第10章 章末检测(二) 复数-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

章末检测(二)　复数 (时间:120分钟,满分:150分) 第十章　复数 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图所示是复数分类的框图,下列空白处应填的是(　　)   A.虚数　　　　　　　 B.非纯虚数 C.非实数 D.非纯虚数的虚数(a≠0,b≠0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由复数的分类知:虚数包括纯虚数和非纯虚数的虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知P是复平面内表示复数a+bi的点,若复数a+bi是虚数,则点P(　　) A.在虚轴上 B.不在虚轴上 C.在实轴上 D.不在实轴上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 19 解析:由题意得b≠0,则点P不在实轴上,则C错误,D正确; 若a≠0,b≠0,则A错误;若a=0,b≠0,则其在虚轴上,则B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.设z∈C,则在复平面内3≤≤5所表示的区域的面积是(　　) A.5π B.9π C.16π D.25π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 19 解析:满足条件=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆, 满足条件=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆, 则在复平面内3≤≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示:   所以,在复平面内3≤≤5所表示的区域的面积是π×=16π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知复数z与(z+1)2-2i都是纯虚数,则z=(　　) A.i B.-i C.-4i D.2i 解析:设z=bi, 且(z+1)2-2i=-2i=2bi-b2+1-2i=1-b2+i为纯虚数, 所以解得b=-1,所以z=-i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 5.复数z=的实部和虚部分别是(　　) A.1,1 B.1,i C.-, D.-,i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 解析:z===1+i, 所以复数z=的实部和虚部分别是1,1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.若复数z满足z=,则z的虚部为(　　) A.-4 B.- C.-4i D.-i 解析:因为z===5,所以z===-i, 所以z的虚部为-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 7.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 19 解析:3-4i=λ(-1+2i)+μ(1-i)=μ-λ+(2λ-μ)i, ∴得∴λ+μ=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.复数z在复平面内对应的点是A,其共轭复数在复平面内对应的点是B,O是坐标原点.若A在第一象限,且·=0,则=(　　) A.i B.-i C.2i D.-2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 19 解析:设A,则B, 由·=0得m2-n2=0, 因为m>0,n>0,所以m=n,故z=m+mi,=m-mi, 故====-i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知复数z=3-i,则(　　) A.z的虚部为 B.z是纯虚数 C.z的模是 D.z在复平面内对应的点位于第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 CD 解析:对于A,由虚部定义知z的虚部为-,故A错误; 对于B,纯虚数要求实部为0,故B错误; 对于C,==,故C正确; 对于D,z在复平面内对应的点为,位于第四象限,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知非零复数z1,z2,其共轭复数分别为,,则下列选项正确的是(　　) A.z1+∈R　　　　　　　 B.z1·= C.·z2=z1· D.= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AB 解析:设复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,x1,x2,y1,y2∈R,+≠0,+≠0, 对于A,z1+=x1+y1i+x1-y1i=2x1∈R,A正确; 对于B,z1·=(x1+y1i)(x1-y1i)=+=,B正确; 对于C,·z2=(x1-y1i)(x2+y2i)=x1x2+y1y2+(x1y2-x2y1)i,z1·=(x1+y1i)(x2-y2i)=x1x2+y1y2-(x1y2-x2y1)i,·z2与z1·不一定相等,C错误; 对于D,令z1=i,则=-1,=1,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.在复数域内,大小成了没有意义的量,那么我们能否赋予它一个定义呢,在实数域内,我们通常用绝对值来描述大小,而复数域中也相应地有复数的模长来代替绝对值,于是,我们只需定义复数的正负即可,我们规定复数的“长度”即为模长,规定在复平面x轴上方的复数为正,在x轴下方的复数为负,在x轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示,我们用来表示复数的“大小”,例如:=,= -,=1,=-3,=-,则下列说法正确的是(　 　) A.=1在复平面内表示一个圆 B.若z∈C,则方程[z]2=-1无解 C.若z1,z2为虚数,且z1=,则+=0 D.复数z满足=1,则的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BCD 解析:根据已知条件=1表示模长为1,在复平面位于x轴上方的复数,所以并不是一个圆,故A错误; 若z∈C,则方程[z]为一个实数,所以[z]2=-1无解,故B正确; 若z1,z2为虚数,且z1=,设z1=bi,则z2=-bi,所以=b,=-b,所以+=0,故C正确; 设z=a+bi, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 根据复数的新定义有==1, 所以=1,且1≤b≤2, 所以a2=1-, 所以是==, 所以∈,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为　　　,=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 21-20i 解析:复数z=(5+2i)2=21+20i,其实部是21,=21-20i. 13.已知复数z满足=1,则的最大值是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 6 解析:由题意,复数z对应的点的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆, 而=表示复数z对应的点到点A的距离, 最大的距离为+1=5+1=6, 即的最大值是6. 14.法国数学家棣莫弗提出了公式:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ).据此公式,复数的虚部为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 解析:=23=8= -4+4i,故其虚部为4. 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知复数z=(m2+2m-8)+(m2+2m-3)i(m∈R). (1)若复数z-m+2为纯虚数,求m的值; (2)若在复平面上对应的点在第三象限,求m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)由题意得z-m+2=(m2+m-6)+(m2+2m-3)i,因为z-m+2为纯虚数, 所以解得m=2. (2)复数=-i, 它在复平面上对应的点在第三象限, 所以解得-4<m<-3或1<m<2, 所以实数m的取值范围为∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知z是复数,z-i为实数,为纯虚数(i为虚数单位). (1)求复数z和; (2)复数z1=在复平面对应的点在直线y=2x上,求实数m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)设复数z=a+bi(a,b∈R),由z-i=a+i是实数,则b=1, 即z=a+i,所以===,因为为纯虚数,所以2-2a=0且a+4≠0,解得a=1, 所以z=1+i,= . (2)由(1)知,z1====+i, z1在复平面上对应的点为, 又已知z1在复平面上对应的点在直线y=2x上,则有=2·,解得m=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知z是复数,z+2i与均为实数. (1)求z2; (2)若复数z是方程x2+mx+n=0的一个解,求m-n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)设z=a+bi, 则z+2i=a+i为实数,所以b=-2, ==为实数, 所以a=4,所以z=4-2i, 所以z2==16-16i-4=12-16i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为复数z是方程x2+mx+n=0的一个解,代入可得+m+n=0, 整理可得 解得m=-8,n=20,所以m-n=-28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知复数z=3xi3+i2 024的实部与虚部的和为f. (1)若f(x)=8,且x>0,求复数iz的虚部; (2)当f取得最小值,且z1=2+-i在第四象限时,求m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解:(1)根据题意,复数z=3xi3+i2 024=-3xi, 所以复数z的实部为x2+x,虚部为-3x,则f=-3x=x2-2x. 因为f=8,可得x2-2x-8=0,又因为x>0,解得x=4, 所以z=20-12i,可得iz=i(20-12i)=12+20i,所以复数iz的虚部为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由(1)知,函数f=-1, 则当x=1时,f取得最小值,此时z=2-3i, 则z1=2+-i=4+6i+-i=4++i=+i, 由z1在第四象限,可得 解得-1<m<或1<m<,所以m的取值范围为∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)现定义“n维形态复数zn”:zn=cos nθ+isin nθ,其中i为虚数单位,n∈N*,θ≠0. (1)当θ=时,证明:“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系; (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,求sin的值; (3)若正整数m,n,满足zm=z1,zn=,证明:存在有理数q,使得m=q·n+1-2q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)证明:当θ=时, zn=cos n+isin n,则z1=cos +isin =,z2= cos +isin =i. 因为===i=z2,故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解:因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以cos 2θ+isin 2θ=cos 3θ+isin 3θ, 因此 解cos 2θ=cos 3θ,得3θ=2θ+2kπ或3θ+2θ=2kπ, 解sin 2θ=sin 3θ,得3θ=2θ+2kπ或3θ+2θ=2kπ+π, 由于两个方程同时成立,故只能有3θ=2θ+2kπ,即θ=2kπ, 所以sin=sin=sin =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)证明:由zm=z1,得cos mθ+isin mθ=cos θ+isin θ,由(2)同理可得mθ=θ+2k1π, 即θ=2k1π. 因为m>1,所以θ=. 因为zn==,由(1)知z2=,所以zn=z2. 由(2)同理可得nθ=2θ+2k2π,即θ=2k2π. 因为n>2,所以θ=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以=,又因为θ≠0,所以k1k2≠0,所以=, 即m=+1=·n+1-, 所以存在有理数q=,使得m=q·n+1-2q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $$