第11章 阶段练5 (范围11.1)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练5　(范围:11.1) 第十一章　立体几何初步 1.中国古代建筑中的圆柱,多是根部略粗,顶部略细,这种做法称为“收分”,柱子做出收分,既稳定又轻巧.已知某古代建筑的一根圆柱,每增高1.2 m,直径收分1 cm,若该柱子柱根直径为30 cm,柱高6 m,则柱头直径为 (　　) A.24 cm　　　　　　　　 B.25 cm C.26 cm D.27 cm 解析:柱头直径为30-×1=25 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 2.下列命题是真命题的是(　　) A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C.经过不共线的三个点的球有且只有一个 D.直棱柱的侧面是矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:对于A,两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱,A错误. 对于B,正三棱锥的底面是等边三角形,侧面是等腰三角形,不一定是等边三角形,B错误. 对于C,经过不共线的三个点只能确定一个平面,经过不共线的三个点的球有无数个,C错误. 对于D,直棱柱的侧面是矩形,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.空间内水平放置的两个封闭图形分别为(i)长为3、宽为2的矩形;(ii)边长为3的正三角形,记(i)中原图形面积为S1,斜二测画法得到的直观图面积为S'1,(ii)中原图形面积为S2,斜二测画法得到的直观图面积为S'2,对以下两个命题:①=;②=,以下判断正确的是(　　) A.①为真命题,②为假命题 B.①为假命题,②为真命题 C.①为真命题,②为真命题 D.①为假命题,②为假命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:长为3、宽为2的矩形: 原图: 直观图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以原图面积为S1=3×2=6,直观图的面积为S'1=×2=, 所以=,①为真命题. 边长为3的正三角形: 原图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 直观图:   所以原图面积为S2=×3×3×sin =,直观图的面积为S'2=×2=, 所以=,②为真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图所示,是一个正方体的表面展开图,则图中“九”在正方体中的对面是(　　) A.县 B.市 C.联 D.考 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:把正方体还原如下图:   则上面是九,下面是市,左面是县,右面是联,前面是考,后面是区. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究,发现将该圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,如图,若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5,则该圆锥的体积为(　　) A. B. C.250π D.250π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:设圆锥的母线长为l,则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l,周长为2πl, 又圆锥底面半径为5,则底面周长为2π×5=10π, 故2πl=3×10π,解得l=15, 所以圆锥的高为h==10, 所以圆锥的体积为V=×π×52×10=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.现有如图所示的几何体ABCDMN,其中正方形ABCD边长为3,MN∥AB,MN=,且MN到平面ABCD的距离为2,则几何体ABCDMN的体积为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:取AB,CD的中点分别为F,E,连接NE,EF,NF, 可得几何体ABCDMN分割为一个三棱柱ADM-FEN和一个四棱锥N-FBCE, 将三棱柱ADM-FEN补成一个上底面与矩形ADEF全等的矩形的平行六面体, 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半, 则三棱柱ADM -FEN的体积为V1=×2××32=, 四棱锥N-FBCE的体积为V2=××9×2=3, 所以该几何体ABCDMN的体积为3+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选)下面关于空间几何体叙述正确的有(　　) A.圆柱的所有母线长都相等 B.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 C.一个棱台最少有5个面 D.用一平面去截圆台,截面一定是圆面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 解析:对于A,根据圆柱的定义可知,母线均与圆柱的轴平行,则其长度都相等,故A正确; 对于B,只有底面是正方形,且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心时,才是正四棱锥,故B错误; 对于C,根据棱台的定义知,底面边数至少为3,故棱台的表面至少有两个底面和三个侧面,即五个平面,故C正确; 对于D,若用一个与圆台底面不平行的平面截圆台,则截面将不是圆面,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(多选)已知圆锥SO的母线长为2,AB为底面圆O的一条直径,AB=4.用一平行于底面的平面截圆锥SO,得到截面圆的圆心为O1.设圆O1的半径为r,点P为圆O1上的一个动点,则(　　 ) A.圆锥SO的体积为 B.PO的最小值为 C.若r=1,则圆锥SO1与圆台O1O的体积之比为1∶8 D.若O为圆台O1O的外接球球心,则圆O1的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 解析:由题意可作图如图①:   由圆锥SO的母线长为2,底面圆的半径为2,则AS=BS=2,OA=OB=2, 可得圆锥的高SO==4. 对于A,VSO=π×22×4=,A选项正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于B,已知PO1=r,设点P在底面的投影为P1,如图②所示:   则P1P=4-2r,所以PO2=P1P2+P1O2=(4-2r)2+r2=5+≥,B选项正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于C,由题意可作图如图③:   当r=1时,SO1=2,所以=π×12×2=, 又VSO=π×22×4=,所以==1∶7,C选项错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于D,由题意可作图如图④:   若点O是圆台O1O的外接球球心,则由PO2=(4-2r)2+r2=OA2=4, 解得r=,所以S=πr2=,D选项正确. 9.水平放置的△ABC的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形A'B'C',点O'是斜边B'C'的中点,且O'A'=2,则△ABC底边BC的高为 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 解析:在等腰直角三角形A'B'C'中,点O'是斜边B'C'的中点,且O'A'=2, 所以A'B'=2,把平面直观图还原为原图形,如图所示,   则△ABC底边BC的高为AB,且AB=2A'B'=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.某小组制作了一个米斗,其上宽下窄呈方形,近似于一个正四棱台,斗口边长为3米,斗底边长为2米,斗高3米,则该米斗能装米　　 　升(忽略木板厚度,1升=0.001 立方米).  解析:由题意可得,上底面面积S1=32=9,下底面面积S2=22=4,高h=3, 则米斗的体积V=(S1+S2+)h=(9+4+)×3=19 m3, 则该米斗能装米19 000升. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥A-BCD,则它的体积与正方体体积的比为　　　　　;它的表面积与正方体表面积的比为　　　　　　.  1∶3 ∶3 解析:设正方体棱长为1,由图知,切去的4个三棱锥体积相等,故截去的三棱锥的体积之和为V=4×××1×1×1=, 而正方体的体积为V'=1,所以正三棱锥A-BCD的体积为1-=, 故正三棱锥与正方体体积之比为; 因为正三棱锥A-BCD的每条棱长为,所以表面积为S=4××=2, 又正方体的表面积为6×12=6,故表面积之比为2∶6=∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图,一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体,下面部分是一个正四棱锥,该几何体所有棱长均为2米. (1)求该漏斗的表面积; (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A'爬到点P, 求它爬过的最短路径的长; (3)将图中正方形ABB'A'水平放置,在由斜二 测画法得到的水平放置的直观图中,求线段A'B的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意,该漏斗的表面积S=5×22+4××22=20+4(平方米). (2)将漏斗表面展开,如图所示: 由两点间距离最短可得线段A'P为蚂蚁爬行最短路径, 过点P作PQ⊥AA'交AA'延长线于点Q,连接A'P, 则AQ=AP·cos 30°=,PQ=AP·sin 30°=1, 在Rt△A'PQ中, A'P=====+, 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为(+)米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)正方形ABB'A'的斜二测画法有以下两种: 左图情况下,∠A'AB=45°,在△A'AB中由余弦定理可得: A'B= ==, 右图情况下,∠A'AB=135°,在△A'AB中由余弦定理可得: A'B= ==, 综上所述,线段A'B=或米. $$