7.3 第1课时 组合及组合数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

7.3　组　合 第1课时　组合及组合数 第7章　计数原理 [学习目标]　1.了解组合及组合数的概念.　2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题. [素养目标]　水平一:掌握组合的概念,熟悉组合数公式及其性质,会用组合数公式求值.(数学抽象) 水平二:运用组合数解决简单的实际问题.(数学运算、逻辑推理) 学习引语 小明暑假到某城市旅游,要从A,B,C,D 4处景点中选择2处,上午选1处,下午选1处,有多少种不同的旅游方案?如果从A,B,C,D 4处景点中选择2处,又有多少种不同的旅游方案呢? 探究活动1　组合的概念 内容索引 探究活动2　组合数及组合数公式 课时作业 巩固提升 探究活动3　简单的组合问题 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　组合的概念 1.填报高考志愿时,小张同学要在3所大学中选择2所,分别作为自己的第一志愿和第二志愿,小张共有多少种不同的选择方式? 2.填报高考志愿时,小张同学要在3所大学中选择2所作为自己努力的目标,小张共有多少种不同的选择方式? 问题1　以上两个问题都是排列吗? 提示　1.是排列,2.不是排列. 问题2　以上两个问题有何不同特点? 提示　1.中选取的两个志愿是有序的,2.中选取的两个志愿是无序的. 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素　　 　　　,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.  知识生成 并成一组 温馨提醒　排列与组合的区别与联系 1.共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象. 2.不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关. 3.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. [例1]　判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)10个人相互各写一封信,共写多少封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)从10个人中选3个代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人里选出3个不同学科的代表,有多少种选法? 知识应用 [解]　(1)是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的. (2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别. (3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题.因为3个人中,担任哪一科的代表是有顺序区别的. 判断一个问题是否是组合问题的流程 反思感悟 1.(多选)下列问题是组合问题的有(　 　) A.设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B.某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种票价 C.3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法 D.把3本相同的书分给5个学生,每人最多分得1本,有几种分配方法 跟踪训练 ABD 解析:A.取出的元素与顺序无关,故是组合问题. B.甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的,但票价与顺序无关,甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. C.从5种不同的工作中选出3种,并按一定顺序分给3个人去干,故是排列问题. D.因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需要考虑它们的顺序,故是组合问题. 2.从5个不同的元素a,b,c,d,e中取出2个,写出所有不同的组合. 解:要想写出所有组合,就要先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来,如图所示: 由此可得所有的组合为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de. 探究活动2　组合数及组合数公式 问题　组合数与排列数有什么关系?你能求出吗? 提示　求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步:①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;②对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得,=·,所以=. 组合数定 义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示 组合数 公式 乘积形式 == 阶乘形式 = 知识生成 所有组合的个数 温馨提醒　1.=1. 2.==常用于计算. 3.=常用于证明. [例2]　(1)计算:-×; (2)求等式=中的n值. 知识应用 [解]　根据组合数公式,可得 (1)原式=-=-7×6×5=210-210=0. (2)原方程可变形为+1=,=,其中n-1≥5,即n≥6. 又=× , 化简整理,得n2-3n-54=0,故n=9或n=-6(舍). 关于组合数公式的选取技巧 1.涉及具体数字的可以直接用=·==进行计算. 2.涉及字母的可以用阶乘式=计算. 反思感悟 3.证明:m=n. 证明:m=m· = =n·=n. 跟踪训练 探究活动3　简单的组合问题 [例3]　在一次数学竞赛中,某校有12人通过了初试,该校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 知识应用 [解]　(1)从中任取5人是组合问题,共有=792种不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需从另外9人中选2人,是组合问题,共有=36种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有=126种不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有=3种选法;再从另外9人中选4人,有种选法.共有×=378种不同的选法. 解简单的组合应用题的策略 1.解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关. 2.要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用. [提醒]　在分类和分步时,一定注意有无重复或遗漏. 反思感悟 4.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名教师去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法? 跟踪训练 解:(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为==45. (2)可把问题分两类情况: 第1类,选出的2名是男教师有种选法; 第2类,选出的2名是女教师有种选法. 根据分类计数原理,共有+=15+6=21种不同的选法. (3)从6名男教师中选2名的选法有种,从4名女教师中选2名的选法有种,根据分步计数原理,共有×=15×6=90种不同的选法. 课堂小结 1．知识清单 (1)组合与组合数的定义． (2)排列与组合的区别与联系． (3)组合数的计算与证明． (4)简单的组合问题． 2．方法归纳 列举法、公式法． 3．常见误区 分不清是“排列”还是“组合”． 〈课堂达标·素养提升〉 1.若=28,则n的值为(　　) A.9　　　 　B.8　　　 　C.7　　　 　D.6 解析:∵==28, ∴n(n-1)=56,即n=8(负值舍去). B 2.(多选)给出下列问题,其中是组合问题的是(　 　) A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法 B.有4张相同的电影票,要在7人中选出4人去观看,有多少种不同的选法 C.某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种 D.高中部10个班进行足球单循环赛,需要进行多少场比赛 BCD 解析:A与顺序有关,是排列问题,B,C,D均与顺序无关,是组合问题. 3.若>,则n的取值集合是(　　) A.{6,7,8,9} B.{6,7,8} C.{n|n≥6,n∈N*} D.{7,8,9} A 解析:∵>, ∴ 即解得6≤n<10. ∵n∈N*,∴n=6,7,8,9. ∴n的取值集合为{6,7,8,9}. 4.五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成　　　　条线段,如果是有向线段,共有　　　　条.  解析:从五个点中任取两个点恰好连成一条线段,这两个点没有顺序,所以是组合问题,连成的线段共有=10(条).再考虑有向线段的问题,这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是=20.所以有向线段共有20条. 10 20 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为(　　) A.4　　 　　B.8　　　 　C.28　　 　　D.64 解析:由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建=28条公路. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 2.若=12,则n等于(　　) A.8 B.5或6 C.3或4 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:=n(n-1)(n-2),=n(n-1), 所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1). 由n∈N*,且n≥3,解得n=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆当志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 解析:××=60(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 4.某单位有15名成员,其中男性10人,女性5人,现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则需从10名男性中抽取4人,5名女性中抽取2人,共有种抽法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)下列选项正确的是(　 ) A.= B.=m C.÷= D.= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 解析:A显然成立; 对于B选项,=n(n-1)(n-2)…(n-m+1), =(n-1)(n-2)…(n-m+1), 所以=n,故B不成立; 对于C选项,÷===,故C成立; 对于D选项,===,故D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.不等式-n<5的解集为　　 　　.  解析:由-n<5,得-n<5,∴n2-3n-10<0. 解得-2<n<5.由题设条件知n≥2,且n∈N*, ∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 {2,3,4} 7.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有　　　　种.(用数字作答)  解析:每个宿舍至少2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2人,3人,4人,5人,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以有+++=112种分配方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 112 8.(1)计算:+; (2)化简:·. 解:(1)∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*,∴n=10, ∴+=+=+=466. (2)原式=·=·=(n+1)n=n2+n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.要从6男4女中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法? (1)甲当选且乙不当选; (2)至少有1女且至多有3男当选. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有=70种选法. (2)至少有1女且至多有3男时,应分三类: 第1类是3男2女,有种选法; 第2类是2男3女,有种选法; 第3类是1男4女,有种选法. 由分类计数原理知,共有++=186种选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 10.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,则这样的排法种数是(　　) A.5 040 B.36 C.18 D.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:最高的同学站中间,从余下6人中选3人在一侧只有一种站法,另3人在另一侧也只有一种站法,所以排法有=20(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)男、女学生共有8人,若从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,则其中女生可能有(　　) A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 解析:设男生有n人, 则女生有(8-n)人,且2≤n≤7,n∈N*. 由题意可得=30, 即·(8-n)=30, 代入验证,可知n=5或n=6, 从而女生有2人或3人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有 　　　　(用数字作答)条.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有×=126种走法,故从A地到B地的最短路线共有126条. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.由13个人组成的课外活动小组,其中5个人只会跳舞,5个人只会唱歌,3个人既会唱歌也会跳舞.若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目,共有多少种不同的选法? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:对3个既会唱歌又会跳舞的人进行分类: 第1类:若3人都不参加,共有××=25(种); 第2类:若3人都跳舞或都唱歌,共有2××=50(种); 第3类:若3人中有两人唱歌或跳舞,共有2××=300(种); 第4类:若3人中有一人唱歌或跳舞,共有2××=300(种); 第5类:若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌,共有2×××=600(种); 第6类:若3人中只有一人唱歌,一人跳舞,共有×××=600(种). 由分类计数原理得不同选法共有25+50+300+300+600+600=1 875(种). 13 $$