10.1.1 两角和与差的余弦-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

10.1　两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 第10章 三角恒等变换 [学习目标]　经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义. [素养目标]　水平一：1.能通过任意角的三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公式.(逻辑推理)　2.理解两角差的余弦公式的结构形式，并能利用公式进行简单的化简、求值.(数学运算) 水平二：掌握两角差的余弦公式，并能灵活利用公式解决化简及求值、求角问题.(逻辑推理、数学运算) 由向量的数量积运算法则，可知cos x＋sin x＝(cos x，sin x)·(1，1)＝··cos θ，其中θ为向量(cos x，sin x)与向量(1，1)的夹角. 于是有cos x＋sin x＝cos. 那么cos可以用x的三角函数与的三角函数来表示，由此联想到更一般的问题：cos(α－β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示呢？ 探究活动1　两角和与差的余弦公式 内容索引 探究活动2　给值求值 探究活动3　给值求角 备选题库 教师独具 课时作业 巩固提升 4 探究活动1　两角和与差的余弦公式 问题1　如何推出公式cos(α－β)？ 提示　用向量的数量积，如图所示，只考虑0≤α－β≤π的情况， 设向量a＝＝(cos α，sin α)， b＝＝(cos β，sin β)， 则a·b＝｜a｜｜b｜cos(α－β)＝cos(α－β). 又由向量数量积的坐标表示，有 a·b＝cos αcos β＋sin αsin β， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 问题2　如何由公式cos(α－β)得到公式cos(α＋β)？ 提示　以－β代替公式cos(α－β)中的β，可以得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β. 1.两角差的余弦公式 cos(α－β)＝____________________.(C(α－β)) 2.两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝____________________.(C(α＋β)) 知识生成 cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β [例1]　求值： (1)cos(－75°)； 知识应用 解　原式＝cos 75°＝cos(120°－45°)＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°＝×＋×＝. (2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； 解　原式＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝. (3)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； 解　原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝. (4)cos 105°＋sin 105°. 解　原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(105°－60°)＝cos 45°＝. 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 1.把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解. 2.在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值. 1.求值：(1)sin ； 跟踪训练 解：原式＝sin＝cos ＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝. (2)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； 解：原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝. (3)cos cos ＋cos sin ； 解：原式＝cos cos ＋cossin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos ＝cos ＝. (4)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α). 解：原式＝cos[(α－20°)－(40°＋α)]＝cos(－60°)＝. 探究活动2　给值求值 [例2]　已知sin＝，且＜α＜，求cos α的值. 知识应用 解　∵sin＝，且＜α＜，∴＜α＋＜π. ∴cos＝－＝－. ∴cos α＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 1.利用两角和与差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式. 2.常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等. 2.已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. 跟踪训练 解：因为α，β∈， 所以α＋β∈(0，π)，sin(α＋β)＞0， sin(α＋β)＝＝， cos α＝＝， 所以cos β＝cos(α＋β－α) ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. 探究活动3　给值求角 [例3]　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的大小. 知识应用 解　由α－β∈，cos(α－β)＝－，可知sin(α－β)＝. 因为α＋β∈，cos(α＋β)＝， 所以sin(α＋β)＝－， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝×＋×＝－1. 因为α－β∈，α＋β∈， 所以2β∈，所以2β＝π，故β＝. 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 1.确定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 2.求所求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数. 3.结合三角函数值及角的范围求角. 3.若cos α＝，cos(α＋β)＝－，α∈，α＋β∈，则β ＝　　. 跟踪训练 解析：∵α∈，α＋β∈，∴β∈(0，π)， ∵cos α＝，α∈， ∴sin α＝＝. ∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈， ∴sin(α＋β)＝＝. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝， ∴β＝. 1.牢记3个知识点 (1)记牢2个公式： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (2)两角差(和)的余弦公式的推导过程. (3)给角求值，给值求值，给值求角. 2.掌握1种方法——构造法 3.注意2个易错点 (1)公式的正用、逆用、变形用. (2)求角时易忽视角的范围. 备选题库 教师独具 1.cos ＝(　　) A. B. C. D.－ C 解析：cos ＝cos＝cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝. 2.sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°的值是(　　) A. B. C. D. C 解析：sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos(70°－10°)＝cos 60°＝. 3.已知角α为第二象限角，sin α＝，则cos的值为(　　) A. B. C. D. C 解析：∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－， ∴cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝. 4.化简：cos(α－55°)·cos(α＋5°)＋sin(α－55°)·sin(α＋5°)＝　. 解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝. 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [A组] 1.已知点P(1，)是角α的终边上一点，则cos＝(　　) A. B. C.－ D. A 解析：由题意可得sin α＝，cos α＝， 所以cos＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　) A.－ B.－ C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：因为α为锐角，cos α＝，所以sin α＝＝，因为β为第三象限角，sin β＝－， 所以cos β＝－＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知sin α＝，α∈，则cos等于(　　) A. B. C.－ D.－ B 解析：由题意可知cos α＝，则cos＝cos＝cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.cos ＋sin 的值为(　　) A.－2 B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：cos ＋sin ＝2 ＝2 ＝2cos＝2cos ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(多选)下列四个选项中，化简正确的是( 　　) A.cos(－15°)＝ B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0 C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos(－60°)＝cos 60°＝ D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝ BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：对于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误； 对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确； 对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确； 对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(多选)满足sin αsin β＝＋cos αcos(π－β)的一组α，β的值为(　　) A.α＝，β＝ B.α＝，β＝ C.α＝，β＝ D.α＝，β＝ BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵sin αsin β＝＋cos αcos(π－β)， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝. 当α＝，β＝时，α－β＝－＝，此时cos ＝， ∴α＝，β＝符合题意，同理，D也符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知cos＝，则cos α＋sin α的值为　 . 解析：因为cos＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝， 所以cos α＋sin α ＝2＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β ＝　　　. 解析：因为0＜α＜，0＜β＜，α＜β. 所以－＜α－β＜0. 又cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝－＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又因为0＜2α＜π，cos 2α＝， 所以sin 2α＝＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝×＋× ＝－， 又0＜α＋β＜π，故α＋β＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值. 解：因为x∈，sin x＝，所以cos x＝－. 于是2cos＋2cos x ＝2＋2cos x ＝2×＋2× ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值. 解：∵α，β均为锐角， ∴sin α＝，sin β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜， ∴－＜α－β＜0. 故α－β＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组] 11.若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　) A.－ B. C. D.－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：∵sin(π＋θ)＝－，且θ是第二象限角，∴sin θ＝， cos θ＝－＝－. 又∵sin＝－. 且φ是第三象限角， ∴cos φ＝－，sin φ＝－. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A.cos(β－α)＝ B.cos(β－α)＝－ C.β－α＝ D.β－α＝－ AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误；∵sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝，∴C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.设f(x)＝，则f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝　　　　. 解析：由f(x)＝， 得f(x)＋f(60°－x)＝＋ ＝ ＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°) ＝[f(1°)＋f(59°)]＋[f(2°)＋f(58°)]＋…＋[f(29°)＋f(31°)]＋f(30°) ＝＋＝29＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知函数f(x)＝－cos 2xcos ＋sin 2xsin . (1)求函数f(x)的最小正周期； 解：因为f(x)＝－cos 2xcos ＋sin 2xsin ， 所以f(x)＝cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝cos， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若＜α＜β＜，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小. 解：因为f(α)＝，且f(β)＝， 所以cos＝， cos＝.又＜α＜β＜， 所以2α－，2β－∈， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以sin＝＝， sin＝＝， 所以cos(2β－2α)＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又＜α＜β＜， 所以0＜2β－2α＜， 所以2β－2α＝. $$