章末检测(七)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

章末检测(七) (时间:120分钟,满分:150分) 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若=20,则n=(　　) A.3　 　　　B.4　　 　　C.5　　 　　D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:由=20,得n=20, 解得n=5(n=-4舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知=,则m等于(　　) A.1 B.3 C.1或4 D.1或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:因为=,则m=2m-1或m+2m-1=8, 解得m=1或m=3,检验可知均符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.的展开式中x2y的系数为(　　) A.4 B.-4 C.6 D.-6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:因为的展开式的通项公式为Tr+1=x4-r, 所以含x2y的项为x2=6x2y, 即的展开式中x2y的系数为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.在平面直角坐标系xOy中,一个质点从原点出发,每次移动一个单位长度,且上下左右四个方向移动的概率相等.若该质点移动6次后所在坐标为,则该质点移动的方法总数为(　　) A.120 B.135 C.210 D.225 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:根据题意,可分为三种情况: ①质点往右移动4次,往左移动2次,=15, ②质点往右移动3次,往左移动1次,往上移动一次,往下移动一次,=120, ③质点往右移动2次,往上移动2次,往下移动2次,=90, 所以质点移动的方法总数为225. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.若a∈N,且502 024+a能被17整除,则a的最小值为(　　) A.0 B.1 C.15 D.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:502 024+a=+a =·512 024×+·512 023×+…+·512 024-r ×+…+·+a, 因为502 024+a能被17整除, 所以上式中·+a能被17整除即可满足题意, 所以·+a=17k,k∈N, 即1+a=17k⇒a=17k-1, 所以a的最小值为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.(x+2y-3z)5的展开式中所有不含x的项的系数之和为(　　) A.-32 B.-1 C.1 D.243 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 解析:(x+2y-3z)5=[(2y-3z)+x]5展开式的通项公式为Tr+1=(2y-3z)5-rxr, r∈N,r≤5, 若展开式中的项不含x,则r=0,此时符合条件的项为(2y-3z)5展开式中的所有项, 令y=z=1,得这些项的系数之和为(-1)5=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.在的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于(　　) A.23 035 B.-23 035 C.23 036 D.-23 036 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 解析:由题得=a0x2 024+a1x2 023+…+a2 023x+a2 024, 所以当x=时,有0=a0+a1+…+a2 023+a2 024,① 当x=-时,有=a0+a1+…-a2 023+ a2 024,② 所以①-②得-23 036=2×a1+…+2a2 023=2S, 故S=-=-23 035. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行,如图是本次大会的会标,会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3,7,4,4,这是中国古代八进制计数符号,换算成现代十进制是3×83+7×82+ 4×81+4×80=2 020,正是会议计划召开的年份,那么八进制数换算成十进制数,则换算后这个数的末位数字是(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:由进位制的换算方法可知,八进制换算成十进制得: 7×87+7×86+…+7×81+7×80=7×=88-1, 88-1=-1=108+107+…+101+-1. 因为108+107+…+101是10的倍数, 所以换算后这个数的末位数字即为-1的末位数字, 由-1=255可得,末位数字为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是(　　) A.a0=-1 B.a1+a2+a3+a4+a5=-2 C.a1+a3+a5=-122 D.++++=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BC 解析:在(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中, 对于A,令x=0,得a0=1,A错误; 对于B,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,因此a1+a2+a3+a4+a5=-2,B正确; 对于C,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=243,则a1+a3+a5==-122,C正确; 对于D,令x=,得a0+++++=0,则++++=-1,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知直线a,直线b,且a∥b,a上有5个点,b上有4个点,则以这9个点为顶点的三角形的个数为(　　) A.+ B.(+)(+) C.-9 D.-- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AD 解析:法一:(直接法)可以分为两类:a上取两点,b上取一点,则可构成的三角形的个数为;a上取一点,b上取两点,则可构成的三角形的个数为.利用分类计数原理可得以这9个点为顶点的三角形的个数为+. 法二:(间接法)从9个点中选3个点共有种选法,其中3点都在直线a或b上有+(种),则以这9个点为顶点的三角形的个数为--. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.关于的展开式,下列结论正确的是(　 　) A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为0 C.常数项为-20 D.系数最大的项为第3项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABC 解析:=,可得二项式的系数和为26=64,故A正确; 令x=1得所有项的系数和为0,故B正确; 常数项x3=-20,故C正确; 由Tr+1=x6-r,系数为,最大为或,为第3项或第5项,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知(2-3x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则展开式中所有项的系数和为　　　　　　.  解析:(2-3x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024·x2 024中, 令x=1得:(-1)2 024=a0+a1+a2+…+a2 024=1,即展开式中所有项的系数和为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 13.已知二项式的二项式系数和为32.给出下列四个结论: ①n=5; ②展开式中只有第三项的二项式系数最大; ③展开式各项系数之和是243; ④展开式中的有理项有3项. 其中,所有正确结论的序号是　　　　　.  ①③④ 解析:对于①,由二项式的二项式系数和为32,可得2n=32, 解得n=5,所以①正确; 对于②,由二项式的展开式共有6项, 根据二项式系数的性质,可得第三项和第四项的二项式系数相同,且最大,所以②不正确; 对于③,令x=1,可得(1+2)5=243,所以展开式各项系数之和是243,所以③正确; 对于④,由二项式的展开式的通项为Tr+1==2r··, 当r=0,2,4时,可得展开式的项分别为T1=2,T3=22x,T5=24x2, 所以展开式中的有理项有3项,所以④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 14.将(1+x)n(n∈N*)的展开式中第m项的系数记作Am,n,则A1,2+A2,3+A3,4+…+A9,10=　　　　(用数字作答).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 165 解析:由题意可得Am,n=, 则A1,2+A2,3+A3,4+…+A9,10 =+++…+ =+++…+ =++…+ =++…+ … =+===165. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)从3位女生,4位男生中选出3人参加校园大扫除活动. (1)共有多少种不同的选择方法? (2)如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)从3位女生,4位男生中选出3人参加校园大扫除活动, 选择方法数为=35. (2)因为没有女生入选的选择方法数为=4, 所以至少有1位女生入选的选择方法数为35-4=31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知3=5,且(1-3x)m=a0+a1x+a2x2+…+amxm. (1)求m的值; (2)求a1+a2+a3+…+am的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)由题意得m≥3且2m≥3,故m≥3且m∈N*, 3×=5m, 故4m-2=5m-10,解得m=8. (2)(1-3x)m=a0+a1x+a2x2+…+amxm中, 令x=0,得a0=1, 令x=1,得a0+a1+a2+…+am==28, 故a1+a2+a3+…+am=28-1=255. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目A1,A2,A3,2个小品类节目B1,B2和1个相声类节目C的演出顺序,根据要求解答下列问题(最终结果用数值表示). (1)若两个小品类节目B1,B2不能排在第一位和最后一位,一共有多少种排法? (2)若歌舞类节目A1,A2必须排在一起,A3和B1,B2排在一起,并且A3在B1,B2中间,一共有多少种排法? (3)若同类节目不相邻,请问一共有多少种排法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)因为总共有六个位置,两个小品类节目B1,B2不能排在第一位和最后一位, 先将B1,B2排好,则有种排法,剩下四个节目四个位置,则有种排法, 故共有=288种排法. (2)先将六个节目分成三组,且这三组个数分别为1,2,3,全排列,故有种排法, A1,A2必须排在一起共有种排法,A3在B1,B2中间共有种排法, 故共有=24种排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)分两步完成:第一步,先安排3个歌舞类节目A1,A2,A3,则有种排法; 第二步,再用插空法安排2小品节目B1,B2和1个相声节目C: ①若2小品节目B1,B2和1个相声节目C互不相邻,则有2种排法; ②若C与B1,B2中的其中一个相邻,则有种排法. 故共有=120种排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知在的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求n的值; (2)求展开式中的常数项,并指出是第几项; (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)依题意可得第2项的二项式系数为,第3项的二项式系数为, ∴=,即=,则n2-6n=0,∴n=6或n=0(舍去). (2)展开式的通项为 Tr+1=(2x)6-r=(-1)r26-r(0≤r≤6,r∈N), 令6-r=0,解得r=4, ∴T5=22x0=60,所以常数项为60,为第5项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)设第r+1项系数绝对值最大, 则⇒ ⇒⇒ 解得≤r≤,又r∈N,∴r=2, ∴T3=240x3,即展开式中系数绝对值最大的项为240x3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)在=+x+x2+…+x2n-1+x2n的展开式中,把,,,…,叫作三项式的n次系数列. (1)求++的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)将一个量用两种方法分别算一次,由结果相同得到等式,这是一种非常有用的思想方法,叫作“算两次”.对此,我们并不陌生,如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式,几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理,将等式(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等,如考察左右两边展开式中xn的系数可得=+++…+.利用上述思想方法,请计算-+-+…+-的值(可用组合数作答). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)因为=+(1+x)2x2+x4+x6 =1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6 (在三项式中,把1+x看做整体,即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数), 从而==3,=+=7,==3, 故++=3+7+3=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为(1+x+x2)99·(x-1)99= (+x+x2+x3+…+x197+x198)·(x99-x98+x97-…+x-), 其中含x99项的系数为-+-…+-. 又·=, 的展开式中的第r+1项为 Tr+1=, 令3=99,解得r=66, 所以含x99项的系数为=, 所以-+-+…+-==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$