第9章 阶段练1 (范围9.1)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练1　(范围:9.1) 第九章　解三角形 1.已知在△ABC中,AB=3,AC=1,cos A=,则BC=(　　) A.1　　　　　　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:设在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得a2=12+32-2×1×3×=5,故BC=a=. 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,b=,A=60°,则B=(　　) A.30° B.30°或150° C.45° D.45°或135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:由正弦定理可得sin B=sin A=×sin 60°=×=, 由a=4,b=,可得a>b,则A=60°>B,又sin B=,则B=45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在△ABC中,sin=,2a2+c2=2b2,则sin C=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 解析:因为2a2+c2=2b2,所以2a2-2b2=-c2. 因为a2+c2-b2=2accos B,b2+c2-a2=2bccos A, 两式相减,得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2, 所以2acos B-2bcos A=-c, 由正弦定理,得2sin Acos B-2sin Bcos A=-sin C,即2sin=sin C. 因为sin=,所以sin C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cos A=,a=1,则=(　　) A. B. C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 解析:因为cos A=,a=1,所以sin A==, 在△ABC中,由正弦定理===2R(R为外接圆半径), 得==2R===3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若S△ABC=且·=0,则△ABC的形状是(　　) A.有一个角是的等腰三角形 B.顶角是的等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不能确定三角形的形状 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:如图所示,在边AB,AC上分别取点D,E,使=,=, 以AD,AE为邻边作平行四边形ADFE,则=+,显然==1, 因此平行四边形ADFE为菱形,AF平分∠BAC,而·=0,则有·=0, 即AF⊥BC, 于是得△ABC是等腰三角形,即b=c,令直线AF交 BC于点O,则O是BC边的中点,S△ABC=a·AO, 而S△ABC==a2,因此有AO=a=BC,从而得∠BAC=, 所以△ABC是等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,又△ABC的面积S=10,且B+C=2A,则·+·+·=(　　) A.64 B.84 C.-69 D.-89 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:由=,得=, 所以5(sin Acos B+cos Asin B)=8(sin Acos C+cos Asin C), 则5sin(A+B)=8sin(A+C),即5sin C=8sin B,即5c=8b, 又S△ABC=bcsin A=10,即bcsin A=20, 又B+C=2A,B+C+A=π,得A=, 联立5c=8b,bcsin A=20,A=,解得c=8,b=5, 则a2=b2+c2-2bccos A=52+82-5×8=49,即a=7, 由++=0,平方知c2+a2+b2+2(·+·+·)=0, 所以·+·+·=-=-69. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∶∶=4∶5∶6,下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3 B.B+C= C.△ABC一定是钝角三角形 D.若b+c=8,则△ABC的面积是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 解析:由已知可设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k>0), 则a=k,b=k,c=k, ∴a∶b∶c=7∶5∶3,∴sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3,故A正确; 又cos A===-<0, 又0<A<π,∴A=, ∴△ABC为钝角三角形,B+C=π-A=,故B不正确,C正确; 若b+c=8,则k=2,∴b=5,c=3, 又A=,∴S△ABC=bcsin A=,故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A=　　　　.  解析:在△ABC中,由(a+c)(a-c)=b(b-c),得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得cos A==,而0<A<π, 所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2-b2=ac,ac=4,则·=　　　　.  解析:在△ABC中,由余弦定理得cos B==, 所以·=accos(π-B)=-accos B=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -2 10.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b,且角C 为钝角,则2B-A=　　　　　,的取值范围是　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 解析:因为a2=b=b2+bc, 由余弦定理知,a2=b2+c2-2bccos A, 所以b2+bc=b2+c2-2bccos A, 即c-b=2bcos A, 则由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A, 则sin Acos B+sin Bcos A-sin B=2sin Bcos A, 得sin Acos B-sin Bcos A-sin B=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即sin=sin B, 又△ABC中,角C为钝角,则-<A-B<, 所以A-B=B,即2B-A=0. 由正弦定理,====cos B, 由角C为钝角,所以0<A+B<,又A=2B, 所以0<3B<,即0<B<,所以<cos B<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=4c,B=2C. (1)求cos B; (2)若c=5,D为边BC上一点,且BD=6,求△ADC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵B=2C,∴sin B=sin 2C=2sin Ccos C, 在△ABC中,由正弦定理得,=, 又b=4c,∴cos C===, ∴cos B=cos 2C=2cos2C-1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)∵c=5,b=4c,∴b=4, 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B,则80=a2+25-2·a·5×, 化简得,a2-6a-55=0,解得a=11或a=-5(负值舍去), ∵BD=6,∴CD=5.∵cos C=,C∈, ∴sin C==, ∴△ADC的面积S=CD·AC·sin C=×5×4×=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(cos B+cos A)(cos B- cos A)=sin C(sin C-sin B). (1)求角A的大小; (2)若a=3,b+c=6,求△ABC的面积; (3)若c=,a=,D为BC的中点,求AD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)∵(cos B+cos A)(cos B-cos A)=sin C(sin C-sin B), ∴cos2B-cos2A=sin2C-sin Bsin C, 即sin2C+sin2B-sin2A=sin Bsin C. 由正弦定理得c2+b2-a2=bc,由余弦定理得cos A=, ∵A∈(0,π),∴A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)∵a=3,b+c=6, 由余弦定理得18=c2+b2-2bc×=(b+c)2-2bc, ∴bc=9(2-),∴S△ABC=bcsin A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)在△ABC中,由余弦定理得5=b2+2-2b××, 即b2-2b-3=0,又b>0,得b=3, ∵D为BC的中点,∴=(+), 两边平方得==, ∴=,即中线AD的长度为. $$