10.1.3 两角和与差的正切-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

10.1　两角和与差的三角函数 10.1.3　两角和与差的正切 第10章 三角恒等变换 [学习目标]　能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系. [素养目标]　水平一：1.能通过两角和与差的正弦、余弦公式与同角三角函数的关系公式推导出两角和与差的正切公式.(逻辑推理)　2.理解两角和与差的正切公式的结构特征，并能利用公式进行简单的化简、求值.(数学运算) 水平二：能够熟练地正用、逆用、变形用两角和与差的正切公式化简及求值、求角问题.(逻辑推理、数学运算) 如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值？ 探究活动1　两角和与差的正切公式 内容索引 探究活动2　给值求值(角) 探究活动3　两角和与差的正切公式的综合应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　两角和与差的正切公式 问题1　如何由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 提示　tan(α＋β)＝＝＝ . 问题2　如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式？ 提示　用－β代替tan(α＋β)中的β即可， 则tan(α－β)＝ . 两角和与差的正切公式 知识生成 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝______________ α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝______________ [例1]　求值：(1)tan 105°； 知识应用 解　tan 105°＝tan(45°＋60°)＝＝＝－2－. (2)； 解　原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. (3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解　因为tan 60°＝＝， 所以tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， 所以tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略 1.“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan. 2.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式. 1.＝　　. 跟踪训练 解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝. 探究活动2　给值求值(角) [例2]　(1)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A.－ B. C. D.－ 知识应用 A 解析　因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－，即tan α＝－. 因为tan(π－β)＝－tan β＝，故tan β＝－. 所以tan(α－β)＝ ＝＝－. (2)在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C＝　　. 解析　tan(A＋B) ＝ ＝＝－1， ∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝， ∴C＝π－(A＋B)＝. 1.关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. 2.关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 2.如图，在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 求：(1)tan(α＋β)的值； 跟踪训练 解：由条件得cos α＝，cos β＝. ∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， sin β＝＝. 因此tan α＝＝7， tan β＝＝. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝－3. (2)α＋2β的大小. 解：∵tan 2β＝tan(β＋β)＝ ＝＝， ∴tan(α＋2β)＝ ＝＝－1. ∵α，β为锐角， ∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝. 探究活动3　两角和与差的正切公式的综合应用 [例3]　已知tan α，tan β是方程x2－x－2＝0的两个实数根(不妨设α＜β)，且α，β∈，则α＋β的值为(　　) A. B. C.－ D.或－ 知识应用 B 解析　由根与系数的关系可得tan α＋tan β＝，tan αtan β＝－2， 又因为α＜β且α，β∈， 故tan α＜0＜tan β，则－＜α＜0，0＜β＜， 所以－＜α＋β＜， 因为tan(α＋β)＝＝，因此，α＋β＝. [例4]　如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值. 解　由AB＋BP＝PD， 得a＋BP＝， 解得BP＝a，PC＝a， 设∠APB＝α，∠DPC＝β， 则tan α＝＝，tan β＝＝， ∴tan(α＋β)＝＝－18， 又∠APD＋α＋β＝π， ∴tan∠APD＝tan[π－(α＋β)]＝－tan(α＋β)＝18. 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体：一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换；二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 3.若A＋B＝，求证：tan Atan B＋tan A＋tan B＝1. 跟踪训练 证明：∵A＋B＝， 左边＝tan Atan B＋tan A＋tan B ＝tan Atan B＋tan(A＋B)(1－tan Atan B) ＝tan Atan B＋tan (1－tan Atan B) ＝tan Atan B＋1－tan Atan B ＝1＝右边. ∴原等式成立. 1.牢记3个知识点 (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)两角和与差的正切公式的结构特征. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.掌握1种方法——转化法 3.注意1个易错点 公式中加减符号易记错. 备选题库 教师独具 1.若tan α＝，tan β＝－，则tan(α＋β)＝(　　) A.－ B. C. D.－ C 解析：因为tan α＝，tan β＝－， 则tan(α＋β)＝＝＝. 2.tan 15°＋tan 105°－tan 15°tan 105°＝(　　) A. B. C.－ D.－ D 解析：因为tan 15°＋tan 105°＝tan(15°＋105°)(1－tan 15°tan 105°)＝－(1－tan 15°tan 105°)＝－＋tan 15°tan 105°， 所以tan 15°＋tan 105°－tan 15°tan 105°＝－. 3.已知sin α＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为 (　　) A.－ B. C.－ D. C 解析：∵α为第二象限角，sin α＝， ∴cos α＝－，∴tan α＝－. ∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝＝－. 4.在△ABC中，已知tan A，tan B是方程x2＋m(x＋1)＋1＝0的两个实 根，则C＝　　　. 解析：由题意得，tan A＋tan B＝－m，tan Atan B＝m＋1， 又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) ＝－＝－1，且0＜C＜π， 则C＝. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　) A.－4 B.4 C.－ D. C 解析：因为cos＝2cos(π－α)， 所以－sin α＝－2cos α⇒tan α＝2. 所以tan＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.＝(　　) A.－ B. C.－ D. A 解析：原式＝＝＝ ＝－＝－＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α＝(　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝＝－1， ∴2α＝－＋kπ(k∈Z)， ∴α＝－＋kπ(k∈Z). 又∵α为锐角，∴α＝－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值为(　　) A. B.1 C. D.2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ＝tan (1－tan αtan β)＝tan αtan β－1， ∴(1－tan α)(1－tan β) ＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列式子的计算结果为的是(　 　) A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°) C. D. ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：对于选项A，利用正切的变形公式可得原式＝； 对于选项B，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·sin 25°)＝2sin 60°＝； 对于选项C，原式＝＝tan 60°＝； 对于选项D，原式＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为(tan α，tan β)，则(　 　) A.tan α＋tan β＝16 B.tan αtan β＝2 C.tan(α＋β)＝16 D.＝－8 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由题意得，故A错误，B正确； 由于tan(α＋β)＝＝16，故C正确； 又＝＝＝－＝－8，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.＝　　　. － 解析：＝－＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为　　　. － 解析：依题意，知tan α＝，tan(β－α)＝， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.化简：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°). 解：(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋(tan 1°＋tan 44°)＋tan 1°·tan 44°＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan 1°·tan 44°)＋tan 1°·tan 44°＝2， 同理可得(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝(1＋tan 3°)(1＋tan 42°)＝(1＋tan 4°)(1＋tan 41°)＝…＝2， 故(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝223. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； 解：∵tan＝2， ∴＝2， ∴＝2，解得tan α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求的值. 解：∵tan α＝，tan β＝， ∴原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝ ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.在△ABC中，“tan A＋tan B＋tan C＞0”是“△ABC为锐角三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝， 故tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C，tan A，tan B，tan C最多只有一个为负， 若tan A＋tan B＋tan C＞0，则tan A·tan B·tan C＞0， 故tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，则A，B，C均为锐角，故△ABC为锐角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若△ABC为锐角三角形，则tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，故tan A＋tan B＋tan C＞0. 综上所述，“tan A＋tan B＋tan C＞0”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中，正确的是(　　) A.A＋B＝2C B.tan(A＋B)＝－ C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵C＝120°，∴A＋B＝60°， ∴2(A＋B)＝C， ∴tan(A＋B)＝，∴选项A，B错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， ∴tan A·tan B＝，　① 又tan A＋tan B＝，　② ∴联立①②解得tan A＝tan B＝， ∴cos B＝sin A，故选项C，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈＝10尺)，现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？假设折断的竹子与地面的夹角(锐角)为θ，则tan＝　　　. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由题意，设折断处离地面的高为x尺， 则由勾股定理得x2＋32＝(10－x)2，化简得20x＝91， 解得x＝4.55. 所以tan θ＝＝， 所以tan＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由. 解：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝， (2)tan tan β＝2－同时成立. 由(1)得＋β＝， 所以tan＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又tan tan β＝2－， 所以tan ＋tan β＝3－， 因此tan ，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根. 解得x1＝1，x2＝2－.若tan ＝1，则α＝. 这与α为锐角矛盾. 所以tan ＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝. 所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. $$