9.1.2 第2课时 正弦、余弦定理的综合应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.2　余弦定理 第2课时　正弦、余弦定理的综合应用 第九章　解三角形 [学习目标]　1.掌握正弦、余弦定理及其变形,并能运用两个定理解三角形.　2.能运用正弦、余弦定理解决某些与测量、几何计算有关的问题.　3.掌握解三角形中最值(范围)问题的常见类型及解决方法.　4.进一步巩固正弦定理和余弦定理在解题中的综合运用. 知识点1　正、余弦定理的综合应用 内容索引 知识点2　解三角形中的最值(范围)问题 课时作业 巩固提升 知识点3　正、余弦定理与三角函数的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　正、余弦定理的综合应用 角度1　正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用 [例1]　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+b=5,c=,且ccos A+a=b. (1)求C的大小; (2)求△ABC的面积. [解]　(1)由正弦定理,得sin Ccos A+sin A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 即sin A=sin Acos C, ∵sin A≠0,∴cos C=,又C∈(0,π),∴C=. (2)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C, 即7=a2+b2-ab, ∴7=(a+b)2-3ab=25-3ab,故ab=6, ∴S△ABC=absin C=×6×=, 故△ABC的面积为. 求三角形的面积,要充分挖掘题目中的条件,转化为求两边及其夹角的正弦问题,要注意方程思想在解题中的应用. 思维提升 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin B=2sin A,且△ABC的 面积为a2sin B,则cos B=　　　　.  跟踪训练 解析:由sin B=2sin A,得b=2a,由△ABC的面积为a2sin B,得acsin B= a2sin B,由sin B≠0,知c=2a, 故cos B===.   角度2　正、余弦定理在平面几何中的应用 [例2]　如图,在△ABC中,AC=2,BC=1,CD是AB边上的中线. (1)求证:sin∠BCD=2sin∠ACD; (2)若∠ACD=30°,求AB的长. (1)[证明]　在△DBC中,由正弦定理得, =, 在△ACD中,由正弦定理得,=, 即BCsin∠BCD=BDsin∠CDB, ACsin∠ACD=ADsin∠CDA. ∵sin∠CDA=sin∠CDB, CD是AB边上的中线且AC=2BC, ∴sin∠BCD=2sin∠ACD. (2)[解]　∵∠ACD=30°,由(1)可得sin∠BCD=2sin∠ACD=1,即∠BCD=90°,∴∠ACB=120°, 由余弦定理得AB===. 在平面几何中求边、求角,通常思路是先找所求的边、角所在的三角形,再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角. 思维提升 2.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 跟踪训练 解:(1)在△ABD中,由正弦定理得=,即=, 所以sin∠ADB=. 由题设知∠ADB<90°, 所以cos∠ADB==. (2)由题设及(1)知cos∠BDC=sin∠ADB=. 在△BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5. 知识点2　解三角形中的最值(范围)问题 角度1　与三角形的边相关的范围或最值问题 [例3]　在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,(b-c)·(sin B+sin C)= a(sin A-sin C). (1)求B的值; (2)若b=3,求a+c的最大值. [解]　(1)在△ABC中,由正弦定理得(b-c)(b+c)=a(a-c),即b2=a2+c2-ac,由余弦定理得,cos B==, 因为B∈(0,π),所以B=. (2)由(1)知9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 于是=ac≤, 解得a+c≤6,当且仅当a=c=3时取等号. 所以a+c的最大值为6. 求与三角形的边相关的最值问题,一般先通过正弦、余弦定理求相关边,再利用均值不等式或函数解决最值问题. 思维提升 3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径R=2,且△ABC的面积S=,则ab+c的最小值为(　　) A.8　　　　　　　　 B.4 C.2 D.3 跟踪训练 A 解析:由正弦定理可知sin C==, 所以S=absin C=ab×=, 即abc=8. 故ab+c≥2=2=8, 当且仅当ab=c=4时,等号成立, 所以ab+c的最小值为8. 角度2　与三角形的角或角的三角函数相关的范围或最值问题 [例4]　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角 形,且满足b2-a2=ac,则-的取值范围是　　　　.  [解析]　由正弦定理得sin2B-sin2A=sin Asin C, 由降幂公式得=sin Asin C, 即-2sin(A+B)·sin(A-B)=2sin A·sin C, 又∵sin(A+B)=sin C≠0, ∴sin(B-A)=sin A. 在三角形中得B=2A, ∴C=π-3A, 由三角形为锐角三角形得 ∴<A<,<B<, 而-=. ∵<B<,∴sin B∈, ∴1<<, 即-∈. 求三角函数式的范围一般先确定角的范围,利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用均值不等式求最值. 思维提升 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2sin Asin Bcos C=sin2C,则=　　　　,角C的最大值为　　　　.  跟踪训练 2 　 解析:∵2sin Asin Bcos C=sin2C, ∴2abcos C=c2⇒a2+b2-c2=c2⇒=2, ∴cos C==≥, ∵0<C<π, ∴0<C≤,当且仅当a=b时取等号. 即角C的最大值为. 角度3　与三角形的周长或面积相关的范围或最值问题 [例5]　在△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. [解]　(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∵sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C, 由正弦定理可得a2-b2-c2=bc, 即为b2+c2-a2=-bc, ∴cos A==-=-, 由0<A<π,可得A=. (2)由(1)得A=,由题意可得a=3, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bccos , 可得9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc, ∴(b+c)2-9=bc≤, ∴≤9,(b+c)2≤12, ∴b+c≤2,∴a+b+c≤3+2, 当且仅当b=c=时,等号成立, 即△ABC周长的最大值为3+2. 1.周长问题也可看作是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 2.面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解. 思维提升 5.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,a=2,·=1,则△ABC面积的最大值为　　　　.  跟踪训练 解析:∵·=bccos A=1, ∴cos A=>0, sin A===, 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, ∴4=b2+c2-2, ∴6=b2+c2≥2bc(当且仅当b=c=时取等号), ∴bc≤3, ∴S△ABC=bcsin A=≤×=, 即当b=c=时,△ABC的面积取得最大值,最大值为. 知识点3　正、余弦定理与三角函数的综合应用 [例6]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,b-c=2,cos A=-. (1)求a和sin C的值; (2)求cos的值. [解]　(1)在△ABC中,cos A=-,∵A∈(0,π), ∴sin A==, 由△ABC的面积为,可得bcsin A=, 可得bc=8. 又b-c=2,解得b=4,c=2或b=-2,c=-4(舍去), ∴b=4,c=2, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×8×=24, ∴a=2, 又=,解得sin C=, ∴a=2,sin C=. (2)由(1)知,sin C=,b>c, ∴C∈, ∴cos C==,cos 2C=2cos2C-1=, sin 2C=2sin Ccos C=, ∴cos=cos 2Ccos -sin 2Csin =×-×=. 正弦、余弦定理与三角函数相结合,常见两种考查方式:一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值,再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值;二是先利用函数的性质,再利用函数求角,解与三角形有关的问题. 思维提升 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-b)cos C=ccos B,△ABC的面积S=10,c=7. (1)求角C; (2)求a,b的值. 跟踪训练 解:(1)因为(2a-b)cos C=ccos B, 所以由正弦定理得(2sin A-sin B)cos C=sin Ccos B, 2sin Acos C-sin Bcos C=cos Bsin C, 即2sin Acos C=sin(B+C), 所以2sin Acos C=sin A. 因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又因为C∈(0,π),所以C=. (2)由S=absin C=10,C=,得ab=40. ① 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 即c2=(a+b)2-2ab, 所以72=(a+b)2-2×40×. 所以a+b=13. ② 由①②得a=8,b=5或a=5,b=8. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)若在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则下列结论正确的有(　　) A.cos C=- B.角A是最小角 C.S△ABC= D.△ABC有唯一解 AB 解析:由正弦定理,得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4, 令a=2k,b=3k,c=4k(k>0), 则cos C===-,又a<b<c,所以角A是最小角, 又边长不确定,故C,D都不正确. 2.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠ADC=60°,CD=AD=2,BD=4,则sin B的值为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. D 解析:由题意,得△ADC为等边三角形,则∠ADB=120°,AC=2,由余弦定理,得AB2=BD2+AD2-2BD· ADcos∠ADB,即AB=2,由正弦定理,得=, 则sin B==. 3.在△ABC中,A=60°,4sin B=5sin C,S△ABC=20,则其周长为　　　　.  18+2 解析:由正弦定理=, 且4sin B=5sin C,得4b=5c,即b=c, 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=c2+c2-c2=c2, ∵S△ABC=bcsin A=×c2=c2=20, ∴c2=64,∴c=8,b=10. ∴a=2,∴△ABC的周长为18+2. 4.在△ABC中,若C=2B,则的取值范围为　　　　.  (1,2) 解析:因为A+B+C=π,C=2B, 所以A=π-3B>0,所以0<B<, 所以<cos B<1,1<2cos B<2. 又===2cos B,故1<<2. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C.3 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:C=180°-30°-120°=30°,∴a=c=2, ∴S△ABC=acsin B=×2×2×sin 120°=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.在△ABC中,A=105°,B=30°,a=,则B的角平分线的长是(　　) A. B.2 C.1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:设B的角平分线的长为BD. 易知∠ACB=180°-105°-30°=45°,∠BDC=180°-15°-45°=120°. 在△CBD中,有=,可得BD=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在△ABC中,sin A=,a=10,则边长c的取值范围是(　　) A. B.(10,+∞) C.(0,10) D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:∵==,∴c=sin C. 又0<sin C≤1,∴0<c≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则cos∠DAC等于(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:如图所示,不妨设BC=CD=1,则AB=2,过点D作DE⊥AB,垂足为E. 易知四边形BCDE是正方形,则BE=CD=1, 所以AE=AB-BE=1. 在Rt△ADE中,AD==, 在Rt△ABC中,AC==, 在△ACD中,由余弦定理得cos∠DAC===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在△ABC中,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由c2=(a-b)2+6, 得c2=a2+b2-2ab+6, 由C=,得c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab, ∴a2+b2-ab=a2+b2-2ab+6, ∴ab=6,∴S=absin C=. 6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos C+(c-2b)cos A=0, b=2,≤B≤,则A=　　　　,边长c的取值范围为　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 [2,+1] 解析:因为acos C+(c-2b)cos A=0, 所以sin Acos C+(sin C-2sin B)cos A=0, 即sin Acos C+cos Asin C-2sin Bcos A=0, 即sin(A+C)-2sin Bcos A=0, 即sin B-2sin Bcos A=0. 因为sin B>0,所以cos A=. 又因为0<A<π,所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由正弦定理得,=, 则c====+1. 因为≤B≤,所以1≤tan B≤, 所以2≤+1≤+1,则c∈[2,+1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,sin2A=2sin2B,c=2b. (1)求cos B; (2)若△ABC的面积为,求△ABC的周长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵sin2A=2sin2B, ∴a2=2b2,则a=b, 由余弦定理,可得cos B===. (2)∵cos B=,∴sin B=, 则△ABC的面积S=acsin B=b2×=, 解得b=2,∴a=2,c=4, 从而△ABC的周长为6+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在△ABC中,D是BC边的中点,AB=3,AC=,AD=. (1)求BC边的长; (2)求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设BD=x,则BC=2x, 在△ABD中, 有cos∠ABD==, 在△ABC中, 有cos∠ABC==, 且∠ABD=∠ABC, 即=, 得x=2,所以BC=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)可知,cos B=,B∈(0,π), 得sin B=, 所以S△ABC=·AB·BC·sin B=×3×4×=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 9.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b2=a(a+c),则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及b2=a(a+c),得ac=c2-2accos B.又c≠0, ∴a=c-2acos B. 由正弦定理,得sin A=sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin(B-A). ∵△ABC为锐角三角形,∴A=B-A,∴B=2A. ∵0<A<,0<B=2A<,0<π-A-B=π-3A<,∴<A<. 又sin A≠0,∴=sin A∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知梯形ABCD的上底AB长为1,下底CD长为4,对角线AC长为,BD长为2,则△ABD的面积为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:如图,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接AE,则四边形ACDE为平行四边形,则cos∠EBD==, 所以sin∠EBD=, 故S△ABD=×1×2×sin∠ABD=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.设f(x)=sin xcos x-cos2,x∈R. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)在锐角三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)f(x)=sin xcos x-cos2,x∈R. 化简可得,f(x)=sin 2x--cos =sin 2x+sin 2x-=sin 2x-, 由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z, 可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由f=0,得sin A-=0, 可得sin A=,∵0<A<,∴cos A=. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得1+bc=b2+c2. ∵b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时,等号成立, ∴1+bc≥2bc,∴bc≤2+, ∴△ABC的面积为S=bcsin A≤. 故△ABC面积的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.在①2a-c=2bcos C;②a2+c2-b2=4S,这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,然后解答补充完整的题目. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知　　　　.  (1)求tan B的值; (2)若S=10,a=5,求b的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)选择条件①: 法一:∵2a-c=2bcos C, ∴由正弦定理得2sin A-sin C=2sin Bcos C, ∴2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin C=2sin Bcos C, 即2cos Bsin C=sin C. 又C∈(0,π),∴sin C≠0,∴cos B=. 又B∈(0,π),∴tan B=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 法二:∵2a-c=2bcos C,由余弦定理可得2a-c=2b·, ∴2a2-ac=a2+b2-c2, 整理得a2+c2-b2=ac, 即cos B=. 又B∈(0,π),∴tan B=1. 选择条件②: ∵a2+c2-b2=2accos B=4S,S=acsin B, ∴2accos B=2acsin B, ∴tan B==1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由tan B=1得sin B=. ∵S=10,a=5, ∴S=acsin B=×5c×=10, 解得c=4, ∴b= ==. $$