9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 第九章　解三角形 [学习目标]　1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.　2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 知识点1　距离问题 内容索引 知识点2　高度问题 课时作业 巩固提升 知识点3　角度问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　距离问题 　距离问题常见类型与方法 类型 图形 方法 A,B两点(两点均可到达)间不可到达(或不可视)的距离   余弦定理 A,B两点(有一点可到达)间可视不可到达的距离   正弦定理 A,B两个不可到达的点之间的距离   先用正弦定理,再用余弦定理 角度1　测量一个不可到达点的距离 [例1]　如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200 m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.求点A与参照物C的距离. [解]　由题意得AB=200 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°. 由正弦定理得=, ∴AC===100(1+), 即A与C的距离为100(1+)m. 测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理去解决. 思维提升 1.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度是　　　　 m.  跟踪训练 60 解析:如图,作CD⊥AB于点D,则tan 30°=,tan 75°=, 又AD+DB=120 m, ∴AD·tan 30°=(120-AD)·tan 75°, ∴AD=60 m,故CD=60 m.即河的宽度是60 m. 角度2　测量不可到达的两点间的距离 [例2]　要测量对岸A,B两点之间的距离,选取相距 km 的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距离. [分析]　将题中距离、角度转化到一个三角形中,再利用正弦、余弦定理解三角形. [解]　如图所示,在△ACD中,∠ACD=75°+45°=120°,∠CAD=∠ADC=30°,∴AC=CD= km. 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=45°+30°=75°,则∠CBD=60°. ∴BC== km. 在△ABC中,由余弦定理,得 AB2=()2+-2×××cos 75°=3+2+-=5, ∴AB= km,∴A,B之间的距离为 km. 测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,最后运用正弦定理解决问题.其实质是综合应用正、余弦定理求解边长. 思维提升 2.如图所示,为了测量A,B两岛屿的距离,小明在D处观测到A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶10海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两岛屿的距离为　　　　海里.  跟踪训练 5 解析:由题意知∠ADB=60°,∠ACB=60°, ∠ADC=105°,∠ACD=30°,CD=10, 在△ACD中,由正弦定理得=, 所以AD===5, 在Rt△BCD中,∠BDC=45°, 所以△BCD为等腰直角三角形, 则BD=CD=10, 在△ABD中,由余弦定理可得 AB==5(海里). 角度3　测量不通、不可视的两点间的距离 [例3]　如图所示,为了开凿隧道,要测量隧道上D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C,测量AC=400 m,BC=600 m,∠ACB=60°,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80 m,BE=40 m(点A,D,E,B在同一直线上),试计算隧道DE的长. [解]　在△ABC中,由余弦定理可得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB =4002+6002-2×400×600×=280 000, ∴AB=200 m,∴DE=AB-AD-EB=(200-120)m. 此类问题是已知三角形的两边及夹角求第三边问题,故直接用余弦定理. 思维提升 3.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,小李同学首先选定了与A,B不共线的一点C(点C未画出),然后给出了三种测量方案(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c): ①测量A,B,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a. 则一定能确定A,B间距离的所有方案的个数为(　　) A.3　　　　　　　　 B.2 C.1 D.0 跟踪训练 A 解析:①AB=;②AB=; ③AB=. 知识点2　高度问题 　高度问题常见类型与方法 类型 简图 计算方法 底部可达   测得BC=a,∠BCA=C,AB=a·tan C 底部 不可达 点B与C,D共线   测得CD的长度及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AD,再解直角三角形得AB的值 点B与C,D不共线   测得CD的长度及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值 [例4]　如图所示,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD. [解]　由于D点为C点到水平面的垂足,∠CAD=45°,所以CD=AD. 因此只需在△ABD中求出AD即可, 在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°, 由=, 得AD===800(+1)(m). 即山高CD为800(+1)m. 测量高度问题的解题策略 1.“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题. 2.“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路. 思维提升 4.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔的高度是(　　) A.100 m　　　　　　　　 B.400 m C.200 m D.500 m 跟踪训练 D 解析:由题意画出示意图,设塔高AB=h m,在Rt△ABC中,由已知得BC= h m,在Rt△ABD中,由已知得BD=h m,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,得3h2=h2+5002+h·500,解得h=500 m,负值舍去. 知识点3　角度问题 　角度问题常用名称、术语归纳 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角   俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角   名称 定义 图示 方向 角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)   方位 角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角   [例5]　某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10 km的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以10 km/h的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以10 km/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间. [解]　如图所示,设t小时后,舰艇与渔船在B处靠近,则AB=10t,CB=10t,由题意得∠ACB=45°+(180°-105°)=120°,在△ABC中,根据余弦定理,则有AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°,可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去). 所以舰艇需1小时靠近渔船.此时AB=10,BC=10,在△ABC中,由正弦定理得=, 所以sin∠CAB===. 又因为∠CAB为锐角,所以∠CAB=30°. 所以舰艇航行的方位角∠BAD=45°+30°=75°. 即舰艇航行的方位角为75°,航行的时间为1小时. 测量角度问题画示意图的基本步骤 思维提升 5.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的倍,求甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船. 跟踪训练 解:如图,设到点C甲船追上乙船,甲船追上乙船所用的时间为t小时,乙船的速度为v海里/小时. 则BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°, ∴在△ABC中,由正弦定理=得 sin∠CAB===. 又0°<∠CAB<60°, ∴∠CAB=30°. ∴甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)下列叙述正确的是(　 　) A.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α=β B.若点P在点Q的北偏东44°50'方向上,则点Q在P处的南偏西44°50'方向上 C.从A点望B处的仰角为30°,从A点望C处的俯角为45°,则从C点望B处的仰角为75° D.在△ABC中,A=105°,B=30°,在C点望A,B的视角为45° ABD 解析:对于A,根据题意和仰角、俯角的概念知α=β; B正确; 对于C,由AB与AC的关系不确定,故角不确定; 对于D,C点望A,B的视角∠ACB=180°-105°-30°=45°. 2.某人向正东方向走x km后向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好是 km,那么x的值是(　　) A.　　　　　　　　 B.2 C.2或 D.3 C 解析:如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠B=30°.由余弦定理,得()2=x2+32-2×3×x×,所以x2-3x+6=0,解得x=或x=2. 3.某人从A处出发、沿北偏西60°行走2 km到达B处,再沿正东方向行走2 km到达C处,则A,C两地的距离为　　　　km.  2 解析:如图所示,∠ABC=30°,又AB=2,BC=2,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos∠ABC=12+4-2×2×2×=4, AC=2,所以A,C两地的距离为2 km. 4.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前 往B处救援,则cos θ的值为　　　　.  解析:在△ABC中,AC=20,AB=40,∠CAB=120°,由余弦定理,得BC2=202+402-2×20×40×cos 120°=2 800, ∴BC=20,∴cos∠ACB==,∴sin∠ACB=.由题意,得θ=30°+∠ACB,∴cos θ=cos(30°+∠ACB)=×-×=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是(　　) A.50 n mile　　　　　　　　　　 B.70 n mile C.90 n mile D.110 n mile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:到14时,轮船A与轮船B分别航行了50 n mile,30 n mile,由余弦定理,得两船之间的距离为l== 70(n mile). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.一艘船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,船继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这艘船的航行速度是(　　) A.5 海里/时 B.5 海里/时 C.10 海里/时 D.10 海里/时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10海里,在直角三角形ABC中,可得AB=5海里,于是这艘船的航行速度是10海里/时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200 m后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为(　　) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:如图,△BED,△BDC为等腰三角形,BD=ED=600 m, BC=DC=200 m.  在△BCD中,由余弦定理可得 cos 2θ==, ∵0°<2θ<90°,∴2θ=30°,4θ=60°. 在Rt△ABC中,AB=BC·sin 4θ=200×=300(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.有一条与两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度为 m/s,为使所走路程最短,小船应朝什么方向行驶(　　) A.与水速成45° B.与水速成135° C.垂直于对岸 D.不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:如图所示,AB是水速,AD为船速,AC是船的实际速度,且AC⊥AB, 在Rt△ABC中,cos∠ABC===, ∴∠ABC=45°, ∴∠DAB=180°-45°=135°. 则小船的方向应与水速成135°行驶. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.如图所示,为测量一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为　　 　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (30+30)m 解析:由正弦定理得=, ∴PB=, ∴树的高度h=PBsin 45°=(30+30)(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.如图,某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况,现派交警进行测量.交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶,交警小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°,若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时 14 s,则这辆汽车的速度为　　 　　 m/s.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:分析知∠ABD=30°,∠ACD=45°,∴在△ABD和△ACD中,AB= 200 m,AC=100 m,∴在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB× ACcos∠BAC=100 000,即BC=100 m,∴这辆汽车的速度为==(m/s). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前进 km 到达D处,看到A在他的北偏东45°方向,B在北偏东75°方向,试求这两座建筑物之间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:由题意可知CD=,∠BDC=180°-75°-75°=30°,∠CBD=180°-30°-30°=120°,∠DAC=45°. 在△BDC中,由正弦定理可得, BC===. 在△ADC中,由正弦定理可得, AC===3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在△ABC中,由余弦定理可得, AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(3)2+()2-2×3××cos 45°=25, ∴AB=5. 故这两座建筑物之间的距离为5 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.如图,A,C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处,然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.   (1)求A,C两岛之间的距离; (2)求∠BAC的正弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)在△ABC中, 由已知,得AB=10×5=50(海里), BC=10×3=30(海里), ∠ABC=180°-75°+15°=120°, 由余弦定理得AC2=502+302-2×50×30cos 120°=4 900,所以AC=70(海里). 故A,C两岛之间的距离为70海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)在△ABC中,由正弦定理, 得=, 所以sin∠BAC===, 故∠BAC的正弦值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 9.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ为(　　)   A.100 m B.200 m C.300 m D.400 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:根据题意,在Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300 m, ∴AC===200 (m),在△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°, ∴∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°. 由正弦定理得=,解得AQ==200(m). 在Rt△APQ中,PQ=AQsin 45°=200×=200(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.如图,一艘轮船从A出发,沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C,则此船航行的方向为北偏东　　　　°,航行路程为　　　 　海里.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 65　 20(+) 解析:由题意,在△ABC中, ∠ABC=70°+35°=105°,AB=40,BC=40. 根据余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC =402+(40)2-2×40×40×=3 200+1 600, ∴AC=20(+). 根据正弦定理得=,∴∠CAB=45°, ∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°,20(+)海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图所示,有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC,此时视角∠ABC=120°,从B处攀登200米到达D处,回头看索道AC,此时视角∠ADC=150°,从D处再攀登300米到达C处.则这条索道AC长为　　 　　米.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 100 解析:在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120°. 因为∠ADB=30°,所以∠DAB=30°. 由正弦定理,得=,所以=, 所以AD==200(米). 在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150°, 所以AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC =(200)2+3002-2×200×300×cos 150°=390 000, 所以AC=100 米.故这条索道AC长为100 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某人沿一条折线段组成的小路前进,从A到B,方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°,距离是1 km;从B到C,方位角是110°,距离是1 km;从C到D,方位角是140°,距离是(3+)km.求从A到D的方位角及从A到D的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:如图所示,连接AC. 在△ABC中,∠ABC=50°+(180°-110°)=120°. 又AB=BC=1 km,∴∠BAC=∠BCA=30°. 由余弦定理得 AC==(km). 在△ACD中,∠ACD=360°-140°-70°-30°=120°,CD=(3+)km, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由余弦定理得, AD= ==(km). ∴A到D的距离为 km. 在△ACD中,由正弦定理得, sin∠CAD==, ∴∠CAD=45°,于是A到D的方位角为50°+30°+45°=125°. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘故障船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方救援船奉命以10 海里/时的速度追赶故障船,此时故障船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向行驶.问:救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船?并求出所需时间. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:设救援船应沿CD方向行驶t小时,才能最快追上(在D处)故障船, 则CD=10t,BD=10t, 在△ABC中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC =(-1)2+22-2(-1)×2×cos 120°=6, ∴BC=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又=, ∴sin∠ABC===, 又0°<∠ABC<60°,∴∠ABC=45°, ∴B处在C处的正东方向上, ∴∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD中,由正弦定理,得=, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴sin∠BCD===. 又0°<∠BCD<60°,∴∠BCD=30°, ∴救援船沿北偏东60°的方向行驶. 又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, ∴∠CDB=30°,∴BD=BC, 即10t=,∴t=(小时). ∴救援船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快追上故障船,大约需要 小时. 13 $$