第5章 阶段练1(范围：5.1)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练1(范围:5.1) 第五章　数列 1.n∈N+,数列1,-3,7,-15,31,…的一个通项公式为(　　) A.an=(2n-1)cos nπ　　　　 B.an=(1-2n)sin C.an=2n-1 D.an=(-1)n(1-2n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:对于选项A:因为a1=(2-1)cos π=-1≠1,故A错误;对于选项B:因为a2=(1-22)sin π=0≠-3,故B错误;对于选项C:因为a2=22-1=3≠-3,故C错误;对于选项D:检验可知对n=1,2,3,4,5均成立,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 已知数列的通项公式为an=kn2-n-2,若为递增数列,则k的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.(0,+∞) C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:an=kn2-n-2,若为递增数列,则an+1>an(n∈N+),有k(n+1)2-(n+1)-2>kn2-n-2(n∈N+),解得k>(n∈N+),则k>,当n=1时=,所以k>,则k的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知数列的前n项和为Sn=3n+3,则a5=(　　) A.162 B.81 C.243 D.486 解析:数列的前n项和为Sn=3n+3,所以a5=S5-S4=35-34=162. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 4.已知数列满足an+1=2an,a2=4,则数列的前4项和等于(　　) A.16 B.24 C.30 D.62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由已知可得, 当n=1时,a1+1=a2=2a1⇒a1=2; 当n=2时,a2+1=a3=2a2⇒a3=8; 当n=3时,a3+1=a4=2a3⇒a4=16, 所以数列的前4项和等于2+4+8+16=30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知数列满足a1+++…+=3n,则an=(　　) A.3n B.3n-1 C.3n-1 D.3n-1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:由a1+++…+=3n ① 知, 当n=1时,a1=3; 当n≥2时,a1+++…+=3(n-1) ②, 由①-② :=3,即得an=3n, 当n=1时,符合题意,故an=3n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)下列数列的通项公式中,是递增数列的是(　　) A.an=-3n-1 B.an=5n-3 C.an=7+2n D.an=(-1)nn2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 解析:对于A,∵an+1-an=-3(n+1)-1+3n+1=-3<0,∴数列为递减数列,A错误; 对于B,∵an+1-an=5(n+1)-3-5n+3=5>0,∴数列为递增数列,B正确; 对于C,∵an+1-an=7+2n+1-7-2n=2n>0,∴数列为递增数列,C正确; 对于D,an+1-an=(-1)n+1(n+1)2-(-1)nn2=(-1)n+1(2n2+2n+1),∵2n2+2n+1=2+>0,∴当n为偶数时,an+1-an<0,∴数列不是递增数列,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(多选)已知数列的前n项和Sn=,则下列说法正确的是( 　　) A.数列的首项为a1= B.数列的通项公式为an= C.数列为递减数列 D.数列为递增数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 解析:对于A,因为Sn=,所以当n=1时,a1=S1=,故A正确;对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,当n=1时,也满足上式,故数列的通项公式为an=,故B正确;对于C,D,an+1-an=-=-<0,所以数列为递减数列,故C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知数列{an}为0,2,-6,12,-20,30,…,则该数列的通项可以表示为 　 　　　　　.  解析:因为0=(-1)1×(12-1),2=(-1)2×(22-2),-6=(-1)3×(32-3), 12=(-1)4×(42-4),-20=(-1)5×(52-5),30=(-1)6×(62-6),…, 所以该数列的通项可以表示为an=(-1)n×(n2-n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 an=(-1)n×(n2-n)(答案不唯一) 9.已知数列的前n项和Sn=2×3n-2,则数列的通项公式为　　　　　　.  解析:当n=1时,a1=S1=4, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2×3n-2-2×3n-1+2=4×3n-1, 验证当n=1时,a1=4也符合,所以an=4×3n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 an=4×3n-1 10.已知在正项数列中,++…+=,则数列的通项公式为　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 an=n2 解析:根据题意由++…+=可得++…+=,n≥2,两式相减可得=-=n,所以=n,n≥2,即可得an=n2,n≥2.易知当n=1时,==1符合上式,所以数列的通项公式为an=n2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知数列是递减数列,且an=-tn-1(t≠0),则实数t的取值范围为 　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:∵数列是递减数列, ∴an<an-1(n≥2),即-tn-1<-tn-2, 化简得tn-2(t-1)>. 当t<0时,t-1<0,tn-2的值有正有负, ∴tn-2(t-1)>不恒成立; 当0<t≤1时,t-1≤0,tn-2>0, ∴tn-2(t-1)>不成立; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当t>1时,t-1>0,tn-2>0, 由题意得,>. 注意到函数f(n)=tn-2(t-1)在[2,+∞)上单调递增, 故当n=2时,tn-2(t-1)取得最小值, 即有t-1>,解得t>, ∴实数t的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知数列的通项公式为an=-n2+4n+c,c为常数,a3=24. (1)求c的值; (2)若am≤0,求m的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为an=-n2+4n+c,a3=24, 所以-9+12+c=24, 解得c=21. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)知am=-m2+4m+21, 令-m2+4m+21≤0, 即m2-4m-21≥0, 所以(m+3)(m-7)≥0, 解得m≤-3或m≥7. 又m∈N+,所以m≥7, 即m的最小值为7. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.如图,下列图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1,后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍,记图形1的面积为a1,后续图形的面积依次为a2,a3,…,an,…;解答下列问题. (1)利用观察法写出a1,a2,a3,a4以及an; (2)从第几个图形开始,图形面积大于127. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)根据题意,图形1的面积:a1=1+1×2=3, 图形2的面积:a2=1+1×2+1×2×2=7, 图形3的面积:a3=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2=15, 图形4的面积:a4=1+1×2+1×2×2+1×2×2×2+1×2×2×2×2=31, 图形n的面积:an=2n+1-1. (2)由an>127,得2n+1>128=27,所以n+1>7,故n>6, 又因为n∈N+,所以n≥7, 所以从第7个图形开始图形面积大于127. 13 $$