14.4.3 用频率分布直方图估计总体分布14.4.4 百分位数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

14.4用样本估计总体 14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布 14.4.4　百分位数 第14章 统计 [学习目标]　1.能通过频率分布直方图对数据做出总体估计.　2.理解百分位数的概念.　3.掌握计算百分位数的方法. [素养目标]　水平一：通过频率分布直方图对数据总体的估计的理解.(逻辑推理) 水平二：在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析.(数学建模、数学运算、数据 分析) 　　我们在根据某种统计结果下结论时，经常要用到某个百分数，例如我们经常说，这次数学考试有90％的同学在85分以上，再例如：过去这一年的冬天，我们市的雾霾天气已经减少到5％以下，那么这里的90％和5％在统计学中是什么意思呢？这节课我们一起来研究这个问题. 探究活动1　用频率分布直方图估计总体分布 内容索引 探究活动2　百分位数 探究活动3　百分位数的综合应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　用频率分布直方图估计总体分布 1.利用频率分布直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形底边的中点值. (2)中位数左右两侧直方图的面积相等. (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数. 知识生成 [例1]　某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下： [0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5]，2. (1)列出样本的频率分布表； 知识应用 分组 频数 频率 [0，0.5) 4 0.04 [0.5，1) 8 0.08 [1，1.5) 15 0.15 [1.5，2) 22 0.22 [2，2.5) 25 0.25 [2.5，3) 14 0.14 [3，3.5) 6 0.06 [3.5，4) 4 0.04 [4，4.5] 2 0.02 合计 100 1 解　频率分布表 (2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数； 解　频率分布直方图如图， 由频率分布直方图知，前4个小矩 形的面积之和为0.49，第5个小矩形的 频率为0.25，故中位数位于[2，2.5)内. 设中位数为x，则(x－2)×0.5＝0.5－0.49，所以x＝2.02. 故中位数为2.02. 平均数为0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝2.02. (3)当地政府制定了人均月用水量为3 t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85％以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为 什么？ 解　人均月用水量在3 t以上的居民所占的比例为6％＋4％＋2％＝12％，即大约有12％的居民月用水量在3 t以上，88％的居民月用水量在3 t以下，因此政府的解释是正确的. 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 1.众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数. 2.中位数：把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数. 3.平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 1.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示. (1)求这次测试数学成绩的众数； 跟踪训练 解：由题图知众数为＝75，则这80名学生的数学成绩的众数为75分. (2)求这次测试数学成绩的中位数； 解：由题图知，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，设为x，得0.1＝0.03·(x－70)，所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数约为73.3分. (3)求这次测试数学成绩的平均数. 解：由题图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72(分). 探究活动2　百分位数 问题　某省数学学业水平考试结果揭晓，根据规定0.8％的同学需要补考，那么如何确定需要补考的分数线呢？ 提示　可以把数学考试成绩从低分到高分排序，由考生人数n×0.8％≈i，确定第i个数为补考的分数线. 1.k百分位数的定义 一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值____，它使得这组数据中至少有k％的数据______________，且至少有(100－k)％的数据大于或等于pk. 知识生成 pk 小于或等于pk 2.计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步　将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步　计算k·； 第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步　如果k·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数. 3.四分位数 中位数即为50百分位数，我们把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数，其中25百分位数和75百分位数分别称为下四分位数和上四分位数. [例2]　(1)某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125，则这组数据的70百分位数是(　　) A.100　　　　　　　　　 B.111 C.113 D.115 知识应用 D 解析　由8×70％＝5.6知，这组数据的70百分位数是按从小到大排列的第6个数，所以这组数据的70百分位数是115. (2)某市举行中学生诗词大赛，分初赛和复赛两个阶段进行.规定：初赛成绩大于90分的具有参加复赛的资格.某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图.估计初赛成绩的80百分位数为__________. 122 解析　设初赛成绩在[90，110)内的为a，则(0.002 5＋0.007 5＋0.007 5＋a＋0.012 5＋0.005 0)×20＝1，∴a＝0.015 0. 初赛成绩在110分以下的频率为(0.002 5＋0.007 5＋ 0.007 5＋0.015 0)×20＝0.65， 初赛成绩在130分以下的频率为0.65＋0.012 5 ×20＝0.90， ∴初赛成绩的80百分位数一定在[110，130)内. 由110＋×20＝122，可估计初赛成绩的80百分位数是122. 计算一组n个数据的p百分位数的一般步骤 1.排列：按照从小到大排列原始数据. 2.算i：计算i＝n×p％. 3.定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p百分位数为第j项数据；若i是整数，则p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 2.考察某校高二年级男生的身高，随机抽取38名高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下： 171　163　163　166　166　168　168　160　168　165 171　169　167　169　168　170　160　168　174　165 168　174　159　167　156　157　164　169　176　157 162　161　158　164　163　163　167　161 则该校高二年级男生身高的75百分位数估计为__________. 跟踪训练 168 解析：把这38名男生的身高数据按从小到大排序，可得 156　157　157　158　159　160　160　161　161　162 163　163　163　163　164　164　165　165　166　166 167　167　167　168　168　168　168　168　168　169 169　169　170　171　171　174　174　176 由75％×38＝28.5，可知样本数据的75百分位数为168.据此可估计该校高二男生身高的75百分位数约为168. 探究活动3　百分位数的综合应用 [例3]　某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： 知识应用 (1)估计总体400名学生中分数小于70的人数； 解　根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160. (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； 解　根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分数在区间[40，50)内的人数为 100－100×0.9－5＝5， 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20. (3)根据该大学规定，把15％的学生划定为不及格，不及格的学生需要补考，利用②中的数据，确定本次测试的及格分数线. 解　设分数的15百分位数为x， 因为分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50，60)， 则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，解得x＝55， 则本次考试的及格分数线为55分. 由频率分布直方图求百分位数的方法 1.要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率. 2.一般采用方程的思想，设出k百分位数，根据其意义列出方程并求解即可. 3.为了解学生的周末学习时间(单位：小时)，高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 跟踪训练 (1)求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； 解：由题图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为(0.03＋0.015)×5＝0.225， 则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225＝9. (2)估计这40名学生周末学习时间的25百分位数； 解：学习时间在5小时以下的频率为0.02×5＝0.1＜0.25， 学习时间在10小时以下的频率为0.1＋0.04×5＝0.3＞0.25， 所以25百分位数在区间[5，10)内，5＋5×＝8.75， 则这40名学生周末学习时间的25百分位数为8.75. (3)如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由. 解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性. 1.掌握2个知识点 (1)频率分布直方图估计总体分布. (2)k百分位数和四分位数的定义. 2.掌握4种方法 求一组数据在频率分布直方图中众数、中位数、平均数、百分位数的方法. 3.注意2个易错点 (1)用样本估计总体出现误差的原因有样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样本容量偏少等. (2)一定要弄清n×k％是否为整数.当其为整数与不为整数时，k百分位数的求法不同. 备选题库 教师独具 1.下列一组数据的25百分位数是(　　) 2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6 A.3.2　　　　　　　　　 B.3.0 C.4.4 D.2.5 A 解析：把该组数据按照由小到大排列，可得 2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6， 由i＝10×25％＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25百分位数. 2.(多选)已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是(　　 ) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 ABD 解析：因为75×＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不对. 3.一样本的频率分布直方图如图所示，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20]. 估计样本数据的60百分位数是(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 A 解析：由题图知， 数据落在区间[5，10)上的频率为0.04×5＝0.20， 数据落在区间[10，15)上的频率为0.10×5＝0.50， 所以60百分位数是10＋5×＝14. 4.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45]内，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是__________.(精确到0.1) 33.6 解析：在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以数据位于[25，30)的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.前两个矩形的面积之和为0.01×5＋0.2＝0.25，前三个矩形的面积之和为0.25＋0.07×5＝0.6，所以中位数位于区间[30，35)内.设中位数为a，则有0.05＋0.2＋(a－30)×0.07＝0.5，解得a≈33.6. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [A组] 1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70百分位数是(　　) A.86　　　　　　　　　　 B.87 C.88 D.89 解析：因为15×0.7＝10.5，所以这15人的70百分位数为第11个数88. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为(　　) A.22.5，20 B.22.5，22.75 C.22.75，22.5 D.22.75，25 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由题意，这批产品的平均数为＝5×(0.02×12.5＋0.04×17.5＋0.08×22.5＋0.03×27.5＋0.03×32.5)＝22.75， 其中位数为x0＝20＋＝22.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100个棉花纤维长度的数据(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的90百分位数是(　　) A.32.5 mm B.33 mm C.33.5 mm D.34 mm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：根据频率分布直方图知， 0.01×5＋0.01×5＋0.04×5＋0.06×5＋0.05×5＝0.85＜0.9， 0.85＋0.02×5＝0.95＞0.9， ∴这组数据的90百分位数在[30，35)内， 设这组数据的90百分位数为x，则 (x－30)×0.02＋0.85＝0.9， 解得x＝32.5， 即这组数据的90百分位数为32.5 mm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)下列命题是真命题的有(　　 ) A.有甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例进行分层抽样调查，如果抽取甲的个体数为9，那么样本量为30 B.数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C.一组数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85百分位数为5 D.已知30个数据从小到大排列后，60百分位数是8.2，第18个数据是7.8，则第19个数据是8.6 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：对于A，乙、丙抽取的个体数分别为3，6，则样本量为3＋6＋9＝18，故A错误；对于B，平均数为＝3，中位数为3，众数为3，故B正确；对于C，将该组数据从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由10×85％＝8.5，得该组数据的85％分位数为5，故C正确；对于D，由30×60％＝18，可设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是(每组数据以区间的中点值为代表)(　　) A.b的值为0.025 B.候选者面试成绩的中位数约为69.4 C.在被抽取的候选者中，成绩在区间[65， 75)之间的候选者有30人 D.估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5分 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：对于A，∵(0.005＋b＋0.045＋0.02 ＋0.005)×10＝1，∴b＝0.025，故A正确； 对于B，设候选者面试成绩的中位数为x， 则(0.005＋0.025)×10＋(x－65)×0.045＝ 0.5，解得x≈69.4，故B正确； 对于C，成绩在区间[65，75)的频率为0.045×10＝0.45，故人数为80×0.45＝36，故C错误； 对于D，50×0.005×10＋60×0.025×10＋70×0.045×10＋80×0.02×10＋90×0.005×10＝69.5，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25百分位数为__________，75百分位数为__________，90百分位数为__________. 解析：因为数据个数为10，10×＝2.5，10×＝7.5，10×＝9. 所以该组数据的25百分位数为x3＝3，75百分位数为x8＝8，90百分位数为＝＝9.5. 　9.5 3 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在某高三年级的一次模拟考试中，经统计某校重点班30名学生的数学成绩均在[100，150](单位：分)内，根据统计的数据制作出频率分布直方图如图所示， 则图中的实数a＝__________，若以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，估算该班的数学成绩平均值为__________. 0.005 126.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由频率分布直方图可得(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，∴a＝0.005， 该班的数学成绩平均值为105×0.1＋115×0.15＋125×0.35＋135×0.3＋145×0.1＝126.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.下表为30位学生参加语文竞赛的成绩，并从小到大排列. 42 49 55 58 60 62 63 65 66 68 70 70 72 74 75 76 76 77 79 80 81 82 85 91 96 97 97 98 99 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求四分位数； 解：30×25％＝7.5，取第8项数据，所以下四分位数为65； 30×50％＝15，取第15，16项数据的平均数， 所以中四分位数为＝75.5； 30×75％＝22.5，取第23项数据，所以上四分位数为85. (2)求10百分位数. 解：30×10％＝3，取第3，4项数据的平均数， 所以10百分位数为＝56.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组] 9.已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的30百分位数、50百分位数分别对应相等，则＝(　　) A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：因为30％×6＝1.8，50％×6＝3，所以30百分位数为n＝28，50百分位数为＝，所以m＝40，所以＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55 km，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h.现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为(　　) A.85，0.25 B.90，0.35 C.87.5，0.25 D.87.5，0.35 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为＝87.5， 由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90 km/h的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35， ∴由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90 km/h的频率为0.35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　) A.[4.5，＋∞) B.[4.5，6.6) C.(4.5，＋∞) D.(4.5，6.6] A 解析：因为65×＝5.2，所以这组数据的65百分位数是第6个数据4.5，则x≥4.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式； 解：当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200＜x≤400时， y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60； 当x＞400时， y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80％，求a，b的值； 解：由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80％， 结合频率分布直方图可知 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75百分位数. 解：设75百分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为 (0.001＋0.002＋0.003)×100＝60％， 用电量低于400千瓦时的占80％， 所以75百分位数m在[300，400)内， 所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75， 解得m＝375，即用电量的75百分位数为375千瓦时. $$