10.1.2 两角和与差的正弦-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

10.1　两角和与差的三角函数 10.1.2　两角和与差的正弦 第10章 三角恒等变换 [学习目标]　能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系. [素养目标]　水平一：1.能通过两角差的余弦公式及诱导公式推导出两角和与差的正弦公式.(逻辑推理)　2.理解两角和与差的正弦、余弦公式的结构特征，并能利用公式进行简单的化简、求值.(数学运算) 水平二：1.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活利用公式解决求值、求角问题.(数学运算)　2.能够利用辅助角公式对三角函数式进行化简.(逻辑推理) 通过诱导公式求sin 15°时，我们可以转变为求cos 75°，然后利用两角和的余弦公式求出，那么有没有两角和(差)的正弦公式呢？ 探究活动1　两角和与差的正弦公式 内容索引 探究活动2　给值(式)求值(角) 探究活动3　两角和与差的正弦、余弦公式的应用 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　两角和与差的正弦公式 问题1　如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦 公式？ 提示　sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝coscos β＋sinsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β. 问题2　如何由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 提示　在两角和的正弦公式中，用－β代替β， 可以得到sin(α－β)＝sin[α＋(－β)] ＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β. 两角和与差的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝____________________. S(α－β)：sin(α－β)＝____________________. 知识生成 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β [例1]　求值： (1)sin ； 知识应用 解　sin ＝sin＝sin cos ＋cos ·sin ＝×＋×＝. (2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°. 解　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. 探究解决给角求值问题的策略 1.对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形. 2.一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，解题时要逆用或变形用公式. 1.化简：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝　　. 跟踪训练 解析：原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝. 2.求值：＝　　　　. 2－ 解析：原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝2－. 探究活动2　给值(式)求值(角) [例2]　(1)已知cos＝，α为锐角，则sin α＝　　　　. 知识应用 解析　因为α∈，cos＝＞0，所以α＋∈， 所以sin＝＝＝. 所以sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. (2)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝　　. 解析　由题意得cos α＝，sin β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. 因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 1.给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”或特殊角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已 知角”. 2.解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 3.已知α为钝角，且sin＝，则cos＝　 　　　. 跟踪训练 － 解析：(1)因为α为钝角，且sin＝， 所以cos＝－＝－， 所以cos＝cos ＝coscos －sinsin ＝－×－×＝－. 4.已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，则 α＝　　. 解析：∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝. ∵sin β＝－，∴cos β＝. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝×＋×＝. 又α∈，∴α＝. 探究活动3　两角和与差的正弦、余弦公式的应用 [例3]　已知函数f(x)＝sin x－acos x的图象经过点. (1)求实数a的值； 知识应用 解　由函数f(x)的图象经过点， 可知sin －acos ＝1，解得a＝1. (2)求实数f(x)的最小正周期和单调递减区间. 解　由(1)，知f(x)＝sin x－cos x ＝2＝2sin， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π. 由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递减区间为 ，k∈Z. 1.对形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用两角和或差的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式，即y＝Asin(α＋φ)的形式. 2.辅助角公式asin x＋bcos x＝， 令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角. 5.(多选)已知函数f(x)＝sin＋cos，则f(x)(　　) A.为偶函数 B.在区间上单调递减 C.最大值为2 D.为奇函数 跟踪训练 AB 解析：f(x)＝sin ＝sin＝cos 2x， 所以f(x)是偶函数，A正确，D错误； 由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z， 当k＝0时，单调减区间为，所以B正确； f(x)的最大值为，C错误. 1.牢记3个知识点 (1)两角和与差的正弦公式. (2)辅助角公式. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.掌握2种方法 (1)构造法. (2)转化法. 3.注意1个易错点 求角或求值时易忽视角的范围. 备选题库 教师独具 1.sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为(　　) A.－ B.－ C. D. B 解析：原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(7°－37°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－. 2.函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　) A.[－2，2] B.[－，] C.[－1，1] D. B 解析：f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，所以函数f(x)的值域为[－，]. 3.设α为锐角，若cos＝，则sin α＝(　　) A. B. C. D. B 解析：由题意得0＜α＜，则＜α＋＜， 故sin＝＝，则sin α＝sin＝sin·cos －cossin ＝×－×＝. 4.若sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，则α＋β＝　　. 解析：∵α，β均为锐角， ∴cos α＝＝， cos β＝＝， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 又0＜α＜，0＜β＜， ∴0＜α＋β＜π， ∴α＋β＝. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25°＝(　　) A. B. C. D.－ B 解析：由诱导公式得sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25°＝sin 70°·cos 25°－cos 70°·sin 25°＝sin(70°－25°)＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝(　　) A.－ B. C.－ D. A 解析：由题意得sin α＝－，则sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin的值为(　　) A. B. C. D. A 解析：∵sin α＋cos α＝sin＝， ∴sin＝， ∵α∈(0，π)，∴α＋∈， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵sin＝＜， ∴α＋∈， ∴cos＝－＝－， ∴sin＝sin ＝sincos －cossin ＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知函数f(x)＝sin＋sin，则f(x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数，也是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 A 解析：f(x)＝sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x，所以f(x)为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　) A.α＝β＝0时成立 B.只对有限个α，β的值成立 C.对于任何角α，β都不成立 D.有无限个α，β的值使等式成立 AD 解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立.所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故A，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)＝cos x－sin x，则(　　) A.函数f(x)的最大值为2 B.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)在区间上单调递增 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：f(x)＝2sin， f(x)的最大值为2，A错误； sin＝sin π＝0，B错误； sin＝sin 0＝0，C正确； 当π＜x＜时，＜x＋＜， 因为是的真子集，所以D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝　　. － 解析：sin α＋cos β＝1两边平方可得 sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝1，　① cos α＋sin β＝0两边平方可得 cos2α＋2cos αsin β＋sin2β＝0，　② 由①＋②得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 即2＋2sin(α＋β)＝1，∴2sin(α＋β)＝－1，∴sin(α＋β)＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.化简：＝　　. 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.化简下列各式. (1)sin＋2sin－cos； 解：原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x ＝sin x＋cos x＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)－2cos(α＋β). 解：原式＝ ＝ ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. 求：(1)cos(2α－β)的值； 解：因为α，β∈， 所以α－β∈. 又因为sin(α－β)＝＞0，所以α－β∈， 所以cos(α－β)＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又sin α＝＝， 所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)β的值. 解：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝， 因为β∈，所以β＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是(　　) A.2≤m≤6 B.－6≤m≤6 C.2＜m＜6 D.2≤m≤4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵sin x＋cos x＝4－m， ∴sin x＋cos x＝， ∴sin sin x＋cos cos x＝， ∴cos＝. ∵≤1，∴≤1，∴2≤m≤6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，则角α＋β的值为(　　) A.π B.π C.π D.π C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由已知可得－＜－α＜0，＜＋β＜π， ∴cos＝，cos＝－. 则cos(α＋β)＝cos ＝－×＋×＝－， 又∵＜α＋β＜π，∴α＋β＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知函数f(x)＝sin 3ωx－cos 3ωx(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则f＝　　. 2 解析：f(x)＝sin 3ωx－cos 3ωx＝2sin， 又图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以周期T＝2×＝π，故3ω＝＝2， 函数f(x)＝2sin， f＝2sin ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值； 解：因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2. 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z. 由－≤φ＜，得k＝0， 所以φ＝－＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若f＝，求cos的值. 解： 由(1)得f＝sin＝， 所以sin＝. 由＜α＜得0＜α－＜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以cos＝ ＝＝. 因此cos＝sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝. $$