3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

3.1　排列与组合 3.1.3　组合与组合数 第2课时　组合数的性质及应用 第三章　排列、组合与二项式定理 [学习目标]　1.掌握组合数公式和组合数的性质.　2.能运用组合数的性质进行计算.　3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 知识点1　组合数的性质 内容索引 知识点2　有限制条件的组合问题 课时作业 巩固提升 知识点3　分组分配问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　组合数的性质 1.=　　　　;  2.+=　　　　.  　(1)计算+++…+的值为(　　) A.　　　　　　　　 B. C.-1 D.-1 (2)计算:+++=　　　　.  [分析]　对(1),添加项,然后利用性质=+求解;对(2),直接利用性质=+求解. 例1 C 210 (1)原式=++++…+- =++…+-1=… =+-1=-1. (2)+++=++=+===210. 求证:=+2+. [分析]　将2进行拆项,利用性质=+求解. [证明]　由组合数的性质=+可知, 右边=(+)+(+)=+==左边, 右边=左边,所以原式成立. 例2 1.性质“=”的意义及作用 2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由中的m∈N+,n∈N+,且n≥m确定m,n的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意. 思维提升 1.求值: (1)+; (2)-+; (3)+++…+. 跟踪训练 解:(1)由组合数的公式的性质, 得解得n=6, ∴原式=+=+=12+19=31. (2)-+=+-=-=0. (3)∵=, ∴原式=++++…+ =++++…+=+ ==165. 知识点2　有限制条件的组合问题 高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种? (2)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种? (3)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种? (4)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种? (5)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种? [分析]　可从整体上分析,进行合理分类,弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼,使用两个计数原理解决. 例3 [解]　(1)从余下的34名学生中选取2名,有=561种. ∴不同的选法有561种. (2)从34名可选学生中选取3名,有=5 984种. 或者-==5 984种. ∴不同的选法有5 984种. (3)从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有=2 100种. ∴不同的选法有2 100种. (4)选取2名女生有种,选取3名女生有种, 共有选取方法N=+=2 100+455=2 555种. ∴不同的选法有2 555种. (5)选取3名的总数有,至多有2名女生在内的选取方式共有N=-=6 545-455=6 090种.∴不同的选法有6 090种. 常见的限制条件及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解. 思维提升 2.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种. (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种? (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种? (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种? 跟踪训练 解:(1)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有=2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种. (2)选取2种假货有种,选取3种假货有种,共有选取方法+=2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同取法有 2 555种. (3)选取3种的种数有,因此共有选取方法 -=6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种. 知识点3　分组分配问题 6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 例4 [分析]　(1)是平均分组问题,与顺序无关,相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,可以理解为一个人一个人地来取,(2)是“均匀分组问题”,(3)是分组问题,分三步进行,(4)分组后再分配,(5)明确“至少一本”包括“2,2,2型”“1,2,3型”“1,1,4型”. [解]　(1)根据分步乘法计数原理得到:=90种. (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有种方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得:=x,所以x==15.因此分为三份,每份两本一共有15种方法. (3)这是“不均匀分组”问题,一共有=60种方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有=360种方法. (5)可以分为三类情况:①“2,2,2型”即(1)中的分配情况,有=90种方法;②“1,2,3型”即(4)中的分配情况,有=360种方法;③“1,1,4型”,有=90种方法.所以一共有90+360+90=540种方法. 常见的分组问题 1.完全均匀分组,每组的元素个数均相等. 2.部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!. 3.完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. 思维提升 3.将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有　　　　种(用数字作答).  分两步完成:第一步,将4名大学生按2,1,1分成三组,其分法有种;第二步,将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有种.所以满足条件的分配方案有·=36(种). 跟踪训练 36 〈课堂达标·素养提升〉 1.若=(n∈N+),则n等于(　　) A.1　　　　　　　　　 B.3 C.5 D.7 由=(n∈N+),根据组合数的性质可得,==(n∈N+), 则n-2=5,解得n=7. D 2.某研究性学习小组有4名男生和4名女生,一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加,其中至少一名女生,则不同的选法有(　　) A.120种 B.84种 C.52种 D.48种 间接法:-=52种. C 3.+++…+的值等于　　　　.  原式=+++…+=++…+=+===7 315. 7 315 4.某校在某次考试后选取了6名教师参加阅卷,试卷共4道解答题,要求将这6名教师分成4组,每组阅一道解答题,其中2组各有2名教师,另外2组各有1名教师,则不同的分配方案的种数是　　　　.  6人按2,2,1,1分成4组共有种不同的分组方案,所以共有·=×24=1 080种分配方案. 1 080 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有(　　) A.种　　　　　　 B.种 C.种 D.种 D 每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有种选法;第二步,选男工,有种选法.故共有种不同的选法. 2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法共有(　　) A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 C 可分两类:第一类,甲型1台、乙型2台,有·=4×10=40(种)取法,第二类,甲型2台、乙型1台,有·=6×5=30(种)取法,共有70种不同的取法. 3.(多选)对于m,n∈N+且m≤n,关于下列排列组合数,结论正确的是(　 　) A.= B.=+ C.= D.=(m+1) ABC 根据组合数的性质与组合数的计算公式=, = =,故A正确; 因为=, += +=, 所以=+,故B正确; 因为=, =·m!=, 所以=,故C正确; 因为=,(m+1)=(m+1)·≠,故D不正确. 4.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力,利用周末进行社区义务劳动,高三一共6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必须参加并不占名额,每个班都必须有人参加,则下列说法正确的是(　　) A.若1班不再分配名额,则共有种分配方法 B.若1班有除劳动模范之外学生参加,则共有种分配方法 C.若每个班至少3人参加,则共有90种分配方法 D.若每个班至少3人参加,则共有126种分配方法 BD 对于A,若1班不再分配名额,则20个名额分配到5个班级,每个班级至少1个,根据隔板(插空)法,有种分配方法,故A错误;对于B,若1班有除劳动模范之外学生参加,则20个名额分配到6个班级,每个班级至少1个,根据隔板(插空)法,有种分配方法,故B正确;对于C,D,若每个班至少3人参加,相当于16个名额被占用,还有4个名额需要分到6个班级,分5类:(1)4个名额到一个班,有6种;(2)一个班3个名额,一个班1个名额,有=30(种);(3)两个班都是2个名额,有=15(种);(4)两个班1个名额,一个班2个名额,有=60(种);(5)四个班都是1个名额,有=15(种),则共有126(种),故C错误,D正确. 5.若=,则=　　　　.  由=可知n=20.∴===190. 190 6.现有6张风景区门票分配给6位游客,若其中A,B风景区门票各2张,C,D风景区门票各1张,则不同的分配方案共有　　　　种.  6位游客选2人去A风景区,有种,余下4位游客选2人去B风景区,有种,余下2人去C,D风景区,有种,所以分配方案共有=180(种). 180 7.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 解:(1)从中任取5人是组合问题,共有=792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有种选法;再从另外9人中选4人,有种选法.共有=378(种)不同的选法. 8.车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,问有多少种选派方法. 解:法一:设A,B代表两名老师傅. A,B都不在内的选派方法有:·=5(种); A,B都在内且当钳工的选派方法有:··=10(种); A,B都在内且当车工的选派方法有:··=30(种); A,B都在内,一人当钳工,一人当车工的选派方法有: ···=80(种); A,B有一人在内且当钳工的选派方法有:··=20(种); A,B有一人在内且当车工的选派方法有:··=40(种). 所以共有·+··+··+···+··+··=185(种)选派方法. 法二:5名钳工有4名被选上的方法有:·=75(种); 5名钳工有3名被选上的方法有:··=100(种); 5名钳工有2名被选上的方法有:··=10(种).所以一共有75+100+10=185(种)选派方法. [B组　关键能力练] 9.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为(　　) A.360 B.520 C.600 D.720 C 分两类:第一类,甲、乙中只有一人参加,则有=2×10×24=480种选法. 第二类,甲、乙都参加时,则有(-)=10×(24-12)=120种选法. 所以共有480+120=600种选法. 10.(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子的放法,下列结论正确的有(　　) A. B. C. D.18 BC 根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个放2个球,剩下的2个盒子中各放1个,有2种解法: 法一:分2步进行分析: ①先将四个不同的小球分成3组,有种分组方法; ②将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有种放法; 则没有空盒的放法有种. 法二:分2步进行分析: ①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有种情况; ②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有种放法; 则没有空盒的放法有种;综上,B,C正确. 11.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有　　　　种.  每个宿舍至少2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2人,3人,4人,5人,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以有+++=112种分配方案. 112 12.在同一个平面内有一组平行线共8条,另一组平行线共10条,这两组平行线相互不平行,它们共能构成　　　　个平行四边形,共有　　　个交点.  第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形,故共有=1 260(个).第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点,所以共有=80(个). 1 260 80 13.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法? (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子; (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球. 解:(1)每个小球都有4种放法,根据分步乘法计数原理,共有46=4 096种不同放法. (2)分两类:第1类,6个小球分3,1,1,1放入盒中;第2类,6个小球分2,2,1,1放入盒中,共有··+··=1 560(种)不同放法. (3)法一:按3,1,1,1放入有种方法,按2,2,1,1放入有种方法,共有+=10(种)不同放法. 法二:(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板,将6个球分成四份,共有=10(种)不同放法. [C组　素养培优练] 14.如图,一个正方形花圃被分成5份. (1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花,求有多少种不同的种植方法? (2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的放法? 解:(1)先对A部分种植,有4种不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种植方法;对C部分种植进行分类: ①若与B相同,D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3×1×2×2=48种; ②若与B不同,C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种; 综上所述,共有96种种植方法. (2)将7个盆栽分成5组,有2种分法: ①若分成2-2-1-1-1的5组,有种分法; ②若分成3-1-1-1-1的5组,有种分法; 将分好的5组全排列,对应5个部分,则一共有·=16 800种分法. $$