专题05 平面直角坐标系中面积和规律探究问题（3大基础题+2大提升题，人教版2024）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题05 平面直角坐标系中面积和规律探究问题 题型概览 经典基础题 题型01平面直角坐标系中动点移动问题 题型02平面直角坐标系中图形规律摆放问题 题型03平面直角坐标系中新定义型问题 优选提升题 题型01与图形面积相关的点的存在性问题 题型02平面直角坐标系中与平行线的综合问题 平面直角坐标系中动点移动问题题型01 1．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】期中情境测试卷 【分析】本题考查了点的坐标规律探究性问题，按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案． 【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下， 由题意得，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次， ， 点的坐标与相同， ． 故选：D． 2．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期中)如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省安庆市桐城市第二中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了规律型点的坐标．先找出坐标轴上的点所用的时间的规律，再按照运动方向推断求解． 【详解】解：在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向右、向下移动， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， ， 在第分钟时，粒子所在的位置是，开始向上、向左移动， 在第2024分钟时，这个粒子所在位置的坐标是， 故选：A． 3．(24-25八上·山东青岛第二十六中学·期中)在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为 ． 【答案】 【来源】山东省青岛第二十六中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查动点的坐标问题，找到规律是解题的关键．由题意知，，，蚂蚁爬行一周的路程是个单位，即可求出答案． 【详解】解：由题意知：，， 故蚂蚁爬行一周的路程是个单位， ， 即当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为， 故答案为：． 4．如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 【答案】 【来源】下学期期中综合测试卷 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运动规律，找出点的运动规律是解题的关键． 根据点的运动可得，横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环，由此即可求解． 【详解】解：第一次从原点跳动到点， 第二次跳动到点， 第三次跳动到点， 第四次跳动到点， 第五次跳动到点， 第六次跳动到点， ∴横坐标与所跳次数相同，即跳了次，该点的横坐标为，纵坐标每5次一循环， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动【即】，且每秒移动一个单位，那么第41秒时质点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【来源】四川省成都市双流区棠湖外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷　 【分析】此题考查了规律型：点的坐标，从所给数据及图形中找出规律是解本题的关键．通过观察和归纳要知道所有偶数的平方均在x轴上，且坐标为k，便对应第个点，且从向上走k个点就转向左边；所有奇数的平方均在y轴上，且坐标为k，便对应第个点，且从向右走k个点就转向下边，计算可知，从而可求结果． 【详解】解：∵， ∴先找到，向上5个单位，即为第41秒时质点所在位置， 则第41秒时质点所在位置的坐标是． 故答案为： 6．(24-25八上·四川成都外国语学校·)如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是 ，第2024秒时点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【来源】四川省成都外国语学校2024-2025学年上学期八年级半期考试数学试卷 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，分析点的运动路线及所处位置的坐标得出规律“动点第秒运动到”，进而得出答案即可．从所给的数据和图形中得出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意分析可得： 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 以此类推，动点第秒运动到， 又， 第2024秒时点所在位置的坐标是， 故答案为：，． 平面直角坐标系中图形规律摆放问题题型02 1．(23-24七下·福建福州闽侯县·期中)如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】福建省福州市闽侯县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给正方形的摆放方式，发现点为正整数）坐标的变化规律是解题的关键．根据正方形的摆放方式，依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：根据正方形的摆放方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可见，点为正整数）的横坐标为，且纵坐标按0，1，1，0，0，，，0循环出现， 因为，， 所以点的坐标为． 故选：A 2．(23-24七下·福建福州铜盘中学·期中)在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“O→→→→，…”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，，…，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是 ． 【答案】 【来源】福建省福州铜盘中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了点坐标的规律，理解题意、发现规律并灵活运用规律是解题的关键． 根据图形写出至的坐标，然后归纳规律，最后按照规律即可解答． 【详解】解：由图可知：， 观察发现：所有偶数点都在x轴上，且横坐标与序数相同，则． 故答案为：． 平面直角坐标系中新定义型问题题型03 1．(24-25八上·山东济南历城区·期中)规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到，再将关于x轴作轴对称从而得到．若点经过“”共2024次变换后得到点，则点的坐标为 【答案】 【来源】山东省济南市历城区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了坐标的变化规律，平移以及轴对称变化，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据平移以及轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解：点按序列“01”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将作3次变换，可得，，，，, 综上可得，点的横坐标为，纵坐标以四次一个循环， ∴的横坐标为，纵坐标为，为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 2．(24-25八上·四川成都七中育才学校·期中)学习了平面直角坐标系后，初二（1）班的同学组成了数学课外小组，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，，当时，，其中表示非负实数a的整数部分，例如：，．按此方案，第6棵树种植点为 ；第2024棵树种植点为 ． 【答案】 【来源】四川省成都市七中育才学校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律，根据新定义得出的值，找到规律，即可求解． 【详解】解：∵，， ，……，， ∵ 当，11，16，时，， 当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0， ， ， ． ∴第6棵树种植点为， ∵， ，， 第2024棵树种植点为 故答案为：，． 3．(24-25八上·安徽马鞍山东方实验学校·期中)对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 6 或 【来源】安徽省马鞍山东方实验学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)在平面直角坐标系中，点，丽丽同学对点A进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以，另一坐标不变．第一次将点A的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第四次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第五次将的横坐标乘以，纵坐标不变得到……，她按照上述规律操作，则点的坐标为 ． 【答案】 【来源】黑龙江省哈尔滨市双城区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是明确题意，发现坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．根据题意知：点坐标的变化规律是每操作4次，点回到原来的位置，从而可以确定点的坐标． 【详解】解：由题意知：， 第一次操作后，， 第二次操作后，， 第三次操作后，， 第四次操作后，， 第五次操作后，， 由此可得，每4次一个循环， ， 点的坐标为， 故答案为：． 5．(24-25八上·四川成都温江区冠城实验学校·期中)在平面直角坐标系中点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【来源】四川省 成都市温江区冠城实验学校2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，故观察点的坐标可知，点至为一个循环，即每4个点循环一次，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， 故观察点的坐标可知，点至为一个循环，即每4个点循环一次， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，为， 故答案为：． 6．(24-25八上·四川师大附中教育集团·期中)在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【来源】四川师大附中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了新定义，点的坐标，理解并掌握“友好点”的定义是解题的关键．根据“友好点”的定义，分两种情况进行讨论，求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时，由题意得：， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当时，由题意得：， 解得：， ∵， ∴符合题意； 综上所述：点P的坐标为或． 故答案为：或． 与图形面积相关的点的存在性问题题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，点．(24-25八上·陕西咸阳实验中学·)A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)存在，见解析 【来源】陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年八年级上学期第二次质量检测数学试卷 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解：， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）解：分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 2．(23-24七下·广西南宁·期中)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，18 (2)存在，或 (3)存在，或． 【来源】广西壮族自治区南宁市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征等知识点，根据平移变换的性质求出点C，D的坐标是解题的关键． （1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据直线上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，， ∴四边形的面积． （2）解：存在， 设点P的坐标为， 由题意得：，解得：， ∴点P的坐标为或． （3）解：设点Q的坐标为，则， 由题意得：，解得：或， 则点Q的坐标为或． 【点睛】 3．(23-24七下·云南昆明呈贡区云南师范大学附属中学呈贡学校·期中)在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点，的坐标； (2)如图，若，且，分别平分，，求的值； (3)如图，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【来源】云南省昆明市呈贡区云南师范大学附属中学呈贡学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标； （2）作，由知，从而得出、，进而得，代入可得答案； （3）先计算的面积，再分点在轴上和在轴上讨论．当点在轴上时，设，利用，可解得的值，可求得点坐标；当点在轴上时，设，根据三角形面积公式得，同理可得到关于的方程，可求得的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，； （2）如图，过点作，交轴于点，   ， 又∵， ， ， ， ∴； （3）解：存在． ∵，，， ∴的面积， 当点在轴上时，设，   ， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设， 则， 解得或， 此时点坐标为或， 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足． (1)______，______． (2)若点在轴的正半轴上，且三角形的面积为6，求点的坐标． (3)将线段沿轴或轴平移得到线段，是否存在四边形，使四边形的面积等于三角形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【来源】贵州省罗甸县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了坐标与图形、平移的性质、算术平方根的非负性等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据非负数的性质进行解答即可； （2）由（1）得点，点，则，．设点的坐标为．利用三角形的面积为6列方程，解方程即可得到答案； （3）分线段沿轴平移和线段沿轴平移两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， 故答案为： （2）由（1）得点，点， ，． 设点的坐标为． 由题知，解得或0． 当时，点的坐标为，不符合题意，舍去； 点的坐标为． （3）存在． 当线段沿轴平移时，设点的坐标为． ， ， 解得或10， 点的坐标为或； 当线段沿轴平移时，设点的坐标为． ， ，解得， 点的坐标为或 综上，点的坐标为或或或． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且满足，现同时将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，，．      (1)求点，的坐标； (2)如图，若点在轴负半轴上，连接，，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)，． 【来源】云南省昆明市五华区云南民族大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（）运用非负数的性质，确定的值,得到，的坐标，根据平移的规律得到，的坐标； （）过作，证明，则，，再根据角度和差即可； （）设点坐标为，根据面积公式计算即可； 本题考查了实数的非负性，坐标及其平移，平行线的判定和性质，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定和性质，三角形面积坐标表示法是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴，， 根据点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位， ∴，， 即，； （2）的数量关系为，理由如下：    过作， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）设点坐标为，根据题意，得， 整理得 ， 解得： 或， 故点，． 平面直角坐标系中与平行线的综合问题题型02 1．如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向左平移3个单位长度，得到线段，连接．                       图1                                                                            图2 (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为：或或或 【来源】江西省宜春市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】对于（1），结合点A，B的坐标根据平移特点横坐标加上3，纵坐标不变可得答案； 对于（2），作，根据平移的性质得，再根据平行线的性质得然后根据可得答案； 对于（3），先求出平行四边形的面积，分点P在x轴上时，作出图形根据，可得答案；然后根据点P在y轴上时结合，可得答案；最后根据点P在y轴正半轴时，结合，得出答案即可． 【详解】（1）∵线段的两个端点坐标分别为，将线段向右平移3个单位长度，得到线段， ∴； （2）理由如下： 过点F作，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∴ ∵ ∴， 即：； （3）存在；理由如下： 由平移的性质得：． ∵ ∴，边上的高为2， ∴． ①当点P在x轴上时，如图所示： 则， ∴， ∴点P的坐标为：或； ②当点P在y轴上时， 设点P的坐标为， 若点P在y轴负半轴，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 点P在y轴正半轴时，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标内线段的平移，平行线的性质，求点的坐标，求三角形和平行四边形的面积，注意分情况讨论，不能丢解． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【来源】山东省德州市宁津县大庄中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查非负数的性质、都不行内角和定理，平行线的性质，坐标与图形， （1）根据绝对值以及偶次幂的非负性求得的值，进而求得的坐标； （2）根据平移可得，过点作,根据，得出，进而即可求解； （3）根据题意求出的面积，分点在轴上、点在轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，，， 则点，的坐标分别为，； （2）， 理由如下： 如图所示，过点作, 根据平移可知， ∴ ； （3）由题意得，点的坐标为，点的坐标为， 则的面积， 当点在轴上时，设点的坐标为， 则， 由题意得，， 解得，或， 综上所述，三角形的面积与三角形的面积相等时，点的坐标为或 3．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，如图1，现同时将点，分别先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到，的对应点，，连接，，． (1)直接写出，，，的坐标（不需写出过程）． (2)在轴上有一动点，使，求点的坐标． (3)点分别是四边形的边上的一个动点，如图2，连接，，当点在线段上移动（不与、重合）时，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请说明理由并求出其值． 【答案】(1)，，，； (2)或； (3)不改变，． 【来源】广东省江门市鹤山市2023-2024学年七年级下学期数学试题 【分析】此题考查了坐标与图形，平行公理的应用，平行线的性质，平移的性质． （）由根据几个非负数之和为零，则每一项都为零，求出，即可； （）设，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可； （）如图，过作，由，，证明， 可得， 再证明，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：，， ∴，， ∵同时将点，分别先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到，的对应点，， ∴，； （2）解：设， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：如图，过作， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（______），点D（______）； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，点N的运动时间为t秒． ①若两点同时出发，当t取何值时，轴？ ②连接，当t取何值时，三角形的面积为？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)①秒后，轴；②t为2秒或6秒时，三角形的面积为 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【来源】吉林省吉林市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质，一元一次方程的应用． （1）利用平移的性质求解即可； （2）①设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可；②由题意得：，根据列方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：①设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； ②如图所示： 由题意得：， ， ， ，即， ， 或， t为2秒或6秒时，三角形的面积为； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作， 同②可证． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面直角坐标系中面积和规律探究问题 题型概览 经典基础题 题型01平面直角坐标系中动点移动问题 题型02平面直角坐标系中图形规律摆放问题 题型03平面直角坐标系中新定义型问题 优选提升题 题型01与图形面积相关的点的存在性问题 题型02平面直角坐标系中与平行线的综合问题 平面直角坐标系中动点移动问题题型01 1．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·安徽安庆桐城第二中学·期中)如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·山东青岛第二十六中学·期中)在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为 ． 4．如图，动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五次跳动到点，第六次跳动到点，…按这样的跳动规律，点的坐标是 ． 5．(24-25八上·四川成都双流区棠湖外国语学校·期中)一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动【即】，且每秒移动一个单位，那么第41秒时质点所在位置的坐标是 ． 6．(24-25八上·四川成都外国语学校·)如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是 ，第2024秒时点所在位置的坐标是 ． 平面直角坐标系中图形规律摆放问题题型02 1．(23-24七下·福建福州闽侯县·期中)如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24七下·福建福州铜盘中学·期中)在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“O→→→→，…”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，，…，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是 ． 平面直角坐标系中新定义型问题题型03 1．(24-25八上·山东济南历城区·期中)规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“”作2次变换，表示点M先向右平移一个单位得到，再将关于x轴作轴对称从而得到．若点经过“”共2024次变换后得到点，则点的坐标为 2．(24-25八上·四川成都七中育才学校·期中)学习了平面直角坐标系后，初二（1）班的同学组成了数学课外小组，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，，当时，，其中表示非负实数a的整数部分，例如：，．按此方案，第6棵树种植点为 ；第2024棵树种植点为 ． 3．(24-25八上·安徽马鞍山东方实验学校·期中)对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)在平面直角坐标系中，点，丽丽同学对点A进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以，另一坐标不变．第一次将点A的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第四次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第五次将的横坐标乘以，纵坐标不变得到……，她按照上述规律操作，则点的坐标为 ． 5．(24-25八上·四川成都温江区冠城实验学校·期中)在平面直角坐标系中点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 6．(24-25八上·四川师大附中教育集团·期中)在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为 ． 与图形面积相关的点的存在性问题题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，点．(24-25八上·陕西咸阳实验中学·)A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 2．(23-24七下·广西南宁·期中)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．(23-24七下·云南昆明呈贡区云南师范大学附属中学呈贡学校·期中)在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点，的坐标； (2)如图，若，且，分别平分，，求的值； (3)如图，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足． (1)______，______． (2)若点在轴的正半轴上，且三角形的面积为6，求点的坐标． (3)将线段沿轴或轴平移得到线段，是否存在四边形，使四边形的面积等于三角形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且满足，现同时将点，分别向下平移个单位，再向左平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，，．      (1)求点，的坐标； (2)如图，若点在轴负半轴上，连接，，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 平面直角坐标系中与平行线的综合问题题型02 1．如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向左平移3个单位长度，得到线段，连接．                       图1                                                                            图2 (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 3．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，如图1，现同时将点，分别先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到，的对应点，，连接，，． (1)直接写出，，，的坐标（不需写出过程）． (2)在轴上有一动点，使，求点的坐标． (3)点分别是四边形的边上的一个动点，如图2，连接，，当点在线段上移动（不与、重合）时，的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请说明理由并求出其值． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（______），点D（______）； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，点N的运动时间为t秒． ①若两点同时出发，当t取何值时，轴？ ②连接，当t取何值时，三角形的面积为？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$