5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第2课时　等比数列的性质 第五章　数列 [学习目标]　1.了解等比数列的通项公式与函数的关系.　2.由等比数列的通项公式推导等比数列的性质,并会应用性质简化运算.　3.理解等比中项的概念,并会应用. 知识点1　等比中项 内容索引 知识点2　等比数列的性质 课时作业 巩固提升 知识点3　灵活设项求解等比数列 课堂达标·素养提升 知识点4　等比数列的应用 3 知识点1　等比中项 如果x,G,y是等比数列,那么称G为x与y的 .即G2= . 等比中项 xy [例1]　(1)在等比数列{an}中,a1=-16,a4=8,则a7等于(　　) A.-4　　　　　　　　　 B.±4 C.-2 D.±2 (2)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 A B [解析]　(1)因为a4是a1与a7的等比中项, 所以=a1a7,即64=-16a7,故a7=-4. (2)因为b2=(-1)×(-9)=9,a2=-1×b=-b>0,所以b<0,所以b=-3,且a,c必同号.所以ac=b2=9. 1.由等比中项的定义可知=⇒G2=xy⇒G=±,所以只有当x,y同号时,x,y的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. 2.在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 思维提升 1.(1)在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 (2)在等比数列{an}中,a1=1,公比为2,则a2与a8的等比中项为　　　　.  跟踪训练 C ±16 解析:(1)∵{an}是等比数列, ∴a2·a6==16. (2)∵数列{an}是等比数列, 而且a1=1,q=2, ∴a2=a1q=2,a8=a1q7=27=128, 设a2与a8的等比中项为M, 则M=± =± =±16. 知识点2　等比数列的性质 1.“子数列”性质 对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk. 2.等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中,若s+t=p+q(s,t,p,q∈N+),则asat= . (1)特别地,当p+q=2s(p,q,s∈N+)时,apaq=. (2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an=a2an-1=…=akan-k+1=…. apaq 3.两个等比数列合成数列的性质 若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{can},{anbn},也为等比数列. [例2]　已知{an}为等比数列. (1)若a2a4=,求a1a5; (2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. [解]　(1)在等比数列{an}中, ∵a2a4=, ∴=a1a5=a2a4=, ∴a1a5=. (2)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] =log395 =10. 利用等比数列的性质解题 1.基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 2.优缺点:简便快捷,但是适用面窄,需要一定的思维能力. 思维提升 2.已知数列{an}为等比数列.若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值. 解:∵a2a4+2a3a5+a4a6=36,∴+2a3a5+=36, ∴(a3+a5)2=36,又∵an>0,∴a3+a5=6. 3.在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求中间三个数的积. 解:设a1=2,a5=8,∴a3==4, ∴a2a3a4=a3==43=64. 跟踪训练 知识点3　灵活设项求解等比数列 [例3]　有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. [解]　法一:设四个数依次为a-d,a,a+d,, 由条件得 解得或 所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16; 当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 法二:设四个数依次为-a,,a,aq(a≠0), 由条件得解得或 当a=8,q=2时,所求四个数为0,4,8,16; 当a=3,q=时,所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 合理地设出所求数中的三个,根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键,掌握等比数列的设项技巧: 1.奇数个数成等比数列设为…,,,a,aq,aq2,…. 2.偶数个符号相同的数成等比数列设为…,,,,aq,aq3,aq5,…. 3.四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为a,aq,aq2,aq3. 思维提升 4.三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数. 解:设三个数依次为,a,aq,∵·a·aq=512,∴a=8. ∵+(aq-2)=2a,∴2q2-5q+2=0, ∴q=2或q=,∴这三个数为4,8,16或16,8,4. 跟踪训练 知识点4　等比数列的应用 [例4]　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱(保留两位有效数字)? [解]　(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5×(1-10%), a3=13.5×(1-10%)2,…,an=13.5×(1-10%)n-1. 由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列, 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n(万元)(n∈N+). (2)由(1)得a5=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. 等比数列实际应用的求解策略 1.一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解. 2.建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要. 思维提升 5.某工厂2024年1月的生产总值为a万元,计划从2024年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2025年8月底该厂的生产总值为 　 　　　万元.  跟踪训练 a(1+m%)19 解析:设从2024年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,∴=1+m%, ∴数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列, ∴an=a(1+m%)n-1.∴2025年8月底该厂的生产总值为a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19(万元). 〈课堂达标·素养提升〉 1.等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项为(　　) A.±4　　　　　　　　　 B.4 C.± D. 解析:a4=a1q3=×23=1,a8=a1q7=×27=16, ∴a4与a8的等比中项为±=±4. A 2.已知{an},{bn}都是等比数列,那么(　　) A.{an+bn},{anbn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列,但{anbn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列,但{anbn}一定是等比数列 D.{an+bn},{anbn}都不一定是等比数列 C 解析:当两个数列都是等比数列时,这两个数列的和不一定是等比数列,比如取两个数列是互为相反数的数列,两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 3.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则a4+a8=　　　　.  7 解析:∵a6a10=,a3a5=, ∴+=41. 又a4a8=4, ∴(a4+a8)2=++2a4a8=41+8=49. ∵数列{an}各项都是正数, ∴a4+a8=7. 4.在递增等比数列{an}中,a1a9=64,a3+a7=20,则a11=　　　　.  64 解析:在等比数列{an}中,∵a1a9=a3a7, ∴由已知可得a3a7=64且a3+a7=20. 联立得或 ∵{an}是递增等比数列,∴a7>a3, ∴取a3=4,a7=16, ∴16=4q4,∴q4=4, ∴a11=a7·q4=16×4=64. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D.π 解析:由题意可知a2a6==a3a5,∴a3a5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 2.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是(　　) A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列 C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由于=×=q·q=q2,n≥2且n∈N+, ∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等比数列,上面3节的容积之积为3,下面3节的容积之积为9,则第5节的容积为(　　) A.2 B. C.3 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:法一:依题意可设,竹子自上而下各节的容积成等比数列{an},设其公比为q(q≠0),由上面3节的容积之积为3,下面3节的容积之积为9, 可知解得a1q=,q3=,所以第5节的容积为a1q4=a1q·q3=·=. 法二:依题意可设,竹子自上而下各节的容积成等比数列{an},由上面3节的容积之积为3,下面3节的容积之积为9,可知a1a2a3=3,a7a8a9=9,由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)==27.所以a5=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7等于　　　　.  解析:∵a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,∴a3a8=213. ∵a3=16=24,∴a8=29=512.又∵a8=a3q5,∴q=2,∴a7===256. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 256 5.已知数列{an}是等比数列,且a3a5a7a9a11=243,则a7=　　　　;若公比q=,则a4=　　　　.  解析:{an}是等比数列,故a3a5a7a9a11==243, 故a7=3,a4==81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 81 6.已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an. 解:法一:因为a1a3=,a1a2a3==8,所以a2=2. 从而解得或 当a1=1时,q=2;当a1=4时,q=. 故an=2n-1或an=23-n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 法二:由等比数列的定义,知a2=a1q,a3=a1q2. 代入已知,得 即即 将a1=代入①,得2q2-5q+2=0,所以q=2或q=. 由②得或 故an=2n-1或an=23-n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数. 解:法一:依题意知,a1=4,a5=, 由等比数列的通项公式,得=4×q4,解得q=±. 当q=时,插入的3个数分别为4×=2,2×=1,1×=; 当q=-时,插入的3个数分别为4×=-2,(-2)×=1,1×=-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 法二:因为等比数列共有5项, 即a1,a2,a3,a4,a5, 又因为2×3=1+5, 所以=a1a5=4×=1, 即a3=±1. 又因为a3要与a1,a5同号,因此a3=1. 类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因此当a2= ==2时, a4= = =; 当a2=-=-=-2时, a4=-=- =-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.(多选)在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,则=(　　) A. B.1 C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:因为a7a11=a4a14=6,又a4+a14=5, 所以或所以=q10=, 所以=或=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.在等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=(　　) A.1+ B.1- C.3+2 D.3-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:设等比数列{an}的公比为q, ∵a1,a3,2a2成等差数列, ∴a3=a1+2a2, ∴a1q2=a1+2a1q, ∴q2-2q-1=0, ∴q=1±. ∵an>0, ∴q>0,q=1+, ∴=q2=(1+)2=3+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且满足+=+,+=+,则a1a5=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 解析:设正项等比数列的公比为q,q>0, 由+=+, 得=, ∵a1+a2≠0, ∴a1a2=4, 同理,由+=+,得a3a4=16, 则q4==4,q=,a1a2==4, ∴=2.∴a1a5=q4=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,将这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,4进行“扩展”,第一次“扩展”,得到数列1,4,4;第二次“扩展”,得到数列1,4,4,16,4;…;第n次“扩展”,得到数列1,x1,x2,…,xt,4,并记an=log2(1·x1·x2·…·xt·4),其中t=2n-1,n∈N+.则数列{an}的通项公式an=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3n+1 解析:an=log2(1·x1·x2·…·xt·4),可得an+1=log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·4)·4]=log2=3an-2,所以an+1-1=3(an-1),则数列{an-1}是首项为a1-1=log242-1=3,公比为3的等比数列,故an-1=3n,所以an=3n+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在等比数列{an}(n∈N+)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{bn}的前n项和Sn及数列{an}的通项an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:因为bn=log2an, 所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q(q>0)为常数, 所以数列{bn}为等差数列且公差d=log2q. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:因为b1+b3+b5=6, 所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6, 即b3=2. 又因为a1>1, 所以b1=log2a1>0. 又因为b1b3b5=0, 所以b5=0, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即 即 解得 因此Sn=4n+·(-1)=. 又因为d=log2q=-1, 所以q=,b1=log2a1=4,即a1=16,所以an=25-n(n∈N+). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若对任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设{an}的公差为d,则d==4, 所以an=2+(n-1)×4=4n-2, 故{an}的通项公式为an=4n-2(n∈N+). 设cn=an-bn,则{cn}为等比数列. c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8, 设{cn}的公比为q,则q3==8,故q=2, 则cn=2n-1, 即an-bn=2n-1, 所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+). 故{bn}的通项公式为bn=4n-2-2n-1(n∈N+). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由题意得,bk应为数列{bn}的最大项. 由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+). 当n<3时,bn+1-bn>0,bn<bn+1,即b1<b2<b3; 当n=3时,bn+1-bn=0,即b3=b4; 当n>3时,bn+1-bn<0,bn>bn+1,即b4>b5>b6, 所以k=3或k=4. 13 $$