13.1.3 直观图的斜二测画法-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

13.1　基本立体图形 13.1.3　直观图的斜二测画法 第13章 立体几何初步 [学习目标]　能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. [素养目标]　水平一：1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(数学抽象)　2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(直观想象)　3.强化直观图、原空间几何体形状之间的相互转换.(逻辑推理) 水平二：通过观察空间几何体原图形和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系.(直观想象) 　　图中的国家游泳中心(又称“水立方”)可以抽象成一个几何体－－长方体，你能试着画出一个长方体吗？上下底面的长方形，怎么画更有立体感？ 探究活动1　水平放置的平面图形的直观图的画法 内容索引 探究活动2　空间图形的直观图的画法 探究活动3　直观图的还原与计算 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　水平放置的平面图形的直观图的画法 问题　在画板上画水平放置的平面图形时，其中的直角一定画成直角吗？如果图形中有平行的线，画成平行吗？ 提示　为了直观，直角不一定画成直角，平行的线一般还保持平行. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识生成 45° 135° 水平面 x'轴或y'轴 线段 保持原长度不变 一半 [例1]　用斜二测画法画出如图所示的水平放置的直角梯形OBCD的直观图. 知识应用 解　在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①.画相应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'＝45°，如图②.在x'轴上取O'B'＝OB，在y'轴上取O'D'＝OD，过点D'作x'轴的平行线l，在l上沿x'轴正方向取点C'，使得D'C'＝DC.连接B'C'，如图②.所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图，如图③. 画水平放置的图形的直观图的关键及注意事项 1.在画水平放置的图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的点落在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图. 2.画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化. 1.用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图. 跟踪训练 解：①过点A作AG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，如图1. ②画出相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'＝45°，如图2. ③在图2中的x'轴上取O'B'＝OB，O'G'＝OG，O'C'＝OC，O'H'＝OH，在y'轴上取O'E'＝OE，分别过点G'和点H'作y'轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'＝GA，H'D'＝HD. ④连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'以及坐标轴，便得到五边形ABCDE水平放置的直观图A'B'C'D'E'，如图3. 探究活动2　空间图形的直观图的画法 问题　结合水平放置的平面图形画法，你能给出正方体的画法吗？ 提示　正方体可以看作底面沿竖直方向平移得到，故画正方体可以先画出一个底面，再确定竖直方向的棱即可. 用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤 (1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝______，且∠yOz＝______. (2)画直观图时，把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面. 知识生成 90° 90° (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成______于x'轴、y'轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的______. 平行 一半 [例2]　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD－A'B'C'D'的直观图. 知识应用 解　画法步骤： (1)画轴.如图，画x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于点O'，使∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°. (2)画底面.以点O'为中点，在x'轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y'轴上取线段PQ，使PQ＝ cm. 分别过点M和N作y'轴的平行线，过点P和Q作x'轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图. (3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z'轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. (4)成图.连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图. 用斜二测画法画空间图形的直观图的原则 1.用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段. 2.平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的. 2.用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是边长为2 cm的正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O. 跟踪训练 解：(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，AD的垂直平分线MN(MN分别交EF，BC于点M，N)为y轴，两轴相交于点O，如图1.画出相应的x'轴、y'轴、z'轴，三轴相交于点O'，使∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°，如图2； ②在图2中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'＝AD，在y'轴上取M'N'＝MN，以点N'为中点，画B'C'平行于x'轴，并且B'C'＝BC，再以M'为中点，画E'F'平行于x'轴，并且E'F'＝EF；③连接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A'B'C'D'E'F'. (2)在z'轴的正半轴上截取点P'，使O'P'＝OP. (3)成图.连接P'A'，P'B'，P'C'，P'D'，P'E'，P'F'，并擦去辅助线，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P'－A'B'C'D'E'F'，如图3. 探究活动3　直观图的还原与计算 [例3]　如图，四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积. 知识应用 解　画出平面直角坐标系，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝A'C'＝，再在y轴上取点D，使AD＝2A'D'＝2，过C点作y轴的平行线，并在平行线上取点B，使BC＝2B'C'＝2，连接DC，BA，则四边形ABCD为正方形A'B'C'D'的原图形，如图所示. 易知四边形ABCD为平行四边形， ∵AD＝2，AC＝，∴S▱ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2. 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积. 3.已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为(　　) A.a2　　　　　　　　 B.a2 C.a2 D.a2 跟踪训练 D 解析：如图①②所示，分别为正三角形ABC的实际图形和直观图. 由②可知，B'C'＝BC＝a，O'A'＝OA＝a，在图②中作A'D'⊥B'C'于点D'，则A'D'＝O'A'＝a.所以S△A'B'C'＝B'C'·A'D'＝×a×a＝a2. 1.牢记3个知识点 (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)空间图形直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.掌握1种方法——化归与转化 3.注意1个易错点 同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. 备选题库 教师独具 1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 B 2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列关于线段间关系的变化的说法错误的是(　　) A.原来相交的线段仍相交 B.原来垂直的线段仍垂直 C.原来平行的线段仍平行 D.原来共点的线段仍共点 B 3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成(　　) A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm A 解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致. 4.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为_______. 10 解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [A组] 1.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正△A'B'C'，则△ABC是(　　) A.锐角三角形　　　　　　 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(　　) A.16 B.64 C.16或64 D.无法确定 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　) A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm D 解析：圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(　　) A.8 cm B.6 cm C.2(1＋)cm D.2(1＋)cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：根据直观图的画法，可得原平面图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，且OB＝2 cm，OA＝1 cm，AB＝3 cm，从而四边形OABC的周长为8 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'＝C'O'＝1，A'O'＝，那么原△ABC是一个(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边互不相等的三角形 D.面积为的三角形 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：根据斜二测画法可知，在△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，∴△ABC是等边三角形，其面积S＝×BC×AO＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，A'D'＞B'C'，那么在原平面图形ABC中(　　) A.AB与AC的长度相等 B.AD的长度大于AC的长度 C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：根据斜二测画法画出的直观图，还原几何图形，易知BC∥x轴，AD∥y轴，并且BC＝B'C'，点D是BC的中点，可得AD⊥BC，连接AB，AC(图略)，得△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是BC上的中线，则AB的长度大于AD的长度，由题意可知，A'D'＞B'C'，所以B'C'＜2A'D'，因为BC＝B'C'，AD＝2A'D'，所以BC＜AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD的形状为__________. 正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：因为∠D'A'B'＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因为四边形A'B'C'D'为平行四边形，且A'B'＝2B'C'，所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.如图是水平放置的四边形ABCD的直观图A'B'C'D'，则原四边形ABCD 的面积是______. 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：因为A'D'∥y'轴， A'B'∥C'D'，A'B'≠C'D'， 所以原图形是一个直角梯形，如图所示. 又A'D'＝4，所以AD＝8， 所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8， 故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O'D'＝OD＝， 梯形的高D'E'＝，于是梯形A'B'C'D'的 面积为×(1＋2)×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 法二：梯形ABCD的面积S＝(DC＋AB)×OD＝×(1＋2)×1＝， 所以梯形ABCD直观图的面积为S'＝S＝×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组] 10.已知AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，在直观图中，AB的直观图是A'B'，CD的直观图是C'D'，则(　　) A.A'B'＝2C'D' B.A'B'＝C'D' C.A'B'＝4C'D' D.A'B'＝C'D' C 解析：由题意得AB＝A'B'，CD＝2C'D'，∴A'B'＝AB＝2CD＝4C'D'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角三角形O'B'C'，其中O'B'＝1，则原平面图形中最大的边长为(　　) A.2 B.2 C.3 D.2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：如图，作A'C'⊥B'C'交x'轴于A'点，由O'B'＝1，△O'B'C'是等腰直角三角形，得B'C'＝，则A'C'＝， 将直观图在平面直角坐标系中还原成原平面图形，如图， ∴AC＝2A'C'＝2，AB＝2， ∴最长边BC＝＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长 方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m， 10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为___cm，宽为____cm，建筑物的高为____cm. 4 0.5 3.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析：由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm， 所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm. 所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.如图，四边形O'A'B'C'是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S'，求梯形OABC的面积S. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：设O'C'＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h. C'B'＝CB，O'A'＝OA.过点C'作C'D'⊥O'A'于点D'，则C'D'＝h. 由题意知C'D'·(C'B'＋O'A')＝S'，即h(C'B'＋O'A')＝S'. 原直角梯形面积为 S＝·2h(CB＋OA)＝h(C'B'＋O'A')＝＝2S'. 即梯形OABC的面积为2S'. $$