11.1.6祖暅原理与几何体的体积学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

山东省 高一数学必修第四册《祖暅定理与几何体的体积》学案 编号4-16 编制 修改 审核 审批 课题：祖暅定理与几何体的体积 【课标要求】 1.了解祖暅原理的内容,了解利用祖暅原理推导柱体、锥体、球的体积公式的过程． 2.掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题. 【学习目标】 1.通过阅读课本，会推导并记住柱、锥、台、球的体积公式，会求简单几何体的体积; 2.通过课本例题学习，会用公式法、等体积法、割补法求几何体的体积; 3.培养学生从量的角度认识几何体，培养学生的空间想象能力和思维能力. 【自主学习】 1.自己取一摞课本堆放在桌面上，将它们改变一下形状，这时这一摞课本的体积是否发生改变？ 2.阅读课本83页，理解祖暅原理. 祖暅原理:______________,________________. 这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 3.探究柱体的体积公式: 底面积为S，高为h的柱体的体积公式是什么？ 底面半径为r的圆柱体的体积公式呢？ ； ； 4．利用切割法推导棱锥的体积: 思考：如图，按下列方式将三棱柱分割成三个三棱锥，这三个三棱锥的体积是否相等，为什么？请思考，然后同学之间相互交流. 锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积公式为 . 底面半径为r，高为h的圆锥的体积公式为 . 5.利用间接法推导台体的体积（还台为锥，用大锥的体积减去小锥的体积）: 若台体的上底面积S′，下底面积S，高h，思考：棱台的体积公式是什么？圆台的体积求法和它相似么？ 山东省 高一数学必修第四册《祖暅定理与几何体的体积》学案 编号4-16 班级 姓名 小组 使用时间 2 3 学科网（北京）股份有限公司 6.应用圆柱和圆锥的体积公式，根据祖暅原理推导一下球的体积公式: 如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系.由此你能得到球的体积公式吗？ 【预习评测】 1.如果圆柱的底面半径不变，要使它的体积扩大到原来的5倍，那么需要把它的高扩大到原来的多少倍？如果圆柱的高不变，半径扩大到原来的多少倍才能使它的体积扩大到原来的5倍？ 2.已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，求它的体积. 3.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，求这个正四棱锥的体积为___________ 【合作探究】 例1．如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,求棱锥D'-A'CD的体积与长方体的体积之比. 例2．一个底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，求所得棱台的体积． 例3. 如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥.求： (1)三棱锥的体积与正方体体积的比值；(2)三棱锥的外接球的表面积和体积. 【当堂检测】 1．一个正方体，如果它的每条棱都增加1cm，则它的体积扩大为原来的8倍，求这个正方体的棱长 . 2.用与球心O距离为3cm的平面截球，所得截面面积为16πcm² ，则球O的表面积为 ，体积为 . 3.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是____________ 【课后巩固】 A组1.将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒立圆锥形容器中，求水面的高度。 2.已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长为1的等腰梯形，求圆台的体积. B组3.已知一个等边三角形的边长为a，这个等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 4.如图，将正四棱柱底面的边3等分，过3等分点用平行于侧棱的平面截去4个三棱柱，得到一个八棱柱，求这个八棱柱与原四棱柱体积之比. 5.正方形ABCD的边长为1如图①所示，分别取边BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE， EF，AF为折痕,折叠这个正方形，使B，C，D重合于一点P，得到一个三棱锥如图②所示,求此三棱锥的体积。 $$