11.1.3 多面体与棱柱-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第四册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

11.1　空间几何体 11.1.3　多面体与棱柱 第十一章　立体几何初步 [学习目标]　1.通过对实物模型的观察,归纳认知多面体的概念和棱柱的结构特征.　2.能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. 知识点1　多面体与棱柱的结构特征 内容索引 知识点2　多面体或棱柱的计算问题 课时作业 巩固提升 知识点3　多面体的表面展开图 课堂达标·素养提升 3 知识点1　多面体与棱柱的结构特征 1.多面体的定义及特征 类别 多面体 定义 由若干个___________所围成的封闭几何体 图形   平面多边形 类别 多面体 相关 概念 面:围成多面体的各个________; 棱:相邻两个面的_______; 顶点:棱与棱的公共点; 面对角线:一个多面体中,连接_______上两个顶点的线段,除去多面体的棱; 体对角线:连接________________两个顶点的线段; 截面:一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部) 多边形 公共边 同一面 不在同一面上 2.命名:多面体可以按照围成它的面的个数来命名. 3.表面积(或全面积):多面体所有面的____________. 面积之和 4.棱柱的定义及表示 名称 棱柱 特征性质或定义 条件:①有两个面互相平行; ②顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形 图形表示及相关名称   棱柱______________________ (或棱柱_______) ABCDE-A'B'C'D'E' AC' 5.棱柱的侧面积:所有侧面的面积之和. 6.棱柱的分类 (1)按底面多边形的边数 棱柱 (2)按侧棱与底面是否垂直   棱柱   (3)特殊的四棱柱 [例1]　下列关于棱柱的说法正确的个数是(　　) ①四棱柱是平行六面体; ②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱; ③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱; ④底面是正多边形的棱柱是正棱柱. A.1　　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.4 A [解析]　四棱柱的底面可以是任意四边形;而平行六面体的底面必须是平行四边形,故①不正确;说法③就是棱柱的定义,故③正确;对比定义,显然②不正确;底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故④不正确. 棱柱结构特征的辨析技巧 1.扣定义:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义. (1)看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是四边形;(2)看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. 2.举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,从而排除. 思维提升 1.一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是(　　) A.底面是正方形,有两个侧面是矩形 B.底面是正方形,两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形,有一个顶点处的两条棱互相垂直 D.底面是正方形,每个侧面都是全等矩形 跟踪训练 D 解析:对于A,满足了底面是正方形,但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形;对于B,垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面;对于C,底面是菱形但不一定是正方形,同时侧棱也不一定和底面垂直;对于D,侧面全等且为矩形,保证了侧棱与底面垂直,底面是正方形,保证了底面是正多边形,因而符合正棱柱的定义和基本特征. 知识点2　多面体或棱柱的计算问题 [例2]　(1)已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5,菱形的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是　　　　.  (2)已知一棱柱的底面是菱形,其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,体对角线的长分别为9和15,则这个棱柱的侧面积为　　　　.  30 160 [解析]　(1)由菱形的对角线长分别是9和15,得菱形的边长为=,则这个直棱柱的侧面积为4××5=30. (2)如图,底面是菱形的直棱柱ABCD-A'B'C'D'中,两条体对角线A'C=15,BD'=9,侧棱长AA'=DD'=5,可求得AC2=A'C2-A'A2= 152-52=200,BD2=D'B2-D'D2=92-52=56,所以AB=BC=CD=AD==8, 所以该棱柱的侧面积S=4×8×5=160. 直棱柱的考查点 1.构造以棱为直角边的三角形求体对角线. 2.直棱柱侧面积S侧为各侧面矩形面积之和,S表=S侧+2S底. 3.计算截面面积,要先确定截面的顶点和形状,再按平面多边形的计算公式求其面积. 思维提升 2.(1)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为　　　　.  (2)已知长方体的高为2,底面积为12,过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10,则此长方体的侧面积为　　　　.  跟踪训练 解析:(1)设长方体共顶点的三条棱的长分别为x,y,z, 则 可得其体对角线的长为===. (2)设长方体底面矩形的长与宽分别为a,b,则ab=12.又由题意知·2=10,解得a=4,b=3,故长方体的侧面积为2×(4+3)×2=28. 知识点3　多面体的表面展开图 [例3]　如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记作M. (1)求三棱柱侧面展开图的对角线长; (2)求从B经M到C1的最短路线长及此时的值. [解]　将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B'1B'(如图). (1)∵矩形BB1B'1B'的长BB'=6,宽BB1=2, ∴三棱柱侧面展开图的对角线长为=2. (2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,由B经M到C1的路线最短,∴最短路线长为BC1==2,显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M, ∴A1M=AM,即=1. 求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤 此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面,使立体几何问题平面化.其基本步骤是:(1)将立体图形展开为平面图形;(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段;(3)计算此线段的长. 思维提升 3.如图,在所有棱长均为1的直三棱柱上,有一只蚂蚁从点A出发,围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A',求爬行的最小距离. 跟踪训练 解:将三棱柱沿AA'展开,如图所示.   则线段AD'的长即为最小距离,最小距离为 AD'===. 〈课堂达标·素养提升〉 1.(多选)下列说法中不正确的是(　　 ) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 BCD 解析:棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有互相平行的面(如正方体),故B错误;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错误;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错误. 2.一棱柱有10个顶点,其所有的侧棱长相等且和为60 cm,则每条侧棱长为　　　　 cm.  解析:该棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,每条侧棱长都相等,所以每条侧棱长为12 cm. 12 3.已知P是棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点P的最短路程是　　　　.  解析:由题意,若以BC为轴展开,则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4,6,故两点之间的距离是2. 若以BB1为轴展开,则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2,8,故两点之间的距离是2.故沿正方体表面从点A到点P的最短路程是2. 2 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.下面多面体中,是棱柱的有(　　)   A.1个　　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:这4个多面体均为棱柱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},这些集合间的关系是(　　) A.Q⊇N⊇M ⊇P B.Q⊇M ⊇N⊇P C.P⊇M ⊇N⊇Q D.P⊇N⊇M ⊇Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 解析:正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱,正四棱柱的上、下两个底面都是正方形,其余各面都是矩形,因此正四棱柱一定是长方体,长方体的侧棱和上、下两底面垂直,因此长方体一定是直四棱柱,故P⊇N⊇M ⊇Q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为(　　) A.22 B.20 C.10 D.11 解析:所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 4.(多选)下列图形中,是三棱柱展开图的是(　　 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 14 解析:显然C无法将其折成三棱柱,A,B,D可以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2,2,1,则长方体的表面积为　　　　,面对角线有　　　　条,体对角线有　　　　条.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16　 12　 4 14 解析:由表面积的定义,可得长方体的表面积为4×1×2+2×2×2=16,面对角线有2×6=12(条),体对角线有4条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.如图,在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点,它们可能构成的平面图形或几何体是　　　　.    ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③每个面都是等边三角形的四面体;④每个面都是直角三角形的四面体. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ①③④ 14 解析:①正确,如四边形A1D1CB为矩形;②不正确,任选四个顶点若组成平面图形,则一定为矩形;③正确,如四面体A1-C1BD;④正确,如四面体B1-ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.如图,三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应棱上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1. 14 8.如图,在底面是菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,棱柱的高为12 cm,体对角线AC1=20 cm,BD1=15 cm,求底面菱形的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:连接AC,BD(图略),因为底面为菱形,则AC⊥BD. 由直棱柱知,CC1⊥AC,DD1⊥BD, 所以AC2=A-C=202-122=162, 即AC=16, BD2=B-D=152-122=81, 即BD=9. 所以菱形的面积为S=AC·BD=×16×9=72(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.(多选)一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 14 解析:因为正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心,于是过正方体的一条棱和中心可作一截面,截面形状可以是矩形,所以B是正确的;过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面,得截面形状为正六边形,所以D是正确的;过正方体的中心的平面截正方体得到的截面不可能是三角形和五边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为CC1的中点,过D1,E,F三点的截面图形的周长为(　　) A.(25+2+9) B.(15+4+9) C.(25+2+6) D.(15+4+6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析:如图所示,正方体的截面图形为五边形EGFD1H.由△AEH与△C1D1F相似得AH=,所以A1H=,由△A1D1H与△CGF相似得CG=,所以BG=.由勾股定理得EG==,GF==,FD1= =,D1H= =,HE= =,所以截面图形的周长为(25+2+9). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为 (　　) A.2 cm B.13 cm C.11 cm D.17 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 解析:沿棱AA1将三棱柱展开,再拼接一次,如图所示,由图可知所求最短路线的长为=13(cm). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm,表面积等于144 cm2,则这个棱柱的侧面积为　 　　　cm2.  解析:设底面边长、侧棱长分别为a cm,l cm, 则 ∴或 ∴S侧=4×4×7=112(cm2),或S侧=4×6×3=72(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 112或72 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.在三棱柱ABC -A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1 =60°,∠BB1C1=90°,侧棱长为b,求该三棱柱的侧面积. 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:如图,由已知条件可知,侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形,侧面BB1C1C为矩形. 在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=a, ∴BC=a,∴=a·b=ab. ∵∠AA1B1=∠AA1C1=60°,AB=AC=a, ∴点B到直线AA1的距离为asin 60°=a. ∴=ab. ∴S侧=2×ab+ab=(+)ab. 13 14 [C组　素养培优练] 14.有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a>0),且它们拼成一个三棱柱或四棱柱,若在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:若拼成一个四棱柱,有以下三种情况:以含3a边的侧面相接,新四棱柱底面如图①;以含4a边的侧面相接,新四棱柱底面如图②;以含5a边的侧面相接,新四棱柱的底面如图③,④. 相接的面积不在表面积中,故相接面的面积越大,得到的表面积越小, 所以上述三种情况中以含5a边的侧面相接时得到的四棱柱的表面积最小,此时表面积为S2=4a×3a×2+2×·(4a+3a)=24a2+28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若拼成一个三棱柱,则可将原三棱柱的底面相接,此时表面积为S1=2××3a×4a+2×(3a+4a+5a)=12a2+48.也可拼成底面形状如图⑤,⑥的三棱柱.由拼成四棱柱情况知,图⑤⑥时的表面积不是最小的. 为使S2<S1,需24a2+28<12a2+48, 解得0<a<. 即a的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$