第9章 阶段练2 (范围9.2)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练2　(范围:9.2) 第九章　解三角形 1.一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上,30分钟后船航行到B处,从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上,则灯塔S与B之间的距离为(　　) A.8 n mile　　　　　　　 B.16 n mile C.16 n mile D.16 n mile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由题意知AB=32×=16(n mile),∠BAS=45°,∠ASB=30°, 由正弦定理得,=,解得BS=16 n mile. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.某测量爱好者测量一座摩天大楼时,过摩天大楼底部(当作点Q)一直线上位于Q同侧两点A,B分别测得摩天大楼顶部点P的仰角依次为30°,45°,已知AB的长度为330米,则摩天大楼的高度为(　　) A.330米 B.330米 C.165(+1)米 D.330(-1)米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:由题意知PQ⊥AQ,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°, 则AQ=,BQ=, 故AB=AQ-BQ=-PQ=330, 即PQ-PQ=330, 解得PQ==165(+1)(米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知黄鹤楼的高度CD约为30米,在其一侧有一座建筑物AB,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处,测得楼顶A、楼顶C的仰角分别为15°和60°,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°.则地面上两点M,B之间的距离约为(　　) A.20米 B.30米 C.30米 D.20米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:由题意得,cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+ sin 60°sin 45°=, 在△ACM中,∠CAM=15°+15°=30°,∠AMC=180°-15°-60° =105°, 所以∠ACM=180-30°-105°=45°,又CM==60米, 由正弦定理,得=, 解得AM=60米, 所以MB=AM·cos 15°=60×=30(+1)(米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.某同学为了测量塔高,他在地面C处时测得塔底B在东偏北45°的方向上,向正东方向行走50米后到达D处,测得塔底B在东偏北75°的方向上,此时测得塔顶A的仰角为45°,则塔顶A离地面的高度AB为(　　) A.50 米 B.50米 C.25米 D.50米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:设塔AB的高度为h米, 在地面C处时测得塔底B在东偏北45°的方向上,∠BCD=45°, 在D处时测得塔底B在东偏北75°的方向上,塔顶A的仰角为45°, 在Rt△ABD中,∠ADB=45°,BD==h, 在△BCD中,∠CBD=75°-45°=30°, 由正弦定理得,=,即=,解得h=50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60米到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60米到点C处,测得仰角为θ,则sin θ为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:如图所示,由题意有DE=AB=BC=60,∠DAE=∠DBE=45°, 则有AE=BE=AB=60,故∠EAB=60°, 在△ACE中,由余弦定理得 EC= ==60, 在Rt△CDE中, DC==120, 则sin θ=sin∠DCE==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)中国最早的天文观测仪器叫“圭表”,“圭”就是放在地面上的土堆,“表”就是直立于圭的杆子,太阳光照射在“表”上,便在“圭”上成影,规定“表”为八尺长(1尺=10寸).用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长,可以判断季节的变化,也能用于丈量土地.同一日内,南北两地的日影长短倘使差一寸,它们的距离就相差一千里,所谓“影差一寸,地差千里”.记“表”的顶部为A,太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B,已知甲、乙两地之间的距离约为40千里.若同一日内,甲地中直线AB与地面所成的角为θ,且tan θ=,则甲地日影长与乙地日影长的比值为(　　) A.3∶4 B.3∶5 C.5∶4 D.3∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 解析:由题知,甲地的日影长为==60寸,因为甲、乙两地之间的距离约为40千里, 所以乙地的日影长为60+40=100寸或60-40=20寸, 因为60∶100=3∶5,60∶20=3∶1,所以甲地日影长与乙地日影长的比值为3∶5或3∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(多选)某小组计划测量如图所示的湖泊的东西方向的总湖长,即测量湖岸的两个测量基点P,Q之间的距离,现在湖岸取另外两个测量基点M,N,测得MN=380 米,∠PMQ=,∠QMN=∠PNM=,∠PNQ=,则 ( 　　) A.MQ=380 米 B.PM=380 米 C.PN=380 米 D.PQ=1 900 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:在△PMN中,∠PMN=+=,∠PNM=∠MPN=, 则PM=MN=380 米,B选项正确; 在△MNQ中,∠MNQ=+=, 又∠QMN=,则∠MQN=, 由正弦定理可得=, 即=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得MQ=380 米,A选项正确; 在△PMN中同理可得PN==190+190 米,C选项错误; 在△PMQ中,由余弦定理得PQ2=(380)2+(380)2-2×380×380×=5×(380)2, 所以PQ=380×5=1 900米,D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上,距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,A处与D处之间的距离是　　　　　 n mile,灯塔C与D处之间的距离是 　　　n mile.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24　 8 解析:在△ABD中,由已知得∠BAD=75°,∠BDA=60°,所以B=45°, 由正弦定理得AD===24(n mile), 所以A与D之间的距离为24 n mile. 在△ACD中,∠CAD=30°,由余弦定理,得 CD= = ==8, 所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.某测量小组在某塔底共线三点A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为30°,45°,60°,且AB=BC=20 m,设该塔高为PO,示意图如图,则该塔高PO=　　　　 m.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 解析:设PO=h,由在A,B,C处分别测得塔顶P点的仰角为30°,45°,60°, 则根据题意有OA=h,OB=h,OC=h, 在△OBC,△OBA中由余弦定理知cos∠OBC=,cos∠OBA=, 因为A,B,C三点共线,所以∠OBC+∠OBA=180°, 则+=0⇒h2=4 800⇒h=60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知A,B,C三座小岛的位置如图所示,其中B岛在A岛的南偏西60°方向,C岛在B岛的正东方向,A,C两岛相隔4千海里,一货轮由A岛出发沿着AC的方向直线航行了的路程后,到达M岛进行补给后再前往C岛,若M 岛到B岛的距离与M岛到A岛的距离相同,则B,C两岛的距离为　　　千海里.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:依题意,∠ABC=30°,AM=3MC=3,记∠BAC=∠ABM=θ, 所以∠BMC=2θ,AM=BM=3,MC=1,AC=4, 在△ABC中,由正弦定理得=,即BC=8sin θ, 在△BMC中,由余弦定理得BC2=BM2+CM2-2BM·CM·cos 2θ=10-6cos 2θ, 故64sin2θ=10-6cos 2θ,解得sin2θ=, 因为θ∈,则sin θ=,BC=8sin θ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.如图所示,某人在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,速度为米/分钟,开始时刻物体位于P点,一分钟后其位置在Q点,且∠POQ=90°,再过一分钟,该物体位于R点,且∠QOR=30°,此时OR= 　　　　　米.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 解析:由正弦定理,在△OPR中,有=, 即OR===. 在△OQR中,有=, 即OR====2cos P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以=2cos P, 在Rt△POQ中,得tan P==,又OQ2+OP2=PQ2=7, 得OQ=,OP=2,sin P=,cos P=, 所以OR=2cos P=2×=4(米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在气象台A正西方向300 km处有一台风中心B, 它正向东北方向移动,移动速度的大小为40 km/h,距 台风中心350 km以内的地区都将受到影响. (1)若台风中心的这种移动趋势不变,气象台A所在地 是否会受到台风的影响?如果会,大约多长时间后受到影响?持续时间有多长?(参考数据:≈3.6) (2)台风对气象台A的影响从开始到结束,线段AB扫过的面积是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)如图,因为AB=300 km,∠ABB1=45°,所以点A到直线BB1的距离为300 km, 因为300 km<350 km,所以气象台会受到台风的影响. 假设台风中心到达B1和B2时,气象台A刚好受到台风影响,则AB1=AB2=350 km,台风中心在B1和B2之间运动时,气象台A持续受到影响. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设BB1=a km, 在△ABB1中,由余弦定理得A=B+AB2-2AB×BB1cos 45°, 即3502=a2+-2×300×a×, 即a2-600a+57 500=0,解得a=300±50,即a=120或480. 则BB1=120 km,BB2=480 km,B1B2=360 km, 所以气象台会在==3小时后受到影 响,影响持续==9小时. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由题可知台风影响从开始到结束,线段AB扫过的面积为=-=AB×(BB2-BB1)×sin 45°=×300×360×=54 000(km2). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.某镇为了拓展旅游业务,把一块形如△OAB的空地(如图所示)改造成一个旅游景点,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°.现拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山,剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在△OAN的周围安装防护网. (1)当AM= km时,求防护网的总长度. (2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可 能小,试问当∠AOM多大时,△OMN的面积最小? 最小面积是多少? 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)在△OAB中,OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°, 在△OAM中,由余弦定理得OM2=OA2+AM2-2OA·AMcos∠OAM=9+-=, 所以OM=,所以OM2+AM2=OA2,则OM⊥AN, 所以∠AOM=30°,又∠MON=30°, 所以∠AON=60°,即△OAN为正三角形,则△OAN的周长为9, 即防护网的总长度为9 km. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设∠AOM=θ,0°<θ<60°,在△OAN中,由正弦定理得==, 所以ON=,在△OAM中,由正弦定理得=,所以OM=, 又S△OMN=OM·ON·sin 30°== =, 所以当且仅当2θ+60°=90°,即∠AOM=15°时, △OMN的面积最小, 且最小值为= km2. 13 $$