章末检测(十) 三角恒等变换-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

章末检测(十)　三角恒等变换 第10章 三角恒等变换 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知角α的终边经过点P(－2，2)，则cos 2α＝(　　) A. B. C.－ D.－ 15 16 17 18 19 C 解析：∵角α的终边经过点P(－2，2)， ∴x＝－2，y＝2， ∴r＝4， ∴cos α＝＝－＝－， ∴cos 2α＝2cos2α－1＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.若sin α＝－，α是第三象限角，则tan的值是(　　) A. B.－ C.7 D.－7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析：因为sin α＝－，α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝， 所以tan＝＝＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.sin 50°(1＋tan 10°)＝(　　) A. B.2 C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 解析：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50° ＝sin 50°· ＝sin(90°－40°)· ＝cos 40°·＝ ＝＝＝＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知cos ＝，720°＜α＜900°，则sin 等于(　　) A.－ B.－ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 解析：因为720°＜α＜900°，所以180°＜＜225°， 因为cos ＝， 所以sin ＝－＝－＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝－，则tan(α－β)的值为(　　) A. B.－ C.－ D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 解析：由和差化积公式， 得cos α＋cos β＝2cos cos ＝， sin α－sin β＝2cos sin ＝－， 两式相除，所以tan ＝－. 所以tan(α－β)＝tan＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.若α为锐角，且cos α(tan 50°－1)＝1，则α＝(　　) A.10° B.20° C.70° D.80° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 解析：因为cos α(tan 50°－1)＝1， 则cos α＝ ＝＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝ ＝＝＝＝cos 20°， 又因为α为锐角，所以α＝20°. 7.计算：cos 20°cos 40°－cos 40°cos 80°＋cos 80°cos 20°＝ (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析：cos 20°cos 40°－cos 40°cos 80°＋cos 80°cos 20°＝[cos(40°＋20)＋cos(40°－20°)]－[cos(80°＋40°)＋cos(80°－40°)]＋[cos(80°＋20°)＋cos(80°－20°)] ＝－＋＝＋[cos 20°－cos 40°＋cos 100°] ＝＋[cos(30°－10°)－cos(30°＋10°)－sin 10°] ＝＋[2sin 30°sin 10°－sin 10°]＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知α∈，＝4＋1，则sin 2α＝(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 解析：因为α∈，所以∈，所以cos ＞sin ， 所以 ＝ ＝＝ ＝4＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以(sin α＋cos α)＋＝(sin α＋cos α)·(4＋1)－·(4＋1)， 即2(sin α＋cos α)＝2＋1， 所以sin α＋cos α＝1＋， 即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝， 所以sin 2α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是(　　) A.(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2＝2＋2cos(α＋β) B.＝tan2θ C.若sin 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝ D.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BD 解析：A.由平方关系和两角和的余弦公式得：(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2＝2＋2cos(α－β)，故错误； B.＝＝tan2θ，故正确； C.若sin 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝－2sin2θ·cos2θ＝1－sin22θ＝，故错误； D.sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β)2－(cos αsin β)2 ＝sin2α(1－sin2β)－sin2β(1－sin2α)＝sin2α－sin2β，故正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.下列式子正确的是( 　　) A.sin 15°＋cos 15°＝ B.cos 75°＝ C.2tan 15°＋tan215°＝2 D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD 解析：对于A选项，sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝×＝，故A正确； 对于B选项，cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝×－×＝，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C选项，因为tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－， 所以2tan 15°＋tan215°＝2×(2－)＋＝1，故C 错误； 对于D选项，因为tan 45°＝tan(33°＋12°)＝＝1， 所以tan 33°＋tan 12°＝1－tan 33°tan 12°， 所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知函数f(x)＝sinsin，则(　 　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于x＝对称 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)在区间[0，2π]上有4个零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD 解析：由f(x)＝sinsin＝－cos， f(x)的最小正周期为＝π，故A对； f＝－cos＝－，x＝对应的函数值是最值，故B对； x∈时，t＝2x－∈，此时t关于x单调递增， y＝－cos t在不单调，故f(x)在区间上不单调递增，故C错； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x∈[0，2π]时，t＝2x－∈，此时t关于x单调递增， 即t与x是一一对应的， f(x)＝0⇔－cos t＝0⇔cos t＝0，而关于t的三角函数方程cos t＝0在t∈时，恰好有4个根：，，，， 又t与x是一一对应的，所以f(x)在区间[0，2π]上有4个零点，故D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.求值：sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析：sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝. 13.已知sincos＝1，则tan(α－β)＝　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析：由sincos＝1，可得sinsin＝1， ∴α＋与β＋的相位差为2kπ(k∈Z)， 故α＋－＝2kπ(k∈Z)，∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)， ∴tan(α－β)＝tan＝(k∈Z). 14.可以验证：tan 13°tan 37°＋tan 37°tan 40°＋tan 13°tan 40° ＝1； 已知：不论α取何值且tan 2α，tan(15°－α)，tan(75°－α)均有意义， 都有tan 2αtan(15°－α)＋tan 2αtan(75°－α)＋tan(15°－α)tan(75°－α)＝1， 则有一般的结论：____________________________________________ 　 　　　　　　　　　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若α＋β＋γ＝(2n－1)·180°，n∈Z，则tan ·tan ＋tan ·tan ＋tan ·tan ＝1 解析：若α＋β＋γ＝(2n－1)·180°，n∈Z，则tan ·tan ＋tan ·tan ＋tan ·tan ＝1. 理由如下：α＋β＋γ＝(2n－1)·180°，n∈Z，则α＝(2n－1)·180°－(β＋γ)， 则＝(2n－1)·90°－， 则tan ＝tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝＝ ＝＝， 所以tan ·tan ＋tan ·tan ＋tan ·tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝·tan ＋tan ·tan ＋tan ·＝ ＝＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知＜α＜π，cos α＝－. (1)求tan α的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：因为＜α＜π，cos α＝－， 所以sin α＝＝＝， 所以tan α＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求cos的值. 解：因为cos α＝－，sin α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝， 所以cos＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝×＋×＝－. 16.(15分)证明： (1)当α＋β＝kπ＋(k∈Z)时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 证明：(1＋tan α)(1＋tan β) ＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1 ＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1 ＝tan αtan β＋tan(1－tan αtan β)＋1＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当α＋β＋γ＝kπ(k∈Z)时，tan αtan βtan γ＝tan α＋tan β＋tan γ. 证明：tan α＋tan β＋tan γ ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan γ ＝tan(kπ－γ)(1－tan αtan β)＋tan γ ＝tan αtan βtan γ. 17.(15分)已知α为锐角，β为钝角，且sin α＝，tan β＝－. (1)求sin 2β的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：sin 2β＝2sin βcos β＝＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求β－2α的值. 解：因为α为锐角，sin α＝，可得cos α＝，2α∈(0，π)， 由cos 2α＝1－2sin2α＝，可得sin 2α＝＝， 所以tan 2α＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则tan(β－2α)＝＝＝－1， 又因为tan 2α＝＞0，所以0＜2α＜，而＜β＜π， 可得0＜β－2α＜π，所以β－2α＝. 18.(17分)已知函数f(x)＝sin＋2sin2x－1. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：f(x)＝sin＋2sin2x－1＝sin 2x＋cos 2x＋1－cos 2x－1＝sin 2x－cos 2x＝sin， T＝＝π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)单调递增区间是，k∈Z. (2)若函数f(x)在区间[0，m]上的最大值是1，求m的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：当x∈[0，m]时，2x－∈， 若函数f(x)的最大值是1，则有2m－≥， 得m≥，所以m的最小值是. 19.(17分)在Rt△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)求角A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：因为＝，所以由正弦定理可得＝， 所以sin Acos B＋sin Acos C＝cos Asin B＋cos Asin C， 所以sin Acos B－cos Asin B＝cos Asin C－sin Acos C，所以sin(A－B)＝sin(C－A)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为A，B，C是直角三角形内角，故A－B∈，C－A∈， 则(A－B)＋(C－A)∈(－π，π)，所以A－B＝C－A， 即2A＝B＋C，又A＋B＋C＝π， 所以A＝. (2)已知c≠2b，a＝2，点P，Q是边AC上的两个动点(P，Q不重合)，记∠PBQ＝θ. ①当θ＝时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解： 因为c≠2b，所以B＝， 又A＝，a＝2，所以c＝2，b＝4. 如图，设∠QBC＝x，x∈， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则在△QBC中，由正弦定理，得＝， 所以BQ＝. 在△ABP中，由正弦定理，得＝，所以BP＝， S＝BP·BQsin ＝＝＝， 因为x∈，所以2x∈， 故当2x＝，即x＝时，Smin＝＝3(2－). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②三角函数的积化和差公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如下： sin α·cos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos α·sin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos α·cos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin α·sin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用.现记∠BPQ＝α，∠BQP＝β，请利用该公式，探究是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin 2α＋sin 2β＋k＝4ksin αsin β成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解： 假设存在实常数θ，k，对于所有满足题意的 α，β，都有 sin 2α＋sin 2β＋k＝4ksin αsin β成立， 则存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β， 都有2sin(α＋β)cos(α－β)＋k＝2k[cos(α－β)－cos(α＋β)]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，α＋β＝π－θ是定值，所以sin(α＋β)，cos(α＋β)是定值， 2[sin(α＋β)－k]cos(α－β)＋k[1＋2cos(α＋β)]＝ 0对于所有满足题意的α，β成立， 故有 因为k＝sin(α＋β)≠0，从而1＋2cos(α＋β)＝0，即cos(α＋β)＝－， 因为α，β为△BPQ的内角，所以α＋β＝， 从而θ＝π－＝，k＝. $$