9.1.2 第1课时 余弦定理-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.2　余弦定理 第1课时　余弦定理 第九章　解三角形 [学习目标]　1.掌握余弦定理及其变形,会运用余弦定理解三角形.　 2.会运用余弦定理解决一些与测量、几何计算有关的问题. 知识点1　余弦定理 内容索引 知识点2　利用余弦定理判断三角形形状 课时作业 巩固提升 知识点3　利用正弦、余弦定理解三角形 课堂达标·素养提升 3 知识点1　余弦定理 余弦 定理 公式 表达 a2= , b2= , c2= _______________ 语言 叙述 三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的____ 推论 cos A=_______________, cos B=_______________, cos C=_______________ b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 2倍 角度1　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,求角A. (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A,角C和边a. [解]　(1)cos 15°=cos(45°-30°)=. 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2×(+)=8-4,∴c=-. ∴cos A==. 又0°<A<180°,∴A=30°. (2)法一:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°, 即a2-9a+18=0, 解得a=3或a=6. 当a=3时,A=30°,C=120°; 当a=6时,由正弦定理,得sin A===1, A=90°,C=60°. 法二:由b<c,B=30°,b>csin 30°=3×=知本题有两解.由正弦定理,得sin C===,∴C=60°或120°. 当C=60°时,A=90°,由勾股定理,得a===6;当C=120°时,A=30°,△ABC为等腰三角形,∴a=3. 已知三角形的两边及一角解三角形 1.已知三角形的两边及其夹角,先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求解. 2.已知三角形的两边及一边的对角,可利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边. 思维提升 1.(1)在△ABC中,AC=2,AB=2(+1),A=120°,则BC=　　　　.  (2)在△ABC中,cos A=,a=4,b=3,则c=　　　　.  跟踪训练 5 3+ 解析:(1)由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A=22+4(+1)2-2×2×2(+1)×=24+12,∴BC==3+. (2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即16=9+c2-6×c, 整理得5c2-18c-35=0,解得c=5或c=-(舍去),故c=5. 角度2　已知三边或三边关系解三角形 [例2]　在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=　　　　.  [解析]　由a2+b2+ab=c2,得a2+b2-c2=-ab.由余弦定理, 得cos C===-,故C=120° 120° [例3]　在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶∶(+1),求各内角的度数. [解]　由a∶b∶c=2∶∶(+1),令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),由余弦定理,得cos A===,∴A=45°. cos B===, ∴B=60°, ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 已知三角形的三边解三角形的方法 1.先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 2.利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三个角. 思维提升 2.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于(　　) A.30°　　　　　　　　　　 B.60° C.120° D.150° 解析:∵(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc, ∴cos A==,∴A=60°. 跟踪训练 B 知识点2　利用余弦定理判断三角形形状 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, A为直角⇔b2+c2=a2; A为锐角⇔b2+c2>a2; A为钝角⇔b2+c2<a2. [例4]　在△ABC中,已知cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断△ABC的形状. [解]　法一:在△ABC中,由cos2=, 得=,∴cos A=. 根据余弦定理,得=. ∴b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 法二:在△ABC中,设其外接圆半径为R,由正弦定理, 得b=2Rsin B,c=2Rsin C. 由cos2=知,cos A=. ∴cos A=,即sin B=sin Ccos A. ∵B=π-(A+C),∴sin(A+C)=sin Ccos A, ∴sin Acos C=0. ∵A,C都是△ABC的内角,∴sin A≠0, ∴cos C=0,∴C=, ∴△ABC是直角三角形. 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 1.先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系. 2.先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系. 思维提升 3.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形　　　　　　　 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 跟踪训练 D 解析:在△ABC中,因为A=60°,a2=bc, 所以由余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc, 所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0, 所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形. 知识点3　利用正弦、余弦定理解三角形 [例5]　已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,求角B. [解]　由=及正弦定理知=, 整理得b2-a2=ac+c2,即a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理可知cos B===-, 又B∈(0,π),所以B=. 余弦定理和正弦定理一样,都是围绕着三角形进行边角互化的.在解有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理,还是余弦定理,必要时也可列方程(组)求解.同时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用. 思维提升 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2-c2=2b, 且sin Acos C=3cos Asin C,求b. 跟踪训练 解:法一:在△ABC中, ∵sin Acos C=3cos Asin C,由正弦定理及余弦定理有a·=3×·c, 化简并整理得2(a2-c2)=b2. 又已知a2-c2=2b,∴4b=b2. 解得b=4或b=0(舍). 法二:由余弦定理得a2-c2=b2-2bccos A. 又a2-c2=2b,b≠0,所以b=2ccos A+2. ① 又sin Acos C=3cos Asin C, ∴sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C, sin(A+C)=4cos Asin C, 即sin B=4cos Asin C, 由正弦定理得b=4ccos A. ② 由①②解得b=4. 〈课堂达标·素养提升〉 1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是-,则三角形的第三边长为(　　) A.52　　　　　　　　　　 B.2 C.16 D.4 B 解析:由余弦定理可知,三角形的第三边长为==2. 2.在△ABC中,a∶b∶c=2∶4∶5,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 C 解析:因为a∶b∶c=2∶4∶5, 所以可令a=2k,b=4k,c=5k(k>0). 因为c最大,cos C=<0, 所以C为钝角,从而△ABC为钝角三角形. 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2+c2=ac,则角B为 (　　) A. B. C.或 D.或 A 解析:∵a2-b2+c2=ac, ∴cos B===, 又B为△ABC的内角,∴B=. 4.在△ABC中,a=3,b=2,cos C=,则c2=　　　　.  30-4 解析:由余弦定理可得c2=(3)2+(2)2-2×3×2×=18+12-4=30-4. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在△ABC中,a=7,b=4,c=,则△ABC的最小角为(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:∵a>b>c,∴C为最小角,由余弦定理得 cos C===, ∴C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.在△ABC中,若a=3,c=7,C=60°,则b为(　　) A.5 B.8 C.5或-8 D.-5或8 解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 即49=9+b2-3b,所以(b-8)(b+5)=0.因为b>0,所以b=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 3.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B等于(　　) A. B. C. D. 解析:∵b2=ac,c=2a,∴b2=2a2,b=a,∴cos B===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 4.在△ABC中,若a<b<c,且c2<a2+b2,则△ABC为(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 解析:因为c2<a2+b2,所以C为锐角, 因为a<b<c,所以C为最大角,所以△ABC为锐角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 5.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°, 则ab=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:因为C=60°, 所以c2=a2+b2-2abcos 60°, 即c2=a2+b2-ab.① 又因为(a+b)2-c2=4, 所以c2=a2+b2+2ab-4.② 比较①②知-ab=2ab-4,所以ab=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.在△ABC中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b. 解:在△ABC中,由A+C=2B,A+B+C=180°,知B=60°. a+c=8,ac=15,则a,c是方程x2-8x+15=0的两根. 解得a=5,c=3或a=3,c=5. 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=9+25-2×3×5×=19. ∴b=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状. 解:由acos B+acos C=b+c并结合余弦定理, 得a·+a·=b+c, 即+=b+c, 整理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0. 因为b+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的大小为(　　) A. B. C. D.π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BC 解析:因为(a2+c2-b2)tan B=ac,所以2accos B·tan B=ac,又ac≠0,所以sin B=,所以B=或B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足B=,a+c=b,则=(　　) A.2 B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:∵B=,a+c=b, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=3b2, ① 由余弦定理可得a2+c2-2accos =b2, ② 联立①②,可得2a2-5ac+2c2=0, 即2-5+2=0,解得=2或=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a, 2sin B=3sin C,则cos A的值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:由2sin B=3sin C及正弦定理可得2b=3c,由b-c=a可得a=c,b=c,由余弦定理可得cos A==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在△ABC中,A=,a=c,则=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解析:在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,将A=,a=c代入, 可得(c)2=b2+c2-2bc·, 整理得2c2=b2+bc. ∵c≠0,∴等式两边同时除以c2, 得2=+,即2=+. 令t=(t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0, 解得t=1或t=-2(舍去),故=1. 12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2=ac,且cos B=. (1)求+的值; (2)设·=,求a+c的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由cos B=及0<B<π得sin B==. 由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C. 于是+=+ == ===. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由·=得cacos B=,又cos B=, 故ca=2,即b2=2. 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得a2+c2=b2+2accos B=5, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9, ∴a+c=3. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=,4a-3cos A=0. (1)求a的值; (2)若B=λA,求λ的值. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)因为4a-3cos A=0, 所以4a=3cos A, 所以4a=3×. 因为c=,b=, 所以12a2+80a-147=0, 解得a=或a=-(舍去), 故a=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)可知cos A=×=, 所以sin A=, 故cos 2A=cos2A-sin2A=. 因为a=,c=,b=, 所以cos B==, 所以cos 2A=cos B. 因为在△ABC中,c>b>a,所以B=2A,即λ的值为2. 13 $$