计算即可； （2）先根据新规定运算法则计算，再讨论a的取值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 当，即时，原式； 当，即时，原式． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 【答案】(1)和是因子二次根式，因子为； (2)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴和是因子二次根式，因子为； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次根式 目录 【考点题型一】判断是否为二次根式（） 3 【考点题型二】根据二次根式有意义条件求范围（） 5 【考点题型三】根据二次根式有意义求值（） 7 【考点题型四】最简二次根式的判断（） 8 【考点题型五】化为最简二次根式（） 10 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 12 【考点题型七】比较二次根式的大小（） 14 【考点题型八】二次根式的混合运算（） 16 【考点题型九】二次根式中的新定义型问题（） 19 清单01 二次根式的概念 1．二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2．二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2．二次根式有无意义的条件 1．二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2．二次根式无意义：被开方数为负数，即； 清单02 二次根式的性质 1．二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2．二次根式的性质：（） 3．二次根式的性质： 清单03 最简二次根式 1．最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 清单04 同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 清单05 二次根式的运算 1．二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2．二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3．二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4．二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】判断是否为二次根式（） 例题：（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点变式】 1．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据二次根式有意义条件求范围（） 例题：（24-25八年级上·广东茂名·期中）二次根式有意义，则x的值可以为（  ） A．4 B．1 C．3 D．5 【考点变式】 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）当代数式有意义时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）要使式子有意义，则x的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【考点题型三】根据二次根式有意义求值（） 例题：（24-25八年级上·福建漳州·期中）若实数满足，则的值为 ． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值是 ． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【考点题型四】最简二次根式的判断（） 例题：（24-25九年级上·江苏·期中）在下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】化为最简二次根式（） 例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）化简： ． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ． 3．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【考点题型六】同类二次根式的判断（） 例题：（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·天津西青·期中）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，不能与合并的是 ． 3．（24-25八年级下·全国·期中）与最简二次根式能合并，则 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【考点题型七】比较二次根式的大小（） 例题：（24-25八年级上·陕西·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 2．（24-25八年级上·上海·期中）比较大小： 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【考点题型八】二次根式的混合运算（） 例题：（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【考点题型九】二次根式中的新定义型问题（） 例题：（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们定义新运算：，例如：． (1)计算：________； (2)若a为实数，试化简． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$