第11章 阶段练7 (范围11.3)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练7　(范围:11.3) 第十一章　立体几何初步 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分别为A1B1,AA1,AD的中点,则图中与直线DC1异面的直线是(　　)   A.EF　　　　　　　　　 B.AD1 C.B1G D.BC1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:根据已知,可得EF∥AB1,而AB1∥DC1,所以EF∥DC1,A错误; AD1∩平面DCC1D1=D1,DC1⊂平面DCC1D1,D1∉DC1, 所以AD1与DC1是异面直线,B正确; 因为B1C1∥GD,所以B1,C1,G,D四点共面,C错误; DC1∩BC1=C1,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列结论正确的是(　　) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥n,m∥α,则n∥α C.若m⊂α,n⊂β,则m,n是异面直线 D.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n是异面直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:对于A,可设m=A1D1,n=A1B1,α为平面AC,显然m∥α,n∥α,但m∩n=A1,故A错误; 对于B,可设m=A1D1,n=AD,α为平面AC,显然m∥n,m∥α,但n⊂α,故B错误; 对于C,可设m=A1D1,n=AD,α,β分别为平面A1C1,平面AC, 显然m⊂α,n⊂β,但m∥n,故C错误; 对于D,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则两平面不会有 交点,所以m∥n或m,n是异面直线,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:对于A选项,若平面ABC∥平面DEF,AC⊂平面ABC,则AC∥平面DEF, 由题图可知AC与平面DEF相交,故平面ABC与平面DEF不平行,A不满足条件; 对于B选项,如图(1)所示,连接NG, ∵A,C分别为PN,PG的中点, 则AC∥NG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在正方体EHDG-MFNP中,FN∥EG且FN=EG, 故四边形EFNG为平行四边形, ∴NG∥EF,∴AC∥EF. ∵AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF, ∴AC∥平面DEF,同理可证BC∥平面DEF. ∵AC∩BC=C,AC,BC⊂平面ABC, 因此平面ABC∥平面DEF,B满足条件; 对于C选项,如图(2)所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在正方体PHDG-MNFE中,若平面ABC∥平面DEF, 又平面DEF∥平面MNHP,则平面ABC∥平面MNHP. 但这与平面ABC与平面MNHP相交矛盾, 因此,平面ABC与平面DEF不平行,C不满足条件; 对于D选项,在正方体PDHG-FNEM中,连接PH,PM,MH,如图(3)所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵DH∥FM且DH=FM,则四边形DHMF为平行四边形,则DF∥MH. ∵DF⊄平面PHM,MH⊂平面PHM,∴DF∥平面PHM,同理可证EF∥平面PHM. ∵DF∩EF=F,DF,EF⊂平面DEF,∴平面DEF∥平面PHM. 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC与平面PHM相交矛盾,故平面ABC与平面DEF不平行,D不满足条件. 4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=3,BC=5,AA1=6,D为CC1中点,E为BB1上一点,=3,∠ACD=120°,M为侧面AA1C1C上一点,且BM∥平面ADE,则点M的轨迹的长度为(　　) A.2 B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:由题意知,BE=2,CD=3,在CD上取点M1,使得M1D=2,M1C=1, 则M1D∥BE且M1D=BE,所以四边形BEDM1为平行四边形,故BM1∥DE. 又BM1⊄平面ADE,DE⊂平面ADE, 所以BM1∥平面ADE. 在AC上取点M2,使得M2A=2,M2C=1, 有==,所以△CM1M2∽△CDA, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则M1M2∥AD. 又M1M2⊄平面ADE,AD⊂平面ADE, 所以M1M2∥平面ADE.又BM1∩M1M2=M1,BM1,M1M2⊂平面BM1M2, 所以平面BM1M2∥平面ADE,则点M的轨迹为线段M1M2. 在△CM1M2中,CM1=CM2=1,∠M1CM2=120°,由余弦定理, 得M1M2==, 即点M的轨迹长度为. 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,D1C1,CC1的中点分别E,F,G,H,则下列直线中,与平面ACD1和平面BDA1的交线平行的直线为 (　　) A.GH B.EH C.EG D.FH 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:设AD1∩A1D=M,AC∩BD=O,连接OM. 而O,M∈平面ACD1,O,M∈平面BDA1, 则平面ACD1∩平面BDA1=OM. 作出平面ACD1和平面BDA1的交线如图所示: 另一方面:由正方形的性质可知M,O分别是AD1,AC的中点, 从而MO∥CD1,同理有GH∥CD1. 对比选项可知与平面ACD1和平面BDA1的交线平行的直线为GH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和DD1的中点,过点B1,E,F的平面α交AD于点G,则AG=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:如图,平面B1EF与平面CC1D1D的交线与B1E平行,即过点F作B1E的平行线,交C1D1于点H,连接B1H. 因为E,F分别为棱AB和DD1的中点,所以H为C1D1的四等分点. 过点E作EG∥B1H,交AD于点G,从而G为AD的三等分点,故AG=×2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选)下列命题正确的为(　　) A.若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线 B.若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面 C.已知a,b,c为三条直线,若a,b异面,b,c异面,则a,c异面 D.已知直线a,b和平面α,若a∥α,b∥α,则a∥b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 解析:对于A,设平面α∩平面ABC=l.因为P∈α,P∈平面ABC, 所以P∈l,同理Q∈l,R∈l,故P,Q,R三点共线,故A正确; 对于B,因为a∥b,所以a,b可以确定一个平面α. 因为A∈a,B∈b,a⊂α,b⊂α,所以AB⊂α,所以l⊂α. 又C∈l,所以C∈α. 同理,b,c也可以确定一个平面β,且C∈β,b⊂β. 因为C∉b,故α,β重合,故这四条直线共面,所以B正确; 对于C,直线a,b异面,b,c异面,则a,c可能平行、相交或异面,所以C错误; 对于D,若a∥α,b∥α,则a,b可能平行、相交或异面,所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在正六棱柱的所有棱中任取两条,则它们所在的直线是互相垂直的异面直线共有　　　　对.(用数字作答)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 解析:因为侧棱与底面垂直,所以6条侧棱与底面的直线都垂直, 所以每一条侧棱与一个底面中的不相邻的4条棱是互相垂直的异面直线. 有上下两个底面,则其中是互相垂直的异面直线共有2×6×4=48(对). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是梯形,AB∥CD,则所有与∠A1AB相等的角是　　　 　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∠D1DC,∠D1C1C,∠A1B1B 解析:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥DC,AA1∥DD1,并且∠D1DC与∠A1AB的方向相同, 因此∠D1DC=∠A1AB.又四边形A1ABB1、四边形D1DCC1都是平行四边形,则∠A1B1B=∠D1C1C=∠A1AB, 所以与∠A1AB相等的角是∠D1DC,∠D1C1C,∠A1B1B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'共点于O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2, 则△A'B'C'的面积为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:AA',BB'相交于点O,所以AA',BB'确定的平面与平面α,平面β的交线分别为AB,A'B', 有AB∥A'B',且==. 同理可得AC∥A'C',==, BC∥B'C',==,所以△ABC与△A'B'C'相似,=. 又S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×2×2×=,所以S△A'B'C'=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2,E为线段SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3+2 解析:由题意知,四边形ABCD为菱形,∴CD∥AB. ∵CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,∴CD∥平面SAB. ∵CD⊂平面CDE,平面CDE∩平面SAB=EF, ∴EF∥CD,则EF∥AB. ∵E为SA的中点,则F为SB的中点, ∴EF=AB=1. ∵△SAD是边长为2的等边三角形,则DE⊥SA, 且DE=2sin 60°=, 同理可得CF=, 因此四边形DEFC的周长为3+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.在四棱锥S-ABCD中,底面是平行四边形,P在SD上,且PS=2PD.   (1)若M为SC中点,求证:SA∥平面BDM. (2)侧棱SA上是否存在一点Q,使得BQ∥平面PAC.若存在,求的值;若不存在,试说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明: 如图所示,连接BD交AC于N,连接MN,BM. 由题意可知N为AC的中点,故MN∥SA. 又SA⊄平面BDM,MN⊂平面BDM, 所以SA∥平面BDM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:存在点Q,使得BQ∥平面PAC,理由如下: 如图所示,作BE∥AC交直线CD于E点,过E作EF∥PC交SD于F, 过F作FQ∥PA交SA于Q. 因为底面为平行四边形,所以C为ED的中点,则P为DF中点. 又PS=2PD,即F为SP的中点. 因为BE⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BE∥平面PAC,同理FE∥平面PAC,FQ∥平面PAC. 又BE∩EF=E,BE,EF⊂平面BEF, 所以平面PAC∥平面BEF, 同理平面PAC∥平面FQB. 因为平面BEF∩平面FQB=BF,所以两平面重合, 即平面PAC∥平面FQBE. 因为BQ⊂平面FQBE,所以存在一点Q,使得BQ∥平面PAC,且=1. $$