精品解析：河南省商丘市睢县睢县多乡镇联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性测试卷八年级数学（RJ） 测试范围：16章到17章 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题下上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列式子一定是二次根式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解． 【详解】解：的值可以是正数、负数、零，故选项A不一定是二次根式，不符合题意； 可以是正数、负数、零，故选项B不一定是二次根式，不符合题意； ∵，∴选项C一定是二次根式，符合题意； 的值可以是正数、负数、零，故选项D不一定是二次根式，不符合题意； 故选：C 2. 已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A、∵，∴，本选项不符合题意； B、∵，满足，本选项符合题意； C、∵，而，∴，本选项不符合题意； D、∵，，∴，本选项不符合题意． 故选：B． 3. 在根式，，，，中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是最简二次根式； 故选A． 4. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点O为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点B，则点B在数轴上表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵以原点O为圆心，阴影正方形边长为半径圆弧交数轴正半轴于点B， ∴， ∴点B在数轴上表示的数为， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据二次根式的加法，减法，乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距4米，则原来大树有（　　） A. B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图所示，在中，，，设，得到，根据勾股定理列出方程即可得到结论． 【详解】解：在中，米，， 设，则， 根据勾股定理列出方程， 解得：（负值舍去）， 原来大树是米． 故选：． 7. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算及不等式的性质，先根据无理数的估算得出，再根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】 即 故选D． 8. 如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ） A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴顺艺号轮船平每小时航行：（海里） 故选：A． 9. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选D 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 10. 如图，在中，，，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点作于，交于，过点作于，先证明是等腰直角三角形，得，，，再证明，计算和的长，根据三角形的面积公式可解答． 【详解】解：如图，过点作于，交于，过点作于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，4， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴△ABC的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比小的正整数______． 【答案】1或2． 【解析】 【分析】先估算出在哪两个整数之间，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴比小的正整数有1，2， 故答案为：1或2． 【点睛】题目主要考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟练运用用“夹逼法”估算无理数大小范围． 12. 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查勾股树，根据根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积的和等于正方形E的面积，可得正方形C，D的面积的和等于正方形F的面积，正方形E，F的面积的和等于正方形G的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5， ， ， ， 故答案为：12． 13. 计算：____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与平方差公式是解决问题的关键．先根据积的乘方得到, 然后利用平方差公式计算. 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：. 14. 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，分两种情况，一是沿长方体正面、右侧面爬行，二是沿长方体底面、后侧面爬行，将长方体展开，连接，用勾股定理求出，比较大小即可得到最短路程． 【详解】解：分两种情况： ①如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ， 爬行的最短路程是， 故答案为：25． 15. 已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____． 【答案】7或或 【解析】 【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时． 【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时． ∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7； （2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD． 在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD； （3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E， 在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD． 故答案为7或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先进行乘法运算，化简二次根式，然后合并即可； （2）先化简各数，再进行加减运算即可； （3）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （4）先进行乘法公式，去绝对值运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式； 【小问4详解】 原式． 17. 先化简，再求值：，其中a是小数部分． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式、单项式乘多项式．先根据平方差公式和单项式乘以多项式将式子展开，再合并同类项即可化简，利用无理数的估算求得，再代入进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴的整数部分为3，则的小数部分为， 当时， 原式． 18. 数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片．已知底边，为上一点，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理得到，即可证明结论； （2）设，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理列出等式计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：直角三角形，理由如下： ，，， ， ， 故是直角三角形； 【小问2详解】 解：设， ， 等腰三角形纸片， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， ， 解得， 故． 19. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，则是否可以裁出所求的长方形木料？ 【答案】（1） （2）可以裁出，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可； 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； 【小问2详解】 可以裁出，理由如下： ∵从长方形木板中裁出一个面积为，宽为， ∴裁出长为：， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料． 20. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 （米）． 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，（米）， 米 （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 21. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．点A，B均在格点上．请在图中画出满足如下条件的图形（不写作法），并按要求写出证明． （1）在图1中画出一个平行四边形，使点C，D也在格点上，且这个平行四边形的面积是4； （2）在图2中画出一个正方形，使点C，D也在格点上，并简要证明是直角． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查利用网格作图，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的定义及题中的要求作图； （2）根据正方形的定义及题目中的要求作图，然后利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【小问1详解】 如图，四边形即为所作； 【小问2详解】 如图，四边形即为所作； 如图，则，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1平衡数． 23. 如图，△ABC中，，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形． 【答案】（1） （2）满足条件的t的值为或6． （3）当，5，或时，△BCP为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，，根据勾股定理列方程即可得到结论； （2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时根据勾股定理列方程，结合P，A重合即可得到结论； （3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即，求得，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥BC于E，求得，若PB=BC，即，解得t=5，③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F，利用等面积法与勾股定理求解，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，∵ ∴ 设存在点P，使得PA=PB， 此时PA=PB=2t，PC=4-2t， 在Rt△PCB中，， 即： ， 解得：， ∴当时，PA=PB； 【小问2详解】 当点P在∠BAC的平分线上时，如图， 过点P作PE⊥AB于点E，， 此时 ∵ ∴ 在Rt△BEP中，， 即：， 解得：， ∴当时，P在△ABC的角平分线上， 当点P运动到点A时，也符合题意，此时t=6， 综上所述，满足条件的t的值为或6． 【小问3详解】 在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm， ∴AC=4cm， 根据题意得：AP=2t， 当P在AC上时，△BCP为等腰三角形， ∴PC=BC，即， ∴， 当P在AB上时，△BCP为等腰三角形， ①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上， 如图， 过P作PE⊥BC于E， ∴ ∴ ∴ ∴ 即，解得：， ②PB=BC，即， 解得：t=5， ③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当，5，或时，△BCP为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，线段的垂直平分线的应用，勾股定理的应用，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性测试卷八年级数学（RJ） 测试范围：16章到17章 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题下上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列式子一定二次根式（ ） A. B. C. D. 2. 已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中，能判断是直角三角形的是（ ） A B. C. D. 3. 在根式，，，，中，最简二次根式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点O为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点B，则点B在数轴上表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距4米，则原来大树有（　　） A B. 米 C. 米 D. 米 7. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 8. 如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ） A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里 9. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，，，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比小的正整数______． 12. 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为______． 13. 计算：____． 14. 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是______． 15. 已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 先化简，再求值：，其中a是的小数部分． 18. 数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片．已知底边，为上一点，且，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 19. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，则是否可以裁出所求的长方形木料？ 20. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 21. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．点A，B均在格点上．请在图中画出满足如下条件的图形（不写作法），并按要求写出证明． （1）在图1中画出一个平行四边形，使点C，D也在格点上，且这个平行四边形的面积是4； （2）在图2中画出一个正方形，使点C，D也在格点上，并简要证明是直角． 22. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 23. 如图，△ABC中，，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $