第7章 培优微突破7 用隔板法解相同元素的分配问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

培优微突破7　用隔板法解相同元素的分配问题 第7章　计数原理 相同元素的分配问题的解法 相同元素的分配问题用“隔板法”,“隔板法”的解题步骤: 1.定个数:确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量; 2.定空位:将元素排成一列,确定可插隔板的空位数; 3.插隔板:确定需要的隔板个数,根据组数要求,插入隔板,利用组合数求解不同的分法种数. [微重点] [例]　把n个相同的小球放入m个不同的盒子中(n≥m≥1),要求每个盒子非空,有多少种不同放法? [解]　先将n个小球排成一列,然后在它们之间形成的(n-1)个空(不含两端的)中插入(m-1)块隔板,便将n个小球分割成m组,每组至少有1个小球,这m组小球依次放入m个不同的盒子,(m-1)块隔板的一种插法就对应了n个相同小球投入m个不同盒子的一种方法,故不同的放法共有种. [微训练] 将n个相同的小球放到m(n≥m)个不同的盒子中,可以有空盒的不同放法有多少种? 解:法一:将m个盒子排成一排(并在一起的两盒子的壁视为一块隔板),除去两端的盒子的外壁,共有(m-1)块隔板;再把n个相同的小球放到m(n≥m)个不同的盒子中,不同的放法对应着n个球和(m-1)块隔板的不同排法,于是问题转化为从(n+m-1)个位置中选出n个位置放球,共有不同放法=种. 法二:“将n个相同的小球放到m(n≥m)个不同的盒子中,允许有空盒子”的放法种数,等于“将n+m个相同的小球放到m(n≥m)个不同的盒子中,每个盒子至少有1个球”的放法种数,可知共种不同放法. $$