精品解析：四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

泸县五中2025年春期九年级第一次定时练习 数 学 试 题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 2. 太平洋最深处马里亚纳海沟的深度是海平面以下米，记为米，用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，两块平面镜平行放置，一束光线经过平面镜反射时，入射角等于反射角即、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成续的方差关系是（　　） A. B. C. D. 7. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为（ ） A 24 B. 40 C. 48 D. 80 8. 如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，将该矩形沿折痕折叠，使点与点重合，则的面积为（ ） A B. C. D. 11. 如图是边长为的菱形，，一动点以的速度从出发，沿着菱形的边依次经过后回到点，停止运动．连结，若以为圆心，为半径作，当与相切时，需要时间（ ） A. 或秒 B. 或秒 C. 或秒 D. 或秒 12. 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）． 13. 27的立方根为_____． 14. 分解因式∶________． 15. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________． 16. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 17. 计算： 18. 如图，已知，试找出对应边，对应角． 19. 先化简，再求值：，其中． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 某中学将在九年级开展社会实践活动，为了解学生在本市参加社会实践活动的选择意向，在九年级的每个班中随机抽取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷 在下面四个纪念馆中，你最想去的是（ ）（单选） A.秋收起义文家市会师纪念馆 B．湖南红色档案馆 C．中国共产党长沙历史馆 D．湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数 A 16 B m C 24 D 20 参加社会实践活动意向问卷调查扇形统计图 根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计图表中________， ； （2）如果该校九年级学生共有人，估计九年级学生最想去“野玉海”有多少人？ （3）学校根据调查结果选出一个地点作为社会实践活动点．为方便管理，从甲、乙、丙、丁名学生中随机抽取名学生作为此次社会实践活动带队老师的助手，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、丁名学生的概率． 21. 某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： （1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ （2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？ 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； （3）求的面积． 23. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且． （1）求证：DE是的切线； （2）若点F是OA的中点，，，求EC的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点和点，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线． （1）①求抛物线的函数表达式； ②直接写出直线的函数表达式； （2）点E是直线上方抛物线上一点，连接交于点F，连接，，的面积记为，的面积记为，当 时，求点E的坐标； （3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴上方的部分沿x轴向下翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为，点C的对应点为，点G的对应点为，将曲线沿y轴向上平移n个单位长度，曲线与直线的公共点中，在第二象限内是否存在两个公共点P和Q，使得四边形是平行四边形．若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县五中2025年春期九年级第一次定时练习 数 学 试 题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上） 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的意义是解题的关键．根据倒数定义即可求解． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 2. 太平洋最深处马里亚纳海沟的深度是海平面以下米，记为米，用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：米米， 故选：A． 3. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图即可．理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 【详解】解：它的主视图是， 故选：A． 4. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：， 故选：． 5. 如图，两块平面镜平行放置，一束光线经过平面镜反射时，入射角等于反射角即、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解决此题的关键．由平行线的性质得出，由平角的性质得出，进而即可得解． 【详解】解：两块平面镜平行放置， ， ， ， ， 故选：． 6. 甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成续的方差关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的意义是代表一组数据波动的大小，波动越小方差越小，根据此判断即可； 【详解】解：由图可以看到：乙的成绩波动最小，所以方差最小；甲的波动最大，所以方差最大，进而得到， 故选项A，C，D错误，不符题意；选项B正确，符合题意； 故选：B． 7. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为（ ） A. 24 B. 40 C. 48 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积和勾股定理逆定理的应用，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，再根据直角三角形面积公式求出即可． 【详解】解：设此三角形为，且； ， ， ， 的面积是， 故选A． 8. 如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，将该矩形沿折痕折叠，使点与点重合，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用；根据折叠的性质可得，．．在中，根据勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，． 由翻折的性质可知，．． 在中，， 即， 解得． ∴ 故选：C． 11. 如图是边长为的菱形，，一动点以的速度从出发，沿着菱形的边依次经过后回到点，停止运动．连结，若以为圆心，为半径作，当与相切时，需要时间（ ） A. 或秒 B. 或秒 C. 或秒 D. 或秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分成两种情况讨论，当点在上，与相切时；当点在上，与相切时，结合所对的直角边为斜边的一半，构造一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设需要时间， 当点在上，与相切时，， ∴， 设切点为，连接，如图： ∵与相切， ∴，，即， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当点在上，与相切时，， ∴， 设切点为，连接，如图： ∵与相切， ∴，，即， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上可得，当与相切时，需要时间或秒， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，菱形的性质，直线与圆相切，所对的直角边为斜边的一半，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12. 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键．由题意得，二次函数图象开口向上，则有，且方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，解出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值，列出不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：当时，x的取值范围为或， 二次函数图象开口向上，且方程的解为，， ，是方程的两根， ， 解得：， 又， 当时，有最大值4，即， 解得：， a的范围是． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）． 13. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 14. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】设，则，从而可得、，由正方形性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 16. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 17 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】根据零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，二次根式的加减运算进行计算，即可得到答案． 【详解】解： = =0； 【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 18. 如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后将代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 某中学将在九年级开展社会实践活动，为了解学生在本市参加社会实践活动的选择意向，在九年级的每个班中随机抽取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷 在下面四个纪念馆中，你最想去的是（ ）（单选） A.秋收起义文家市会师纪念馆 B．湖南红色档案馆 C．中国共产党长沙历史馆 D．湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数 A 16 B m C 24 D 20 参加社会实践活动意向问卷调查扇形统计图 根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计图表中的________， ； （2）如果该校九年级学生共有人，估计九年级学生最想去“野玉海”的有多少人？ （3）学校根据调查结果选出一个地点作为社会实践活动点．为方便管理，从甲、乙、丙、丁名学生中随机抽取名学生作为此次社会实践活动带队老师的助手，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、丁名学生的概率． 【答案】（1）； （2）估计九年级学生最想去“野玉海”的有人 （3） 【解析】 【分析】（1）用想去A纪念馆的人数除以所占百分率即可求出被调查的总人数，进而乘以B纪念馆的百分率，即可求出m；用C的人数除以总人数即可得到n； （2）用样本估计总体即可求解，即可解题； （3）根据题意画出树状图得到所有等可能结果数和恰好选中甲、丁名学生的结果数，再用概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题可得调查总人数为（人）， 则（人）， ， 则， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：估计九年级学生最想去“野玉海”的有（人）， 答：估计九年级学生最想去“野玉海”的有人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、丁名学生的有种， 则恰好选中甲、丁名学生概率为． 【点睛】本题考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，概率公式，以及用画树状图法或列表法求概率，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． 21. 某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： （1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ （2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】（1）500元； （2）方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果． 【解析】 【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【小问1详解】 解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得： ， 解得：， ∴元， 答：这两种水果获得的总利润为500元； 【小问2详解】 解：设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据题意： ，解得：， ∵m，均为正整数， ∴m取88，94， ∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案， 方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于两点，O为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或  （3） 【解析】 【分析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得，进一步利用待定系数法求得与的解析式； （2）根据图象即可求解； （3）利用即可求得． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵和一次函数的图象相交于两点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 由图象可知，当时，自变量x的取值范围为或 ； 【小问3详解】 若与y轴相交于点C， ∴， ∴ ． 23. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）（30+30）米； （2）20米． 【解析】 【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB． 【小问1详解】 解：过点A作AE⊥l，垂足E， 设CE＝x米， ∵CD＝60米， ∴DE＝CE+CD＝（x+60）米， ∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x＝30+30， 经检验：x＝30+30是原方程的根， ∴AE＝（30+30）米， ∴河的宽度为（30+30）米； 【小问2详解】 过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°， 在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米， ∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米）， ∴古树A、B之间的距离为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且． （1）求证：DE是的切线； （2）若点F是OA的中点，，，求EC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证，即可由切线的判定定理得出结论； （2）解，求出，从而求得，则可求得，再证，得，即可求得，即可由求解． 【小问1详解】 证明：如图，连结OC， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴DE是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点F为AO中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点和点，与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线． （1）①求抛物线的函数表达式； ②直接写出直线的函数表达式； （2）点E是直线上方抛物线上一点，连接交于点F，连接，，的面积记为，的面积记为，当 时，求点E的坐标； （3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴上方的部分沿x轴向下翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为，点C的对应点为，点G的对应点为，将曲线沿y轴向上平移n个单位长度，曲线与直线的公共点中，在第二象限内是否存在两个公共点P和Q，使得四边形是平行四边形．若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 【答案】（1）①；②； （2）点E的坐标为或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解； ②利用待定系数解答，即可求解； （2）过点E作轴交AD于点G，过点B作轴交AD于点H，设点，则点， 可得，然后根据，即可求解； （3）先求出向下翻折部分的图像解析式为，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，分别求出直线BC和直线的解析式为，可得，再根据平行四边形的性质可得点，然后得到点P在翻折后抛物线剩下部分平移后的图像上，点Q在向下翻折部分平移后的图像上，然后代入表达式即可求解． 【小问1详解】 解：①把点和点代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； ②令，则， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为， ∴把点和点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点E作轴交AD于点G，过点B作轴交于点H， 当时，， ∴点，即， 设点，则点， ∴， ∵的面积记为，的面积记为，且， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或0， ∴点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：， ∴点G的坐标为， 当时，，即点， ∴点，， ∴向下翻折部分的图像解析式为， ∴向下翻折部分平移后的函数解析式为， 翻折后抛物线剩下部分的解析式为，或， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∴， 设点P的坐标为， ∵点，， ∴点向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点， ∵四边形是平行四边形， ∴点， ∴点P在翻折后抛物线剩下部分平移后的图像上，点Q在向下翻折部分平移后的图像上， 如图所示， ∴， 解得：或（舍去，不合题意）． ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$