9.1 向量概念-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

9.1 向量概念 第9章 平面向量 [学习目标]　1.理解向量的相关概念.　2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念.　3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念.　4.理解向量夹角的概念和范围. [素养目标]　水平一：1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(直观想象)　2.理解共线向量、相等向量的概念.(数学抽象)　3.正确区分向量平行与直线平行.(逻辑推理) 水平二：1.能够辨析向量的有关概念.(逻辑推理)　2.能够作出相应的向量.(直观想象)　3.能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.(数学建模) 战国末期，魏国国力渐衰，可是魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵.季梁为了打动魏王，来了个现身说法.季梁说：“今天我在来此的路上，遇见一个人坐车朝北而行，告诉臣说‘我想要去楚国.’臣说‘楚国在南方，为什么要朝北走？’那人的回答是：‘我的马好，跑得快.’结果离楚国越来越远.这则故事告诉我们，做任何事，都要首先看准方向，才能充分发挥自己的有利条件；如果方向错了，那么有利条件只会起到相反的作用. 探究活动1　向量的概念及表示 内容索引 探究活动2　相等向量与共线向量 探究活动3　向量的夹角 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 5 探究活动1　向量的概念及表示 问题　在物理中，位移与路程是同一个概念吗？它们有什么区别？ 提示　不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小. 知识生成 1.向量的概念 (1)向量：我们把既有______又有______的量叫作向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2.向量的表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 大小 方向 (2)向量的表示 ①几何表示：向量常用一条__________来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为.向量的大小称为向量的______(或称为____)，记作｜｜. ②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示(印刷时用黑体a，b，c，书写时用，，). 有向线段 长度 模 3.向量的相关概念 相关概念 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于_________长度的向量 1个单位 [例1]　(1)下列说法正确的是(　　) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 知识应用 D 解析　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确. (2)(多选)下列说法正确的是(　　) A.长度为0的向量都是零向量 B.零向量的方向是一定的 C.单位向量的长度都相等 D.单位向量的方向都是相同的 AC 解析　由向量的相关概念知A，C正确. 1.解决与向量概念有关的问题的关键是突出向量的两大核心：(1)长度；(2)方向. 2.特殊向量的特殊性：(1)零向量的方向是任意的；(2)单位向量不一定相等(易忽略向量的方向). 1.(多选)下列说法正确的有(　 　) A.单位向量的长度大于零向量的长度 B.零向量与任一单位向量平行 C.向量和向量长度相等 D.向量就是有向线段 跟踪训练 ABC 解析：单位向量的长度为1，零向量的长度为0，故A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量与向量是方向相反、模相等的两个向量，故C正确；向量可用有向线段来表示，不能把两者等同起来，D不正确. 探究活动2　相等向量与共线向量 问题　向量由其模和方向所确定.对于两个向量a，b，就其模相等与不相等，方向相同与不相同而言，有哪几种可能的情形？ 提示　模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同. 知识生成 平行向量 (共线向量) 方向____________的非零向量；向量a与向量b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量______ 相等向量 长度______且方向______的向量；向量a与向量b相等，记作a＝b 相反向量 与向量a长度______，方向______的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：对任意一个向量a，总有－(－a)＝a 相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反 [例2]　已知a，b，c为非零向量，且a与b不共线，若c∥a，则c与b必定__________. 知识应用 不共线 解析　因为a与b不共线，c∥a，所以c与b不共线. [例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ 解　与a的长度相等、方向相反的向量有，， ，. (2)与a共线的向量有哪些？ 解　与a共线的向量有，，，，，，，，. 相等向量与共线向量的断 1.如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线 向量. 2.共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量. 3.非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c. [注意]　对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况. 2.如图所示，在△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. (1)写出与共线的向量； 跟踪训练 解：∵E，F 分别是AC，AB 的中点， ∴EF∥BC， ∴与共线的向量有，，，，，，. (2)写出与长度相等的向量； 解：∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， ∴EF＝BC，BD＝DC＝BC， ∴EF＝BD＝DC. ∵AB，BC，AC均不相等， ∴与长度相等的向量有，，，，. (3)写出与相等的向量. 解：与相等的向量有，. 探究活动3　向量的夹角 问题　把两个非零向量的起点移到同一点，所得图形是什么？ 提示　角，如图，作＝a，＝b，得∠AOB. 知识生成 1.定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). 2.范围：0°≤θ≤180°. 3.当θ＝_____时，a与b同向；当θ＝180°时，a 与b反向. 4.当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 0° [例4]　已知，在平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜，且向量与的夹角为60°，则与的夹角为多少？与的夹角为 多少？ 知识应用 解　因为在平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜， 所以该平行四边形为菱形， 又由题意知∠BAD＝60°， 所以△ABD为等边三角形， 故向量与的夹角为∠BAC＝30°， 向量与的夹角大小与∠ABD相等， ∠ABD＝60°， 即与的夹角也为60°. 求两向量夹角的关键是利用平移的方法，使两向量起点重合，两个向量的夹角，按照“一作二证三求”的步骤求出. 3.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角为(　　) A.30°　　　　　　　　 B.60° C.120° D.150° 跟踪训练 C 解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角.在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角为120°. 1.牢记2个知识点 (1)从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量.有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的.向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段； (2)共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定在一条直线上，但同一直线上的向量一定是平行向量. 2.掌握1种方法——数形结合 向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题. 3.注意2个易错点——零向量和单位向量 (1)零向量与任何向量都平行； (2)单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆. 备选题库 教师独具 1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是(　　) A.单位圆　　　　　　　 B.一段弧 C.线段 D.直线 A 2.(多选)若四边形ABCD 是矩形，则下列说法中正确的是(　 　) A.，共线 B.，相等 C.，的模相等，方向相反 D.，的模相等 ACD 3.如图，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形. (1)与向量相等的向量有__________； (2)若｜｜＝3，则｜｜＝____. ， 6 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是(　　) A.－1 B.2 C.1 D.3 D 解析：数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度为｜｜＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…，an，则这n 个向量(　　) A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等 D 解析：由正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…，an，可得｜a1｜＝｜a2｜＝…＝｜an｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析：因为a，b为非零向量，所以a∥b时，a与b方向相同或相反，但a与b方向相同时，可以推出a∥b，因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，则｜｜＝(　　) A.1 B. C.2 D.2 D 解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O(图略)，则AO＝AC＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得｜｜＝，则｜｜＝2｜｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列说法正确的有(　 　) A.单位向量的模都相等 B.方向为南偏东30°的向量与方向为北偏西30°的向量是共线向量 C.若a与b是共线向量，且模相等，则a＝b D.若＝，则点M与N重合 ABD 解析：单位向量的模都是1个单位长度，故A说法正确；根据方位角作图(图略)可知，B说法正确；a与b的方向不一定相同，故C说法错误；根据相等向量的定义知，点M与点N一定重合，故D说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)下列说法中，正确的有(　 　) A.向量与向量的模相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点一定相同 C.在平行四边形ABCD中，＝ D.若两个相等向量的起点相同，则终点也相同 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：向量的起点、终点分别为向量的终点、起点，它们的模相等，A正确；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B不正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB DC，且与的方向相同，故＝，C正确；由相等向量的定义知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量与的夹角为________. 135° 解析：∵∠ABC＝45°，∴与的夹角为135°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝____. 0 解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线. 又m与，都共线，所以m＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.中国象棋中规定：马走“日”字.如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1或AA2表示马走了“一步”.试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：根据规则，作出符合要求的所有向量，如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图. (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量共线的向量； 解：由共线向量满足的条件得与向量共线的向量有，，，，，，，，，，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求证：＝. 证明：在▱ABCD中，AD BC. 又E，F分别为AD，BC的中点， 所以ED BF， 所以四边形BFDE是平行四边形， 所以BE FD， 所以＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　) A.｜｜＝｜｜ B.与共线 C.与共线 D.＝ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由题意可知｜｜＝｜｜，∥∥，＝，但是∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以A，B，D中结论成立，C中结论不一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B.在平行四边形ABCD中，一定有＝ C.若a＝b，b＝c，则a＝c D.若a∥b，b∥c，则a∥c BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：若＝，则A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A错误.在平行四边形ABCD中，与方向相同且长度相等，所以＝，故B正确.若a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；若b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故C正确.当b＝0时，a与c不一定平行，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中存在着共线向量，这些共线的向量是__________，有两个向量的模相等，则这两个向量的模等于______. ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：结合题图可知，因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线， 而｜｜＝｜｜＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.在如图所示的方格图(每个小方格的边长为1)上，已知向量a. (1)试以点B为起点画一个向量b，使a＝b； 解：根据相等向量的定义，所作的向量b应与a同向，且长度相等，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)画一个以点C为起点的向量c，使｜c｜＝2，并画出c的终点的轨迹. 解：由平面几何知识可作满足条件的向量c，如图(答案不唯一)，向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆.如图所示. $$