11.3.3 平面与平面平行-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

11.3　空间中的平行关系 11.3.3　平面与平面平行 第十一章　立体几何初步 [学习目标]　掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用上述定理解决空间中的平行问题. 知识点1　平面与平面平行的判定定理 内容索引 知识点2　平面与平面平行的性质定理 课时作业 巩固提升 知识点3　平行问题的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　平面与平面平行的判定定理   判定定理 推论 文字语言 如果一个平面内有_______ _______分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行 如果一个平面内有______________分别平行于另一个平面内的________,则这两个平面平行 符号语言 l⊂α,m⊂α,l∩m≠∅,l∥β,m∥β ⇒α∥β a∥c,b∥d,a∩b=A,a⊂α,b⊂α,c⊂β,d⊂β ⇒α∥β 图形语言     两条相 交直线 两条相交直线 两条直线 [例1]　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD. [证明]　如图所示,连接B1D1,B1C. ∵P,N分别是D1C1,B1C1的中点, ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD, ∴PN∥BD. 又PN⊄平面A1BD, ∴PN∥平面A1BD. 同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N, ∴平面PMN∥平面A1BD. 常见面面平行的判定方法 1.定义法:两个平面没有公共点. 2.判定定理法:转化为线面平行. 3.平行平面的传递性:两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面平行. 4.利用平面与平面平行的判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. 思维提升 1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC. 跟踪训练 证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, 所以MQ∥AD,NQ∥BP. 又因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, 所以NQ∥平面PBC. 因为四边形ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 又因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, 所以MQ∥平面PBC. 又因为MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PBC. 知识点2　平面与平面平行的性质定理   性质定理 推论 文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线_____ 两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段______ 符号语言 α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m⇒______ α∥β∥γ,m∩α=A,m∩β=B,m∩γ=C,n∩α=E,n∩β=F,n∩γ=G⇒= 图形语言     平行 l∥m 成比例 [例2]　如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM. [证明]　因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以DE∥平面ABC. 同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D, 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF=NF, 平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM. 1.面面平行性质定理的关键 (1)成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面均相交. (2)定理的实质:面面平行⇒线线平行,其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面,由定理可知,两条交线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化. 2.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 思维提升 2.如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D. (1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 跟踪训练 (1)证明:∵PB∩PD=P, ∴直线PB和PD确定一个平面γ, 则α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又α∥β,∴AC∥BD. (2)解:由(1)得AC∥BD, ∴=,∴=, ∴CD=, ∴PD=PC+CD=. 知识点3　平行问题的综合应用 [例3]　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? [解]　当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点,P为D1D的中点,∴PQ∥DC. 又DC∥AB,∴PQ∥AB且PQ=AB, ∴四边形ABQP为平行四边形, ∴QB∥PA. 又PA⊂平面PAO,QB⊄平面PAO, ∴BQ∥平面PAO. 连接BD(图略),则O∈BD. 又O为DB的中点,P为D1D的中点, ∴PO∥D1B. PO⊂平面PAO,D1B⊄平面PAO, ∴D1B∥平面PAO. 又D1B∩BQ=B,∴平面D1BQ∥平面PAO. 解决线线平行与面面平行的综合问题的策略 立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的. 思维提升 所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系之间的转化关系. 3.如图①所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD,如图②所示.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG. 证明:在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点, ∴EF∥CD. ∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB, AB⊂平面PAB, ∴EF∥平面PAB.同理,EG∥平面PAB. 又EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG, ∴平面EFG∥平面PAB. ∵AP⊂平面PAB,AP⊄平面EFG,∴AP∥平面EFG. 〈课堂达标·素养提升〉 1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是(　　) A.平行　　　　　　　　 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 C 解析:如图所示,由图可知C正确. 2.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 解析:由面面平行的性质定理可知选项A正确. A 3.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为　　 　　.  解析:若a⊂β,则显然满足题目条件. 若a⊄β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b, 由α∥β得b∥c,所以a∥c.又a⊄β,c⊂β,所以a∥β. a⊂β或a∥β 4.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点,点D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是　　　　.  解析:由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,知EF是△SBC的中位线,所以EF∥BC.又因为BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.又因为EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面ABC. 平行 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(　　) A.α,β都平行于直线l,m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β D.l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:A,B,C中都有可能使两个平面相交;D中l∥α,m∥α,可在α内取一点,过该点作l,m的平行线l',m',则l',m'在平面α内且相交,又易知l'∥β,m'∥β,∴α∥β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(多选)下列说法正确的是(　 　) A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,必与另外一个平面平行 B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行 C.平行于同一个平面的两平面平行 D.夹在两个平行平面间的平行线段相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BCD 解析:A中,直线还可以在另一个平面内,A错误;B中,一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线,可得两条相交直线与另一个平面平行,即两个平面平行,B正确;C,D显然正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是(　　) A.矩形　　　　　　　　　　 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理BF∥D1E,所以四边形D1EBF为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是 (　　) A.平面 B.直线 C.线段,但只含1个端点 D.圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1, ∴DM∥A1C1,过点D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略), 则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论: ①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC; ④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG. 其中正确结论的序号是　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ①②③④ 解析:把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.如图,E,F分别是三棱柱ABC-A1B1C1的棱AC,A1C1的中点,证明:平面AB1F∥平面BC1E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明:由于四边形ACC1A1是平行四边形, 所以FC1∥AE,且AC=A1C1.由于E,F分别是AC,A1C1的中点, 所以AE==A1C1=FC1. 又因为FC1∥AE,所以四边形AEC1F是平行四边形, 所以AF∥EC1. 而EC1在平面BC1E上,所以AF∥平面BC1E. 连接EF, 则由A1F=A1C1==AE,且A1F∥AE得四边形AEFA1是平行四边形,有EF􀰿AA1.又在平行四边形ABB1A1中有AA1􀰿BB1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以EF􀰿BB1,则四边形EFB1B是平行四边形,有FB1∥BE. 而BE在平面BC1E上,所以FB1∥平面BC1E. 因为AF,FB1是平面AB1F上的两条相交直线, 所以由AF∥平面BC1E,FB1∥平面BC1E, 可得平面AB1F∥平面BC1E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明:因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D, BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE, 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE=EC, 平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C(　　) A.不共面 B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.无论点A,B如何移动都共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:无论点A,B如何移动,其中点C到α,β的距离始终相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在棱AD上,过点P作该正方体的截面,当截面平行于平面B1D1C且面积为时,线段AP的长为(　　) A. B.1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:如图,连接A1D,A1B,BD,由正方体的结构特征, 可得平面BDA1∥平面B1D1C. 过点P作该正方体的截面,分别交AB于点E,交AA1 于点F. ∵截面PEF∥平面B1D1C, ∴截面PEF∥平面BDA1,可得PE∥DB,EF∥A1B,PF∥A1D.再由平行线截线段成比例,可得AP=AE=AF,△PEF为正三角形.设△PEF的边长为a,则a2·=,解得a=2,则AP=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为(　　) A. B. C.或24 D.或12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:连接AB,CD. ①当点P在CA的延长线上,即点P在平面α与平面β的同侧时,如图①. ∵α∥β,平面PCD∩α=AB,平面PCD∩β=CD, ∴AB∥CD,∴=. ∵PA=6,AC=9,PD=8, ∴=,解得BD=. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ②当点P在线段CA上,即点P在平面α与平面β之间时,如图②. 类似①的方法,可得=. ∵PA=6,PC=AC-PA=9-6=3,PD=8, ∴=,解得PB=16, ∴BD=PB+PD=24. 综上,BD的长为或24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1 平行的平面交AB于M,交BC于N,则MN=　　　　AC.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:因为平面MNE∥平面ACB1,平面ABCD∩平面MNE=MN, 平面ABCD∩平面ACB1=AC,所以MN∥AC.同理可证EM∥AB1,EN∥B1C.因为E是B1B的中点,所以M,N分别是AB,BC的中点,所以MN=AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是矩形. (1)设M为OA上靠近点A的三等分点,N为BC上靠近点B的三等分点.求证:MN∥平面OCD. (2)设E是OD上靠近点D的一个三等分点,试问:在OD上是否存在一点F,使BF∥平面ACE成立?若存在,请予以证明;若不存在,说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明:如图,取AD上靠近点A的三等分点G,连接MG,NG. 在△AOD中,AM∶MO=1∶2,AG∶GD=1∶2, 则MG∥OD.又MG⊄平面OCD,OD⊂平面OCD, ∴MG∥平面OCD.同理,NG∥平面OCD. 又MG∩NG=G,MG,NG⊂平面MNG, ∴平面MNG∥平面OCD. 又MN⊂平面MNG,∴MN∥平面OCD. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解:存在OE的中点F,使BF∥平面ACE成立.证明如下: 取OE的中点F,连接BF,BD,设BD∩AC=P,连接PE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴P是BD的中点. 又∵E是OD上靠近点D的一个三等分点,且F是OE的中点, ∴E是FD的中点, ∴在△BDF中,PE∥BF. 又PE⊂平面ACE,BF⊄平面ACE, ∴BF∥平面ACE, 故在OD上存在OE的中点F,使BF∥平面ACE成立. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE=2ED.在棱PC,PD上是否分别存在点F,M,使平面FBM与平面AEC平行?证明你的结论. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:存在,当F,M分别是PC,PE的中点时,平面FBM与平面AEC平行.证明如下: 如图,取PC,PE的中点F,M,连接FM. 因为F是PC的中点, 所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC,CE⊂平面AEC, 所以FM∥平面AEC. 由EM=PE=ED, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得E是MD的中点.连接BD交AC于点O,连接OE, 所以OE∥BM. 因为BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC, 所以BM∥平面AEC. 由FM∩BM=M,FM∥平面AEC, BM∥平面AEC,FM,BM⊂平面FBM, 得平面FBM∥平面AEC. 13 即:⇒α∥β. $$