5.1.2 数列中的递推-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.1　数列基础 5.1.2　数列中的递推 第五章　数列 [学习目标]　1.了解用递推公式表示数列,会由递推公式写出数列的前n项.　2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.　3.会利用数列的前n项和求出数列的通项公式. 知识点1　数列的递推关系 内容索引 知识点2　由递推关系求通项公式 课时作业 巩固提升 知识点3　数列的前n项和 课堂达标·素养提升 3 知识点1　数列的递推关系 如果已知数列的 ,且数列的 或_________的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 首项(或前几项) 相邻两项 两项以上 角度1　由数列的若干项归纳出递推公式 [例1]　分别写出下列数列{an}的一个递推关系,并求出各个数列的第7项. (1)4,5,7,10,14,…; (2)7,9,11,13,15,…; (3)2,6,18,54,162,…. [解]　(1)an+1=an+n. 由于a5=14,∴a6=a5+5=14+5=19,a7=a6+6=19+6=25. (2)an+1=an+2. 由于a5=15,∴a6=a5+2=15+2=17,a7=a6+2=17+2=19. (3)an+1=3an, 由于a5=162, ∴a6=3a5=3×162=486,a7=3a6=3×486=1 458. 由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系,可以从后一项与前一项的差或和,后一项是前一项的倍数等角度去考虑,然后用剩余的项去验证猜想即可;由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式,依次求出各项即可. 思维提升 1.数列1,,,,…的递推公式可以是(　　) A.an=　　　　　　　　 B.an= C.an+1=an D.an+1=2an 解析:由题意可知C项符合. 跟踪训练 C 角度2　由递推公式求数列的前若干项 [例2]　(1)已知数列{an}满足关系anan+1=1-an+1(n∈N+)且a2 023=2,则a2 024=(　　) A.- B. C.- D. B (2)已知数列{an}满足a1=1,an+2-an=6,则a11的值为(　　) A.31 B.32 C.61 D.62 A [解析]　(1)由anan+1=1-an+1,得an+1=, 又∵a2 023=2, ∴a2 024=. (2)∵数列{an}满足a1=1,an+2-an=6, ∴a3=6+1=7,a5=6+7=13,a7=6+13=19,a9=6+19=25,a11=6+25=31. 由递推公式写出数列的项的方法 1.根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可. 2.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1. 3.若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=. 思维提升 2.(多选)已知在数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则下列说法正确的有(　　) A.a2=- B.a2=2 C.a2 025=- D.a2 025=2 跟踪训练 AD 解析:法一:由已知,可得a1=2,a2=-,a3=2,a4=-,∴{an}是周期为2的数列,则a2 025=a1 012×2+1=a1=2. 法二:a2=-=-, ∵an=-(n≥2), ∴an+2=-=an, ∴{an}是周期为2的数列,则a2 025=a1 012×2+1=a1=2. 知识点2　由递推关系求通项公式 [例3]　在数列{an}中,a1=1,an+1=an+-,则an等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. B [解析]　法一(归纳法):数列的前5项分别为: a1=1,a2=1+1-=2-=, a3=+-=2-=, a4=+-=2-=, a5=+-=2-=, 又a1=1, 由此可得数列的一个通项公式为an=(n∈N+). 法二(迭代法):a2=a1+1-,a3=a2+-,…, an=an-1+-(n≥2), 则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2). 又a1=1也适合上式,所以an=(n∈N+). 法三(累加法):an+1-an=-, a1=1, a2-a1=1-, a3-a2=-, a4-a3=-, … an-an-1=-(n≥2), 以上各项相加得 an=1+1-+-+…+-, 所以an=(n≥2). 因为a1=1也适合上式,所以an=(n∈N+). 由递推关系求通项公式的常用方法 1.归纳法:根据数列的某项和递推关系,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) 2.迭代法、累加法或累乘法,递推关系对应的有以下几类: (1)an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法; (2)an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法; (3)an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第(2)类解决. 思维提升 3.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N+),则它 的通项公式an=　　　　.  跟踪训练 解析:法一(累乘法): 把(n+1)-n+an+1an=0分解因式, 得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0. ∵an>0,∴an+1+an>0, ∴(n+1)an+1-nan=0,∴=, ∴···…·=×××…×=(n≥2), ∴=. 又∵a1=1,∴an=a1=. 又a1=1也适合上式, ∴an=(n∈N+). 法二(迭代法): 同法一,得=, ∴an+1=an, ∴an=·an-1=··an-2=···an-3=…=···…·a1=a1. 又∵a1=1,∴an=(n∈N+). 法三(构造特殊数列法): 同法一,得=, ∴(n+1)an+1=nan, ∴数列{nan}是常数列, ∴nan=1·a1=1,∴an=(n∈N+). 知识点3　数列的前n项和 1.一般地,给定数列{an},称Sn= 为数列{an}的前n项和. 2.一般地,如果数列{an}的前n项和为Sn,那么当n≥2,有Sn-1 = ,Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,所以Sn= ,因此an= a1+a2+a3+…+an a1+a2+a3+…+an-1 Sn-1+an [例4]　已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. [解]　(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.(*) 当n=1时,a1满足(*)式,故an=4n-5(n∈N+). (2)当n=1时,a1=S1=3-2=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(-2)=2·.(*) 当n=1时,a1不满足(*)式, 故an= 由Sn求通项公式an的步骤 1.当n=1时,a1=S1. 2.当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. 3.如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;否则数列{an}的通项公式要分段表示为an= 思维提升 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4n2-10n,则a2a6=(　　) A.52　　　　　　　　 B.68 C.96 D.108 跟踪训练 B 解析:由题意,数列{an}满足Sn=4n2-10n, 可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14, 所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68. 〈课堂达标·素养提升〉 1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是(　　) A.=an+n B.an=an-1+n C.an+1=an+n+1 D.an=an-1+n-1,n≥2 C 解析:由已知,得a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,an+1-an=n+1.故an+1=an+n+1. 2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=+(n≥3)给出,则该数列的第5项等于(　　) A.6　　　　　　　　　　 B.7 C.8 D.9 C 解析:因为an=+(n≥3)且a1=1,a2=2,所以a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 3.已知数列{an}的首项a1=1,an+1=(n=1,2,3,…),则a4=　　　　;猜想 其通项公式an=　　　　.  解析:∵数列{an}的首项a1=1,an+1=(n=1,2,3,…), ∴a2==,同理可得a3=,a4=. 猜想其通项公式是an=. 4.已知数列an的前n项和为Sn=2n-1,则an=　　　　.  解析:由Sn=2n-1得,当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, 令n=1,则a1=20=1=S1,∴an=2n-1. 2n-1 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.已知数列{an}满足:a1=-,an=1-(n>1),则a4等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由题知a2=1-=5,a3=1-=,a4=1-=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.在数列{an}中,a1=2,=an+ln,则an=(　　) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:-an=ln=ln,∴an-=ln(n≥2),-an-2 =ln,…,a3-a2=ln ,a2-a1=ln 2.累加后得an=ln+ln+…+ln+ln 2+a1=ln+2=ln n+2(n≥2).当n=1时,a1=2符合上式,∴an=2+ln n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n(n∈N+),则a2+a18等于(　　) A.33 B.34 C.35 D.36 解析:a2=S2-S1=(22-4)-(1-2)=1,a18=S18-S17=(182-36)-(172-34) =33,∴a2+a18=1+33=34. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 4.已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+1(n≥2),则a5=　　　　.  解析:因为a1=1,an=2an-1+1(n≥2),所以a2=3,a3=7,a4=15,所以a5=2a4+1=31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 5.设Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn=-2+2an,则an=　　　　.  解析:当n=1时,由a1=S1=-2+2a1,得a1=2; 当n≥2时,由Sn=-2+2an,得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,得an=2an-1,由累乘法可得an=2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2n 6.已知数列{an}的第1项是2,以后的各项由公式an=(n=2,3,4,…)给出,写出这个数列的前5项,并归纳出数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:可依次代入项数进行求值. a1=2,a2==-2,a3==-,a4==-,a5==-. 即数列{an}的前5项为2,-2,-,-,-. 也可写为,,,,. 即分子都是-2,分母依次加2,且都是奇数,所以an=-(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}的通项公式. (1)Sn=2n-1(n∈N+); (2)Sn=2n2+n+3(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)∵Sn=2n-1(n∈N+), ∴当n=1时,a1=S1=2-1=1;当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1. 经检验,当n=1时,符合上式,∴an=2n-1(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)∵Sn=2n2+n+3(n∈N+), ∴当n=1时,a1=S1=2×12+1+3=6; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1. 经检验,当n=1时,不符合上式, ∴an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.已知数列{an}对任意的p,q∈N+满足=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于(　　) A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由已知得a2=a1+a1=2a1=-6, ∴a1=-3. ∴a10=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2) =4a2+2a1=4×(-6)+2×(-3)=-30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)已知数列{an}满足an>0,=(n∈N+),数列{an}的前n项和为Sn,则(　　) A.a1=1 B.a1a2=1 C.S2 023a2 024=2 023 D.S2 023a2 024>2 023 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 解析:由=可知= =an+,即an=-, 当n=1时,a1=,即得到a1a2=1,故选项B正确;a1无法计算,故选项A错误; Sn=a1+a2+…+an=++…+=-=,所以Snan+1=n,则S2 023a2 024=2 023,故选项C正确,选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知数列{an}满足a1=,an+1=an,则an=　　　　.  解析:由条件知=,分别令n=1,2,3,…,n-1,代入上式得n-1个等式,即···…·=×××…×⇒=.又∵a1=,∴an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在一个数列中,如果对任意n∈N+,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=　　　　.  解析:依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 12.已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a4=4,求m所有可能的取值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,若a2为奇数,则3a2+1=1,a2=0(舍去),若a2为偶数,则=1,a2=2. 若a1为奇数,则3a1+1=2,a1=(舍去), 若a1为偶数,则=2,a1=4; 若a3为偶数,则=4,a3=8, 若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去), 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若a2为偶数,则=8,a2=16. 若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5, 若a1为偶数,则=16,a1=32. 故m所有可能的取值为4,5,32. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.设数列{an}中,若an+1=an+an+2(n∈N+),则称数列{an}为“凸数列”. (1)设数列{an}为“凸数列”,若a1=1,a2=-2,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和; (2)在“凸数列”中,求证:an+6=an(n∈N+). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)解:∵an+1=an+an+2(n∈N+),且a1=1,a2=-2, ∴a3=-3,a4=-1,a5=2,a6=3,S6=0. (2)证明:由题意知, ∴an+1+an+2=an+an+2+an+1+an+3,即an+an+3=0, ∴an+3=-an, ∴an+6=-an+3=an(n∈N+). 13 $$