7.1 第1课时 两个计数原理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

7.1　两个基本计数原理 第1课时　两个计数原理 第7章　计数原理 [学习目标]　1.了解分类计数原理与分步计数原理.　2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. [素养目标]　水平一:通过实例,归纳得出两个计数原理,并能运用它们来解决一些简单的实际问题.(逻辑推理) 水平二:正确理解“完成一件事”的真正含义;准确把握分类用加法与分步用乘法的区别.(数学运算) 学习引语 在日常的生活与生产过程中,计数需求无处不在.比如,当学校组织班级篮球赛时,体育组的老师必须计算基于既定赛制下总共需要安排多少场比赛;又比如,在航海通信中,利用红、黄、绿三面旗帜的不同排列来传达不同信号,这时就需要确定这些旗帜能组合出多少种独特的信号.面对这类问题,若涉及的数量较为有限,通过直接列举每一个可能的项来计数是最基本的方法.然而,当数量显著提升时,传统的列举方式就显得效率低下.这时,我们不禁思考:是否能创造出更为巧妙高效的“计数策略”,以应对大规模计数挑战,从而提升工作效率呢? 探究活动1　分类计数原理 内容索引 探究活动2　分步计数原理 课时作业 巩固提升 探究活动3　两个计数原理的简单应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　分类计数原理 问题　某志愿者从徐州赶赴上海为游客提供导游服务.假如当天适合他出行的航班有6个,高铁有14列. (1)该志愿者从徐州到上海的方案可分几类? 提示　两类,即乘飞机、坐高铁. (2)这几类方案中各有几种方法? 提示　第1类方案(乘飞机)有6种方法,第2类方案(坐高铁)有14种方法. (3)该志愿者从徐州到上海共有多少种不同的方法? 提示　共有6+14=20种不同的方法. 如果完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=　　　　 　　种不同的方法.  知识生成 m1+m2+…+mn 温馨提醒　理解分类计数原理的关键点 1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)怎样才算完成这件事;(3)完成这件事可以有哪些方案. 2.独立性:(1)完成这件事的n类方案是相互独立的;(2)每一类方案中的方法都可以单独完成这件事,不需要用到其他的方法. 3.分类:这是利用分类计数原理解题的关键,(1)分类必须明确标准,一般地,分类标准不同,分类的结果也不同;(2)每一种方法都必须属于某一类,不同类的任意两种方法是不同的;(3)每一类中的任意两种方法也不相同. [例1]　某校高三共有三个班,各班人数如表: 知识应用   男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? [解]　(1)从三个班中选1名学生任学生会主席,共有三类不同的方案: 第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类计数原理,从三个班中选1名学生任学生会主席,共有50+60+55=165种不同的选法. (2)从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有三类不同的方案: 第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法. 根据分类计数原理,从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有30+30+20=80种不同的选法. 利用分类计数原理计数时的解题流程 反思感悟 1.在所有的两位数中. (1)个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? (2)个位数字为偶数且小于十位数字的两位数共有多少个? 跟踪训练 解:(1)法一:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类计数原理知,满足条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 法二:按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.由分类计数原理知,满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个). (2)当个位数字是8时,十位数字可取9,只有1个; 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个; 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个; 同理可知,当个位数字是2时,共7个; 当个位数字是0时,共9个. 由分类计数原理知,符合条件的两位数共有1+3+5+7+9=25(个). 探究活动2　分步计数原理 问题　若某志愿者从徐州赶赴上海为游客提供导游服务,但需在无锡中转,假如当天从徐州到无锡适合他出行的航班有6班,从无锡到上海的高铁有8列. (1)该志愿者从徐州到上海需要经历几个步骤? 提示　两个,即先乘飞机到无锡,再坐高铁到上海. (2)完成每一个步骤各有几种方法? 提示　第1个步骤有6种方法,第2个步骤有8种方法. (3)该志愿者从徐州到上海共有多少种不同的方法? 提示　共有6×8=48种不同的方法. 如果完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=　　　　　 　　种不同的方法.  知识生成 m1×m2×…×mn 温馨提醒　理解分步计数原理的关键点 1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)要经过几步才能完成这件事. 2.相关性:(1)完成这件事需要分成若干个步骤;(2)只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任一步骤,这件事都不可能完成. 3.分步:这是利用分步计数原理解题的关键,(1)准确确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同;(2)要注意各步骤之间必须连续;(3)各步骤之间既不能重复,也不能遗漏. [例2]　从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位偶数. 知识应用 [解]　(1)三位数有三个数位: 故可分三个步骤完成: 第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法; 第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法; 第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法. 根据分步计数原理,共有4×3×2=24个满足要求的三位数. 百位 十位 个位 (2)分三个步骤完成: 第1步,排个位,从2,4中选1个,有2种方法; 第2步,排十位,从余下的3个数字中选1个,有3种方法; 第3步,排百位,只能从余下的2个数字中选1个,有2种方法. 根据分步计数原理,共有2×3×2=12个满足要求的三位偶数. 利用分步计数原理计数时的解题流程 反思感悟 2.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M).问: (1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点? (2)P(a,b)可表示平面上多少个第二象限的点? 跟踪训练 解:(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成: 第一步,确定a的值,共有6种方法; 第二步,确定b的值,也有6种方法. 根据分步计数原理,得到平面上的点的个数是6×6=36. (2)确定第二象限的点,可分两步完成: 第一步,确定a,由于a<0,所以有3种不同的确定方法; 第二步,确定b,由于b>0,所以有2种不同的确定方法. 根据分步计数原理,得到第二象限点的个数为3×2=6. 探究活动3　两个计数原理的简单应用 [例3]　现有高一学生50人,高二学生42人,高三学生30人,组成冬令营. (1)若从中选1人作总负责人,共有多少种不同的选法? (2)若每年级各选1名负责人,共有多少种不同的选法? (3)若从中推选两人作为中心发言人,要求这两人要来自不同的年级,则有多少种选法? 知识应用 [解]　(1)分三类:从高一学生中选1人作总负责人有50种选法;从高二学生中选1人作总负责人有42种选法;从高三学生中选1人作总负责人有30种选法.由分类计数原理,可知共有50+42+30=122种选法. (2)分三步:从高一学生中选1名负责人有50种选法;从高二学生中选1名负责人有42种选法;从高三学生中选1名负责人有30种选法.由分步计数原理,可知共有50×42×30=63 000种选法. (3)分三类:①从高一和高二学生中各选1人作中心发言人,有50×42=2 100种选法;②从高二和高三学生中各选1人作中心发言人,有42×30=1 260种选法;③从高一和高三学生中各选1人作中心发言人,有50×30=1 500种选法.故共有2 100+1 260+1 500=4 860种选法. 利用两个计数原理的解题策略 1.在用两个计数原理处理问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意“步”与“步”之间的连续性. 2.对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. 反思感悟 3.有一项活动,需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同的选法? (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师、一名同学参加,有多少种不同的选法? 跟踪训练 解:(1)分三类:3名老师中选一人,有3种选法;8名男同学中选一人,有8种选法;5名女同学中选一人,有5种选法. 由分类计数原理知,有3+8+5=16种选法. (2)分三步:第1步选老师,有3种选法;第2步选男同学,有8种选法;第3步选女同学,有5种选法. 由分步计数原理知,共有3×8×5=120种选法. (3)可分两类,每一类又分两步. 第1类,选一名老师再选一名男同学,有3×8=24种选法; 第2类,选一名老师再选一名女同学,有3×5=15种选法. 由分类计数原理知,共有24+15=39种选法. 课堂小结 1.熟记一个区别 应用两个计数原理时，要仔细区分原理的不同，分类计数原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；分步计数原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系. 2.熟用两类数学思想 通过对这两个计数原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用. 〈课堂达标·素养提升〉 1.某天从甲地到乙地的高铁有8班,动车有2班,其他列车有4班.小红想在这一天坐火车从甲地到乙地,则不同的选择方案共有(　　) A.10种　　　　　　　　 B.14种 C.32种 D.64种 解析:由分类计数原理,得从甲地到乙地不同的方案数为8+2+4=14. B 2.现南京有4个家庭准备在2025年五一小长假期间选择吉林、白山、四平三个城市中的一个城市旅游,则这4个家庭共有多少种不同的安排方法(　　) A.24种 B.6种 C.64种 D.81种 D 解析:第一个家庭有三种选择方式、第二个家庭有三种选择方式、第三个家庭有三种选择方式、第四个家庭有三种选择方式,共计有3×3×3×3=81(种). 3.某公司员工义务献血,在体检合格的人中,O型血的有10人,A型血的有5人,B型血的有8人,AB型血的有3人.从4种血型的人中各选1人去献血,不同的选法种数为(　　) A.1 200 B.600 C.300 D.26 A 解析:分四步: 第一步,选O型血的人有10种选法; 第二步,选A型血的人有5种选法; 第三步,选B型血的人有8种选法; 第四步,选AB型血的人有3种选法. 故共有10×5×8×3=1 200种不同的选法. 4.三位同学每人从六个景点中选择一处游览,不同的选法种数是　　　　.  解析:每个同学均有六种选法, 根据分步计数原理, 不同的选法有63=216(种). 216 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某学校开设5门球类运动课程、4门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有(　　) A.60种　　　　　　　　　 B.30种 C.12种 D.11种 解析:根据分类计数原理可知不同的选法有5+4+3=12(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 2.某商场东面和西面均有4个门,北面和南面均有3个门.若某人从其中的任意一个门进入商场,则进入商场的不同方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.7种 D.14种 解析:由题意进入商场的不同方式共有4+4+3+3=14(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 3.在某试验田中,分别对一种作物的用肥,用水量和温度进行实验,用肥有3种选择,用水量有3种选择,温度控制有2种选择,则该试验田应分成(　　) A.10部分 B.8部分 C.18部分 D.15部分 解析:根据分步计数原理,试验田应分成3×3×2=18部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 4.某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练习跑步,则他进出门的方案有(　　) A.7种 B.14种 C.21种 D.49种 解析:学生进门有3+4=7种选择,同样出门也有7种选择,由分步计数原理知,进出门的方案有7×7=49(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 5.(多选)设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条,现要从一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则下列结论正确的是(　　) A.从东面上山有20种走法 B.从西面上山有27种走法 C.从南面上山有30种走法 D.从北面上山有32种走法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:若从东面上山,则上山走法有2种,下山走法有10种,由分步计数原理可得共有20种走法; 若从西面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步计数原理可得共有27种走法; 若从南面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步计数原理可得共有27种走法; 若从北面上山,则上山走法有4种,下山走法有8种,由分步计数原理可得共有32种走法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.一个柜台销售的智能手机中,甲品牌有5种,乙品牌有3种,要从中选择1个品牌进行购买,不同的选法种数为　　　　.  解析:若从甲品牌购买,则有5种不同的选法, 若从乙品牌购买,则有3种不同的选法, 所以不同的选法种数为5+3=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 7.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成　　　　组.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 解析:分两类:第一类:由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,则有5×6=30组不同的结果;第二类也有30组不同的结果,共可配成30+30=60(组). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多少条? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:分两类完成: 第一类:当A或B中有一个为0时,表示直线为x=0或y=0,共有2条; 第二类:当A,B都不取0时,直线Ax+By=0被确定需分两步完成: 第一步,确定A的值,从1,2,3,5中选一个,共有4种不同的方法; 第二步,确定B的值,共有3种不同的方法. 根据分步计数原理,共确定4×3=12条不同的直线. 根据分类计数原理,方程所表示的不同直线有2+12=14(条). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.由数字1,2,3,4构成的三位数有(　　) A.43个 B.34个 C.4×3×2个 D.1×2×3个 解析:百位有4种选择,十位有4种选择,个位有4种选择,故构成的三位数共有43个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 10.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序实数对(a,b)的个数为(　　) A.14 B.13 C.12 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由已知得ab≤1. 当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a=0时,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能; 当a=2时,b=-1,0,有2种可能. ∴所求(a,b)的个数为4+4+3+2=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)某校实行选课走班制度,某同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示.若该同学选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第1节 第2节 第3节 第4节 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班 物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 A.此人有4种选课方式 B.此人有5种选课方式 C.自习不可能安排在第2节 D.自习可安排在4节课中的任一节 答案:BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由于生物在B层,只有第2,3节有,故分两类:若生物选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,此时,政治有2种选法,自习只能选在剩余的那一节,故有2×2=4(种)(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种.根据分类计数原理可得选课方式有4+1=5(种).综上,自习可安排在4节课中的任一节. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知a∈{2,4,6,8},b∈{3,5,7,9},则能使logab>1的对数值有 　　　　个.  解析:分四类,当a=2时,b取3,5,7,9四种情况; 当a=4时,b取5,7,9三种情况; 当a=6时,b取7,9两种情况; 当a=8时,b取9一种情况, 所以共有4+3+2+1=10(种).又log23=log49, 所以对数值有9个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,求第30个“渐升数”. 解:“渐升数”由小到大排列,则1在千位,2在百位的“渐升数”有6+5+4+3+2+1=21(个);1在千位,3在百位,4在十位的“渐升数”有5个;1在千位,3在百位,5在十位的“渐升数”有4个,此时“渐升数”有21+5+4=30(个),因此按从小到大的顺序排列,第30个“渐升数”必为1 359. 13 $$