4.1.3 独立性与条件概率的关系-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.3　独立性与条件概率的关系 第四章　概率与统计 [学习目标]　1.了解独立性与条件概率的关系.　2.会求相互独立事件同时发生的概率.　3.综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题. 知识点1　事件独立性的理解与判断 内容索引 知识点2　相互独立事件发生的概率 课时作业 巩固提升 知识点3　利用事件之间的关系求概率 课堂达标·素养提升 3 知识点1　事件独立性的理解与判断 当P(B)>0时,A,B独立的充要条件是P(A|B)=　　　　,且有P(A∩B)(或P(AB))=　　　 　.  P(A) P(A)P(B) 判断下列各对事件是不是相互独立事件. (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”; (3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”. 例1 [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件. (3)法一:记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6}, ∴P(A)==,P(B)==,P(A∩B)=. ∴P(A∩B)=P(A)·P(B), ∴事件A与B相互独立. 法二:由法一可知P(B|A)=, 又P(B)==,∴P(B|A)=P(B), ∴事件A与B相互独立. 判断事件是否相互独立的方法 1.定义法:事件A,B相互独立⇔P(A∩B)=P(A)·P(B). 2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. 3.条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 思维提升 1.(多选)下列事件中,A,B是相互独立事件的是(　　) A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面朝上”,B=“第二次为反面朝上” B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为3或4” D.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数” 跟踪训练 AC 把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后次序的影响,故A中A,B事件是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;C中A事件为出现1,3,5点,P(A)=,在事件B发生的条件下事件A发生的概率P(A|B)==P(A),事件A,B相互独立;D中两事件是互斥事件,不是相互独立事件. 知识点2　相互独立事件发生的概率 面对某种流感病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求: (1)他们都研制出疫苗的概率; (2)他们都失败的概率; (3)他们能研制出疫苗的概率. 例2 [解]　令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=. (1)他们都研制出疫苗,即事件A,B,C同时发生,故 P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)=××=. (2)他们都失败即事件,,同时发生, 故P(∩∩)=P()P()P() =(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))==××=. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 P=1-P(∩∩)=1-=. 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的; (2)确定这些事件可以同时发生; (3)求出每个事件的概率,再求积. 2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生. 思维提升 2.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为,且各人是否当选互不影响. (1)求三人中恰有一名同学当选的概率; (2)求三人中至多有两人当选的概率. 跟踪训练 解:设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C, 则有P(A)=,P(B)=,P(C)=. (1)因为事件A,B,C相互独立, 所以恰有一名同学当选的概率为 P(A)+P(B)+P( C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()·P(C) =××+××+××=. (2)因为事件A,B,C相互独立,所以至多有两人当选的概率为 1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C) =1-××=. 知识点3　利用事件之间的关系求概率 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率. [分析]　由题目可获取以下主要信息:3个开关并联;每个开关闭合的概率是0.7,且闭合与否相互独立.解答本题可先作出一个线路图,再分情况讨论. 例3 [解]　如图所示,记这段时间内开关KA,KB,KC能够闭合为事件A,B,C. 由题意知,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 P( )=P()P()P() =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027. 于是这段时间内至少有1个开关能够闭合,从而使线路 能够正常工作的概率是 1-P( )=1-0.027=0.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是0.973. 解决此类问题要明确有关事件是互斥事件还是相互独立事件,以便准确运用概率公式求解.对于较复杂的事件求概率时,可借助于对立事件求解. 思维提升 3.张老师乘火车从济南到北京去开会,若当天从济南到北京的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.8,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 跟踪训练 解:用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.8,P(C)=0.9, 所以P()=0.2,P()=0.2,P()=0.1. (1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为 P1=P(BC)+P(AC)+P(AB) =P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P() =0.2×0.8×0.9+0.8×0.2×0.9+0.8×0.8×0.1 =0.352. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2=1-P( )=1-P()P()P() =1-0.2×0.2×0.1=0.996. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知P(A|B)=0.6,P(B|A)=0.3且A,B相互独立,则P(AB)等于(　　) A.0.18　　　　　　　　 B.0.9 C.0.3 D.无法求解 P(A|B)=0.6,P(B|A)=0.3且A,B相互独立,∴P(A)=0.6,P(B)=0.3, ∴P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18. A 2.抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是(　　) A.互斥事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.不相互独立事件 由已知,有P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立. C 3.已知A与B相互独立,且P(AB)=,P(B)=,则P(|B)=　　　　.   ∵A与B相互独立,∴P(AB)=P(A)P(B)=. 又P(B)=,∴P(A)=,∴P(|B)=P()=1-P(A)=1-=. 4.明天上午小明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是　　　　.  设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A, 则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.20×0.10=0.98. 0.98 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若0<P(A)<1,且P(B|A)=P(B).若P()=0.6,P(B|)=0.2,则P(AB)等于(　　) A.0.12　　　　　　　　 B.0.8 C.0.32 D.0.08 由P(B|A)=P(B)可知事件A,B相互独立,∴P(B|)=P(B)=0.2. 又P()=0.6,∴P(A)=0.4,∴P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.2=0.08. D 2.某社区为了更好地开展便民服务,对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计,结果如表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立,且都是整数分钟. 则在某一天,第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为(　　) A.0.04 B.0.08 C.0.17 D.0.26 办理业务所需要的时间(分) 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 C 因为第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务,若前两位居民办理业务分别用两分钟,则对应概率为0.3×0.3=0.09;若前两位居民办理业务的时间分别为1分钟和3分钟,则对应的概率为0.1×0.4+0.4×0.1=0.08;因此,第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为0.09+0.08=0.17. 3.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则表示(　　) A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率 C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率 C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据互斥事件可知C正确. 4.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=　　　　; P( )=　　　　.  ∵P(A)=,P(B)=,∴P()=,P()=. ∵A,B相互独立,∴P(A)=P(A)P()=×=,P( )=P()P()=×=. 5.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成A型螺栓的概率 为　　　　.  “从200个螺杆中任取一个是A型”记为事件B,“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C,则P(B)=,P(C)=.∴P(B∩C)=P(B)·P(C)=·=. 6.甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中试跳成功的概率分别为0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求: (1)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率. 解:记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳成功”为事件Bi, 依题意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai,Bi(i=1,2,3)相互独立. (1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件∩∩A3,且这三次试跳相互独立. ∴P(∩∩A3)=P()P()P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063. (2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C. P(C)=1-P()P()=1-0.3×0.4=0.88. 7.在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,,,,且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 解:设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”, 则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=. (1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”, 则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××=. (2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则P(C)=P(+A1+A1A2) =P()+P(A1)+P(A1A2) =1-+×+××=. [B组　关键能力练] 8.(多选)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是(　　) A.P(B)= B.P(B|A1)= C.事件B与事件A1相互独立 D.A1,A2,A3是两两互斥的事件 BD 由题意知,A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,故B,D正确. 而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=≠P(B|A1),所以事件B与事件A1不是相互独立的,故A,C不正确. 9.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中,满足xy=4的概率为(　　) A. B. C. D. C 满足xy=4的所有可能为 x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1. ∴所求事件的概率为 P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=×+×+×=. 10.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(|)=　　　　, P(A)=　　　　.  ∵A,B是相互独立事件,∴与也是相互独立事件, ∴P(|)=P()=1-P(A)=1-=. P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=×=. 11.A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为,则一个试验组为甲类组的概率为　　　　.  设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有P(A1)=2××=,P(A2)=×=,P(B0)=×=,P(B1)=2××=. 所以一个试验组为甲类组的概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=. 12.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求: (1)红队中有且只有一名队员获胜的概率; (2)求红队至少两名队员获胜的概率. 解:设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F, 则,,分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件. 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5. (1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ∩∩,∩E∩ ,∩∩F,以上3个事件彼此互斥且独立. ∴红队有且只有一名队员获胜的概率 P1=P((D ∩ ∩)∪(∩E ∩)∪(∩∩F))=P(D∩ ∩)+P(∩E∩)+P(∩∩F)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35. (2)法一:红队至少两名队员获胜的事件有:D∩E ∩,D∩∩F,∩E∩F,D∩E∩F. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两名队员获胜的概率为 P2=P(D∩E∩ )+P(D∩ ∩F)+P(∩E∩F)+P(D∩E∩F) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. 法二:“红队至少两名队员获胜”与“红队最多一名队员获胜”为对立事件,而红队都不获胜为事件∩∩,且P(∩∩)=0.4×0.5×0.5=0.1. ∴红队至少两名队员获胜的概率为 P2=1-P1-P(∩ ∩)=1-0.35-0.1=0.55. [C组　素养培优练] 13.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2. (1)假定有5门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率; (2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需至少布置几门高炮?(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 解:(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k=1,2,3,4,5),那么5门高炮都未击中敌机的事件为····. ∵事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立, ∴敌机未被击中的概率为 P(····)=P()·P()·P()·P()·P()=(1-0.2)5=. ∴敌机未被击中的概率为. (2)设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机,由(1)可得 敌机被击中的概率为1-, ∴1->0.9,即<, 两边取常用对数,得n>≈10.3. ∵n∈N+,∴n=11, ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机. [分析]　明确已知事件的概率及其关系→ 把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值 $$